Introducción al Control por Computador

Supervisión y Control de Procesos
Bloque Temático II:
Control por Computador
Tema 6:
Introducción al Control por Computador
Índice:
► Control por Computador vs Control Analógico
► Muestreo de Señales
► Conversión A/D
► Conversión D/A
► Ecuaciones en diferencias
Supervisión y Control de Procesos. Curso 2009/2010
1
Control por Computador
•
Objetivo: Implementación del control en un computador o
sistema digital (microprocesador, microcontrolador, DSP).
• La implementación de un controlador de forma digital requiere:
– Muestreo de señales: medida de datos cada cierto tiempo control
discreto
– Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital
(conversor A/D).
– Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para
actuar sobre el proceso (conversor D/A)
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2
Control por Computador
• Objetivo: Implementación del control en un computador o
sistema digital (microprocesador, microcontrolador, DSP).
• La implementación de un controlador de forma digital requiere:
– Muestreo de señales: medida de datos cada cierto tiempo control
discreto
– Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital
(conversor A/D).
– Transformación de la acción de control digital en un valor analógico para
actuar sobre el proceso (conversor D/A)
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3
Control Analógivo Vs Control Digital
Control
Controlanalógico
analógico
Control
Controldigital
digital
Ventajas
Ventajas
• Ancho de banda elevado.
• Resolución alta.
• No se requiere conversión A/D.
• Los métodos de análisis y diseño son bien conocidos.
• El ajuste de parámetros mediante potenciómetros o
condensadores variables es sencillo y rápido.
• El control es programado: Las modificaciones,
adaptaciones o actualizaciones se hacen por software.
• Menos afectado por las condiciones ambientales.
• Permite implementar algoritmos avanzados de control
• Permite auto-ajustes, control adaptativo y control no
lineal.
• Posibilidad de control sin sensor (sensorless). Se
reemplazan por estimadores u observadores.
• Posibilidad de funcionalidades añadidas como
monitorización, diagnóstico, protecciones, etc.
• Posibilidad de integrarlo en una red de comunicaciones.
Redes de control.
• Capacidad de almacenamiento.
Desventajas
• Dependencia de la temperatura: El rendimiento del
control depende de características tanto pasivas como
activas que varían con la temperatura.
• Envejecimiento de los componentes: se requiere
mantenimiento periódico.
• El control se implementa mediante elementos
hardware. Las modificaciones, adaptaciones o
actualizaciones requieren modificaciones hardware.
• Sólo se pueden implementar diseños sencillos (PID,
redes de adelanto-retraso).
• Sensible al ruido.
• No tiene capacidad de comunicaciones.
• No tiene capacidad de almacenamiento
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Desventajas
• Se requiere conversión de datos.
• Los métodos de análisis y diseño son más complejos.
• El muestreo y la resolución puede afectar al rechazo de
perturbaciones.
• El ancho de banda se ve limitado por los cálculos. La
estabilidad se puede ver comprometida.
• El error de digitalización puede reducir la precisión del
control.
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Control Analógivo Vs Control Digital
Control
Controlanalógico
analógico
Control
Controldigital
digital
Ventajas
Ventajas
• Ancho de banda elevado.
• Resolución alta.
• No se requiere conversión A/D.
• Los métodos de análisis y diseño son bien conocidos.
• El ajuste de parámetros mediante potenciómetros o
condensadores variables es sencillo y rápido.
• El control es programado: Las modificaciones,
adaptaciones o actualizaciones se hacen por software.
• Menos afectado por las condiciones ambientales.
• Permite implementar algoritmos avanzados de
control.
• Permite auto-ajustes, control adaptativo y control no
lineal.
• Posibilidad de control sin sensor (sensorless). Se
reemplazan por estimadores u observadores.
• Posibilidad de funcionalidades añadidas como
monitorización, diagnóstico, protecciones, etc.
• Posibilidad de integrarlo en una red de comunicaciones.
