Soluciones (problemas 1, 2 y 3)

ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Ej i i
Ejercicios:
1,2 , 3
Examen: Curso 2009 - 2010
Examen 4 de Febrero de 2010. Ejercicios
1
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Ejemplo 1
Dado el sistema de la figura. Determinar :
a))
E
Ecuaciones
i
di
dinámicas
á i
d
de cada
d componente.
t
b) Diagrama estructurado en bloques del sistema, haciendo corresponder cada
bloque con cada componente del sistema.
c)
Función de transferencia: VC2 (s)/Ve(s).
d)
Respuesta temporal del sistema ante la entrada: ve(t) = 1 Voltio; C.I. nulas.
Datos:
R1 = 102 ohmios
R2 = 10 ohmios
C1 = 0,5 Faradios
C2 = 0,2 Faradios
d
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2
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 1 a)
Ecuaciones de los componentes :
Ecuaciones de nudos :
iR1(t) = vR1(t) / R1; IR1(s) = VR1(s) / R1
( ) = iR1((t)) + iC((t)) ;
i(t)
iC(t) = C1 d(vR1(t)) / dt; IC(s) = C1 sVR1(s)
I(s) = IR1(s) + IC(s)
vR2(t) = R2 i(t); VR2(s) = R2 I(s)
Ecuaciones de la malla:
vC2(t) = (1/C2)∫i(t) dt; Vc2(s) = (1/C2 s) I(s)
ve(t) = vR1(t) + vR2(t) + vC2(t) ;
Ve(s) = VR1(s) + VR2(s) + VC2(s);
1) … Ve(s) – VC2(s) = VR1(s) + VR2(s) ;
2) … (Ve(s) – VC2(s) ) – VR2(s) = VR1(s) ;
Diagrama estructurado en bloques:
Solución: Ejemplo 1 b)
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Diagrama estructurado en bloques:
Solución:
ó Ejemplo 1 c)
Sumamos los bloques en paralelo:
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4
ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 1 c)
Reducimos el
bucle interior:
nter or
1 + R1C1 s
R1
G2(s) =
1+
G2(s) =
1 + R1C1 s
R1
R2
1 + R1C1 s
R1 + R2 + R1R2C1 s
Multiplicamos los bloques
en serie:
G3(s) =
1 + R1C1 s
R1R2C1C2s2 + (R1 + R2)C2 s
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 1 c)
Reducimos el bucle.
1 + R1C1 s
R1R2C1C2s2 + (R1 + R2)C2 s
G4(s) =
1+
1 + R1C1 s
R1R2C1C2s2 + (R1 + R2)C2 s
G4(s) = VC2(s)/Ve(s)
VC2(s)/Ve(s) =
1 + R1C1 s
R1R2C1C2 s2 + ((R1 + R2)C2 + R1C1) s + 1
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 1 c)
Sustituimos los valores
de los datos.
Solución: Ejemplo 1 d)
La respuesta ante una
entrada escalón unitario
viene dada por:
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución: Ejemplo 1 d)
La respuesta ante una
entrada escalón unitario
viene dada por:
Y(s) =
y(t) = -0,70424 e
-0,7058t
-0,7024
0,7024
(s + 0,7058)
- 0,2976 e
-0,0142t
+
-0,2976
0,2976
(s + 0,0142)
+
1
s
+1
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución: Ejemplo 1 d)
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución: Ejemplo 1 d)
Gráfica
á
de la
respuesta.
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Ejemplo 2
Dado el sistema de la figura. Determinar las ecuaciones de estado del sistema
dado en la figura.
fg
.
Tomando como variables de estado:
x1(t) = vc1(t); x2(t) = vc2(t); x3(t) = i(t); x4(t) = i2(t);
C m entrada
Como
t d y salida:
s lid :
u(t) = ve(t); y(t) = vR(t);
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 2
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 2
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 2
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Ejemplo3
Dado el sistema de la figura. Determinar:
a)
Diagrama asintótico de Bode. Módulo (decibelios ) y Fase (grados).
b)
Respuesta permanente en frecuencia del sistema para una entrada
armónica: x(t) = 10 sen(3t).
X(s)
Y(s)
M(s)
M(s) =
Y(s) = M(s) X(s)
s2+6,4s+16
(s+1)(s+2)(s+8)
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 3a
M(s) =
(s+1)(s+2)(s+8)
Ponemos el sistema en la forma de Bode:
16[ (1 – (ω/4)2) +j 2ω/5) ]
M(jω) =
16 (1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
Como módulo tenemos:
s2+6,4s+16
+6 4s+16
(1 – (ω/4)2) +j 2ω/5
M(jω) =
(1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
[( (1 – (ω/4)2)2 + 4ω2/25 )]1/2
|M(jω)| =
(1+ω2)1/2(1+(ω/2)2)1/2 (1+(ω/8)2)1/2
Como módulo expresado en decibelios:
20 log10|M(jω)| =
20 log10 [( (1 – (ω/4)2)2 + 4ω2/25 )]1/2 - 20 log10 (1+ω2)1/2 - 20 log10 (1+(ω/2)2)1/2 - 20 log10 (1+(ω/8)2)1/2
Como argumento tenemos:
Arg M(jω)|= atan ( (2ω/5) / 1 – (ω/4)2 ) - atan ( ω ) - atan ( ω/2 ) - atan ( ω/8 )
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
(1 – (ω/4)2) +j 2ω/5
M(jω) =
Solución:
ó Ejemplo 3a
(1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
Diagrama de Módulos en decibelios. Las frecuencias de corte son:
ω= 4 rd/sg ; ω= 1 rd/sg ; ω= 2 rd/sg ; ω= 8 rd/sg
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 3a
(1 – (ω/4)2) +j 2ω/5
M(jω) =
(1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
Diagrama de Argumentos en grados. Las frecuencias de corte son: ω= 0,4 rd/sg ; ω= 0,1 rd/sg ;
ω= 0,
ω
0,2 rd/sg ; ω
ω= 0,8 rd/sg ; ω
ω= 40 rd/sg ; ω
ω= 10
0 rd/sg ; ω
ω= 20
0 rd/sg ; ω
ω= 80 rd/sg
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
(1 – (ω/4)2) +j 2ω/5
M(jω) =
Solución:
ó Ejemplo 3a
(1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
Diagrama asintótico del Módulo en decibelios.
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
(1 – (ω/4)2) +j 2ω/5
M(jω) =
Solución:
ó Ejemplo 3a
(1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
Diagrama asintótico del Argumento en grados.
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
(1 – (ω/4)2) +j 2ω/5
M(jω) =
Diagrama del Módulo en decibelios, Argumento en grados
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Examen 4 de Febrero de 2010. Ejercicios
(1+jω)(1+jω/2)(1+jω/8)
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 3b
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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS
Solución:
ó Ejemplo 3b
y(t) = 2,098 sen (3t- 1,3694)
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