Redes de control.
• Capacidad de almacenamiento.
Desventajas
• Dependencia de la temperatura: El rendimiento del
control depende de características tanto pasivas como
activas que varían con la temperatura.
• Envejecimiento de los componentes: se requiere
mantenimiento periódico.
• El control se implementa mediante elementos
hardware. Las modificaciones, adaptaciones o
actualizaciones requieren modificaciones hardware.
• Sólo se pueden implementar diseños sencillos (PID,
redes de adelanto-retraso).
• Sensible al ruido.
• No tiene capacidad de comunicaciones.
• No tiene capacidad de almacenamiento.
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Desventajas
• Se requiere conversión de datos.
• Los métodos de análisis y diseño son más complejos.
• El muestreo y la resolución puede afectar al rechazo
de perturbaciones.
• El ancho de banda se ve limitado por los cálculos. La
estabilidad se puede ver comprometida.
• El error de digitalización puede reducir la precisión del
control.
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Control por Computador. Elementos
Control
Controlanalógico
analógico
regulador
regulador
referencia
+
sistema
sistema
acción
control
error
Conversor A/D: Convierten la
información analógica del proceso
y(t) aportada por los sensores al
formato digital (secuencias de
números yk ) para poder ser
procesadas mediante un algoritmo de
control.
salida
G(s)
PID(s)
-
sensor
Regulador digital: Ejecuta un
algoritmo de control que calcula a
partir del error cometido ek = rk − yk
en cada instante una acción de
control uk.
Control
Controldigital
digital
referencia
+
regulador
regulador
error
sistema
sistema
acción
control
PID(z)
G(s)
D/A
-
A/D
salida
Conversor D/A: convierte la señal
digital en valores analógicos.
Generan la señal de control continua
ur(t) a partir de la secuencia digital uk.
•
sensor
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6
Muestreo de señales: Definición
– Muestreo de señales: Operación en la cual se obtiene una secuencia de valores a
partir de una señal analógica → “medida de datos cada cierto tiempo”
– Bloqueo: mantenimiento del valor hasta toma de nueva medida
1
1
Señal continua
0.5
0.5
0
0
-0.5
-1
Señal muestreada
Tm
-0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
1
0
Periodo de
muestreo
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Señal bloqueada
1
(V)
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
tiempo (s)
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0.8
1
7
Muestreo de señales: Aliasing
– Cuando la frecuencia de muestreo es insuficiente pueden surgir problemas
de aliasing
– El problema viene porque la evolución de la señal entre muestra y muestra
se pierde
– Selección del periodo de muestreo (Tm):
• Según la señal: El muestreo tiene que cumplir el criterio de Nyquist:
Tm <
T
2
Tm = 0.1T
1
0.5
Tm
-0.5
0
0.2
(V)
0.5
0
-1
Tm = 0.05T
1
Periodo de
muestreo
0.4
0.6
0
-0.5
0.8
1
-1
0
0.2
0.4
0.6
tiempo (s)
0.8
1
T: periodo de la señal
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8
Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (I)
• El cine es un ejemplo de un sistema de muestreo
funcionando a fm = 24Hz.
• El ejemplo se desarrolla suponiendo la filmación de una
rueda girando a diferentes velocidades
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Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (II)
• Caso 1. Rueda girando a 1Hz: No hay aliasing. Se puede ver
la frecuencia y el sentido de giro de la rueda perfectamente.
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10
Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (III)
• Caso 2. Rueda girando a 6Hz: No hay aliasing. Aunque se
pierde precisión aún se puede ver la frecuencia y el sentido
de giro de la rueda.
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Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (IV)
• Caso 3. Rueda girando a 12Hz: A partir de este punto se
pierde la noción del sentido de giro. No sabemos hacia
dónde gira la rueda, hemos perdido esa información
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Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (V)
• Caso 4. Rueda girando a 23Hz: Hay aliasing. La rueda gira
tan rápido que le da tiempo casi a completar una vuelta
antes de ser fotografiada de nuevo. Para el espectador gira
en sentido contrario y despacio (gira exactamente a -1 Hz).
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Muestreo de señales: Ejemplo Aliasing (VI)
• Caso 5. Rueda girando a 25Hz: Hay aliasing. La rueda gira 1
Hz más rápido que la frecuencia de muestreo y le da tiempo
a completar 1 + 1/24 vueltas antes de ser fotografiada de
nuevo. Para el espectador gira a +1 Hz
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Conversión A/D (I)
– Digitalización: conversión de los datos muestreados en un valor digital (conversor
A/D).
– Idea intuitiva: Convierte una señal continua (analógica) en una señal discreta
(digital). En otras palabras, considerando una señal en tensión a la entrada:
voltios número
– Un conversor AD puede caracterizarse de forma básica según los siguientes
criterios:
• Entrada: atendiendo a la variable de entrada podemos identificar:
– Rango de tensión: valores admitidos de la señal de entrada (0—24), (0—10),
(0—5)
– Bipolar/unipolar: la señal de entrada puede admitir sólo valores positivos
(unipolar) o tanto positivos como negativos (bipolar). De todas maneras, es
fácil mediante electrónica colocada a la entrada el situar una señal dentro del
rango deseado.
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Conversión A/D (II)
• Salida: La salida un conversor AD es un número. Por lo tanto,
los posibles valores a la salida vendrán determinados por el
valor máximo que es posible almacenar en dicho número. Esta
definición se realiza mediante el número de bits del conversor:
Bits
valores admitidos
Valor máximo
8
2^8
255
osciloscopio
10
2^10
1023
PIC
12
2^12
4095
PIC / Tarjetas AD
16
2^16
65535
SoundBlaster
24
2^24
16777215
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Ejemplo
Sistemas audio
16
Conversión A/D (III)
• Tiempo de conversión: El proceso mediante el cual una tensión
se convierte en un valor digital implica un tiempo. El tiempo que
el conversor emplee en este proceso determinará la máxima
velocidad de conversión, y con ello la máxima frecuencia de
muestreo que se puede emplear utilizando dicho conversor.
Transformaciones
Dada una tensión de entrada obtener el valor digital
2n-1
Dout=
(Vin-Vmin)
Vmax-Vmin
Dado un valor digital obtener el valor a su entrada:
Vmax-Vmin
Vout=Vmin+
Din
2n-1
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Conversión A/D (IV)
• Ejemplos:
A/D
A/D
2^2-1
2^4-1
(digital)
(digital)
2^1
2^3
2^0
2^2
2^1
2^0
0
0
2
4
6
8
(voltios)
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10
0
0
2
4
6
8
10
(voltios)
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Conversión A/D (V)
• Realización: Conversor A/D por aproximaciones sucesivas
reloj
(final de conversión)
registro despla.
(tensión ref)
comparador
1
0
0
0
Vref/2
0
1
0
0
Vref/4
0
0
1
0
Vref/8
0
0
0
1
Vref/16
0
0
0
0
0
(tensión entrada)
Expresión general Vref*d/2^n
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Conversión A/D (VI): Ejemplo conversor A/D 4 bits
Vin = Vref/2 + Vref/4 + Vref/8
Paso 1:
1 0 0 0
Vcomp
Vref/2
¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1”
Paso 2:
1 1 0
0
Vref/2 + Vref/4
¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1”
Paso 3:
1
1 1 0
Vref/2 + Vref/4 + Vref/8
¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1”
Paso 4:
1
1
1 1
Vref/2 + Vref/4 + Vref/8 + Vref/16
¿Vin > Vcomp? NO → si no hay más bits,
fin de conversión
Paso 5:
1 1 1 1
Vref/2 + Vref/4 + Vref/8 + Vref/16
EOC
Observar que hay un error igual a +LSB
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Conversión A/D (VII): Ejemplo conversor A/D 4 bits
Vin = Vref/2+ Vref/8
Paso 1:
Vcomp
1 0 0 0
Vref/2
¿Vin > Vcomp? SI → siguiente bit a “1”
Paso 2:
1 1 0
0
Vref/2 + Vref/4
¿Vin > Vcomp? NO → desplaza a drcha.
Paso 3:
1
0 1 0
Vref/2 + Vref/8
¿Vin > Vcomp? NO → desplaza drcha.
Paso 4:
1
0
0 1
Vref/2 + Vref/16
¿Vin > Vcomp? SI → si no hay más bits,
fin de conversión
Paso 5:
1 0 0 1
Vref/2 + Vref/16
EOC
Observar que hay un error igual a -LSB
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Conversión D/A (I)
• Una vez generada la secuencia de control {uk}, es necesario obtener una
señal de control continua u(t) para aplicar a la planta (que es continua). A
este proceso se le llama reconstrucción.
{uk} → u(t)
• Existen varios procedimientos. El más sencillo y habitual es el bloqueador
de orden cero (zero order hold):
∞
ur (t) ∑= u(kTm) [1(t − kTm) − 1(t − (k + 1)Tm)]
0
donde 1(t − a) denota al escalón unitario iniciado en el instante t =a
1
(V)
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
0.4
0.6
tiempo (s)
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0.8
1
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Conversión D/A (II)
• El bloqueador de orden 0 tiene dos problemas importantes:
– Error de reconstrucción al asumir que la señal no varía a lo largo del
periodo.
– Retardo puro aproximado de Tm/2. Esto es debido a que se
reconstruye la señal del periodo siguiente a partir de la muestra en el
instante actual.
– Armónicos de alta frecuencia. Los escalones que forman la señal
reconstruida tienen un contenido en altas frecuencias (saltos
abruptos) que se introducen en el lazo de control.
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Conversión D/A. Realización
– Transformación de la acción de control digital en un valor
analógico para actuar sobre el proceso (conversor D/A)
Red de resistencias R-2R
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Modulación por Ancho de Pulso (Pulse Width Modulation-PWM)
La modulación por ancho
de pulso es un método de
conversión de una señal
discreta en una señal
continua.
Conversor digital-analógico:
• Tiempo constante
• Varía (modula) la tensión
vmax
vDA
v1
0
vmax
t1
vPWM
vPWM
FILTRO
PASO BAJO
0
≈vDA
−
T·v
T·v11==t1t1·v·vmax
max
Modulador por ancho de pulso
(PWM)
• Tensión constante
Señal
Señal
• Varía (modula) el tiempo
continua
continuayy
muestreada
muestreada
n bits
Salida
Salida
conversor
conversor
V
D/A
D/A
Salida
SalidaPWM
PWMyy
Filtro
Filtropaso
paso
bajo
bajo
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R
vPWM
+
≈vDA
C
4
2
0
4
2
0
4
2
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
25
Concepto de secuencia
• Una secuencia es una serie infinita de números
{xk } = {· · · , x−1 , x0 , x1 , x2 , · · ·}
• El resultado del muestreo es una secuencia
x(t) → xk = x(kTm ) → {xk }
• Un sistema discreto toma una secuencia discreta de entrada
y produce otra secuencia discreta de salida
{uk}
Sistema
discreto
{yk}
{yk } = G({xk })
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Concepto de ecuación en diferencias
• Una ecuación en diferencias viene dada por el siguiente
algoritmo
yk + a1 yk−1 + · · · an yk−n = b0 uk + b1 uk−1 + · · · + bm uk−m
• Una ecuación en diferencias es un sistema discreto, ya que
dada una secuencia de entrada, {uk}, permite calcular una
secuencia de salida {yk}
{uk} → [ecuación en diferencias] →{yk}
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Ejemplos de ecuación en diferencias
• Se dispone de un sensor de velocidad (dinamo tacométrica)
conectada a un motor de c.c. Dicho sensor se ha conectado
a un conversor A/D del dsPIC. Se pide:
– Ecuación en diferencias de un filtro de media de los últimos 10
valores. Este filtro se utilizará para eliminar el ruido en el sensor.
– Ecuación en diferencias para obtener la aceleración a partir de la
velocidad filtrada.
– Ecuación en diferencias para obtener la posición a partir de la
velocidad filtrada.
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Discretización del controlador (I)
– Idea: Encontrar una ecuación recursiva para las muestras del
algoritmo de control que permita aproximar la respuesta del
dispositivo analógico.
– Partiendo del diseño del control analógico se reemplaza por uno
digital que acepte muestras de la señal de entrada al control e(kTm)
provenientes de un muestreador, y utilizando valores presentes y
pasados de la señal de entrada y de la señal de salida u(kTm) se
calcula la siguiente acción de control u(kTm +Tm)
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Discretización del controlador (II)
– Ejemplo: Discretización de un regulador PID (I)
t
e(τ)dτ + de/dt
u = Kp e + Ki
D(s) = Kp + Ki/s + Kds
t0
Aplicando superposición se estudian las acciones de control por separado
u = up + ui +ud
1) Acción proporcional
e(kTm+Tm)
e(t)
up(kTm+Tm) = kp e(kTm+Tm)
2) Acción integral
kTm
kTm+Tm
ui(kTm+Tm) = ki e(τ)dτ
0
e(kTm)
= ki e(τ)dτ
0
ui(kTm)
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Integral
trapezoidal
kTm+Tm
+ ki e(τ)dτ
kTm
Tm
t
Tm (e(kTm+Tm) + e(kTm))
2
Discretización del controlador (II)
– Ejemplo: Discretización de un regulador PID (II)
3) Acción diferencial
ud(kTm+Tm) = kd de(kTm+Tm)
dt
Por dualidad con la acción integral
kTm+Tm
ud(kTm+Tm) = kd e(kTm+Tm)
0
Tm (ud(kTm+Tm) + ud(kTm)) = kd ( e(kTm+Tm) - e(kTm))
2
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Discretización del controlador (II)
– Ejemplo: Discretización de un regulador PID (III)
Transformada z:
Se define de forma análoga a la transformada s. De tal manera que definimos el
operador z como un operador de desplazamiento:
Z(U(kTm)) = U(z)
Z(U(kTm+Tm)) = zU(z)
Sustituyendo en las acciones:
zui(z) = ui(z) + ki Tm(ze(z)+e(z))
2
ui(z) = ki Tm z +1 e(z)
2 z-1
ud(z) = kd 2 z -1 e(z)
u(z) = (kp + ki Tm z +1 + kd 2 z -1 ) e(z)
2 z-1
Tm z+1
Tm z+1
Control PID discretizado por Tustin
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Problema: Diseño discreto PI (I)
• Discretizar un regulador PI, de la forma:
PI(s) = kp
(s+ki)
s
• Utilizando la transformación de Tusitn. Dejar la expresión en
función de Kp, Ki y Tm
• Comprobar el resultado para los valores Ki=6, Kp=1.4,
Tm=0.07 con el comando de matlab c2d
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Problema: Diseño discreto PI (II)
• Comparar los resultados para el siguiente esquema de
Simulink:
referencia
velocidad
s+6
1.4
9
5
s
1
s+9
s+5
Controlador
velocidad
Slider Kc
Tau 1
Tau 2
Control
Output
Tm = 0.035
num(z)
1.4
9
5
z-1
1
s+9
s+5
Discrete
Transfer Fcn
Slider Kd
Tau 3
Tau 4
1.21z-0.79
1.4
9
5
Tm = 0.07
z-1
1
s+9
s+5
Discrete
Transfer Fcn1
Slider Kd1
Tau 5
Tau 6
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