Intervalo de confianza para medias Los valores de las longitudes en

Intervalo de confianza para medias
Los valores de las longitudes en micras de 50 filamentos de la producción de una maquina (que se supone
normal) son los siguientes
102
98
93
115
130
100
116
118
89
112
114
106
120
106
110
100
98
105
115
86
95
103
105
102
128
99
119
114
100
116
108
100
106
117
109
110
99
120
92
99
134
128
110
130
113
106
105
108
105
106
a) Hallar un intervalo de confianza para la media de la producción basado en la muestra de los 50
filamentos al 95% y al 90% del coeficiente de confianza.
b) Contrastar la hipótesis nula de que la longitud media de los filamentos de la producción es de 100 a los
niveles α =5% y α =10% basándose en la muestra dada.
c) ¿Cuál es la longitud de los filamentos más frecuente?
d) Hallar el valor de la longitud de los filamentos tal que la mitad de los restantes valores sea inferior a él.
e) Comprobar si la producción puede considerarse efectivamente normal.
Intervalo de confianza para la medias y la desviación
2) Se quiere probar la efectividad de un antitérmico para reducir la temperatura. Para ello se tomo la
temperatura de 10 niños de 4 años de edad afectados de gripe, antes y después de haberles suministrado
el antitérmico, y se obtuvieron las siguientes reducciones de temperatura: 1,2; 1,7; 1,6; 1,7; 1; 1; 1; 2,6; 3;
Suponiendo que la variable reducción de la temperatura es normal.
a) Hallar un estimador insesgado, consistente y de varianza mínima, para la media y para la desviación
típica respectivamente.
b) Hallar también un intervalo de confianza del 95% para la media y para la desviación típica, suponiendo
normalidades la población con media y desviación típica coincidentes con las estimadas anteriormente.
1
Intervalo de confianza para la media y cálculo del tamaño de la muestra
3) Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su
entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26.
Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de confianza,
suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica poblacional para este nadador es de
0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador inferior
a cinco segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?
2
Intervalo de confianza para la media y cálculo del tamaño de la muestra
4) Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la duración (horas) de estas sigue una Normal de media
desconocida y varianza =3.600 h.
Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95%, ha obtenido, para μ, el
intervalo de confianza [372.6; 392.2]
a) ¿Cuál fue el valor que obtuvo para la media de la muestra? ¿Cuál fue el tamaño muestral utilizado?
b) ¿Cuál sería el error (E) de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de
confianza del 86,9%?
Intervalo de confianza para la media y cálculo del tamaño de la muestra
5) El consumo de gasolina de los vehículos de una empresa en litros/día , durante un periodo de 36 días
elegidos al azar durante el año 2012, es el siguiente:
4105
3954
3980
3970
4035
3978
3997
3985
4036
3970
4020
4026
4018
3982
4050
3978
3998
3984
3984
3985
4042
3990
4017
3980
3960
3990
3900
3980
4065
3909
4040
3975
4035
4048
3990
4044
Se sabe que el consumo de la empresa sigue una ley normal cuya varianza es de 1600.
a) Determinar un intervalo para estimar el consumo medio diario durante el 2012 con un nivel de confianza
del 99%.
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error no supere los 10 litros/día con la
misma confianza del 99%?
3
6) Las avispas tropicales fundadoras de enjambres dependen, al igual que las hormigas y las abejas, de
obreras para la cría de su prole. Resulta interesante que las obreras de esta especie de avispas son en su
mayor parte hembras, capaces de tener sus propios descendientes. En vez de hacerlo, crían la prole de
otros miembros de la nidada. Una posible explicación de éste extraño comportamiento es la endogamia, lo
que incrementa el grado de parentesco entre las avispas y permite a las obreras distinguir y ayudar a sus
parientes más cercanas. A fin de probar esta teoría, se capturaron 197 avispas fundadoras de enjambres en
Venezuela, se congelaron a -70ºC y luego se sometieron a una serie de pruebas genéticas (Science,
noviembre de 1988). Los datos sirvieron para generar un coeficiente de endogamia, x para cada espécimen
de avispa, con los siguientes resultados: media 0.044 y desviación muestral 0.884
a) Construya un intervalo de confianza de 90% para el coeficiente de endogamia medio de esta especie de
avispa
b) Un coeficiente de cero implica que la avispa no tiene tendencia a la endogamia. Utilice el intervalo de
confianza del inciso a para hacer una inferencia acerca de la tendencia de esta especie de avispa a la
endogamia.
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7) A fin de determinar el tiempo medio, en minutos, que emplea un autobús de circunvalación en realizar
su recorrido, se midió dicho tiempo durante 25 días, dando una media de 35 minutos.
Suponiendo que el tiempo empleado en el recorrido se distribuye normalmente con media desconocida,
μ, y desviación típica σ=4 minutos, Construir un intervalo de confianza para μ con un nivel de significación
α=0.01.
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8) Se sabe que la duración, en horas de un foco de 75 watts tiene una distribución aproximadamente
normal, con una desviación estándar de σ=25 horas. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, la cual
resulta tener una duración promedio de 1014 horas.
Halle un intervalo de confianza al 90%.
Desarrollar
4
Intervalo de confianza para la media, utilizando la distribución t
9) Los valores de pH de una solución en 10 determinaciones diferentes son los siguientes:
6.80; 6.78; 6.77; 6.80; 6.78; 6.80; 6.82; 6.81; 6.80 y 6.79.
Suponiendo normal la distribución de la población de todas las determinaciones del pH de esa solución.
a) Hallar un intervalo de confianza del 95% para la media y varianza poblacionales.
b) Hallar un intervalo de confianza del 65% para la media y varianza poblacionales.
c) Contrastar la hipótesis nula de que la media poblacional es 6.8 frente a la alternativa que sea distinta, a
un nivel de significación α=0.05 y α=0.35.
Intervalo de confianza para la media, utilizando la distribución t
10) La puntuación de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al azar, para una misma prueba
presentó los siguientes puntajes:
9,6
9,8
9,7
9,7
9,8
9,9
9,8
9,8
9,9
9,7
9,9
9,9
9,8
9,8
9,9
9,8
9,9
9,9
9,9
9,7
a) Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la puntuación promedio y la varianza.
b) Calcular un intervalo de confianza con un 99% para la puntuación promedio y la varianza.
(La puntuación de la prueba sigue una distribución normal)
5
Intervalo de confianza para proporciones
11) Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la
proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?
Intervalo de confianza para proporciones
12) Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatro
regularmente.
Halla con un nivel de confianza del 94% un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van
al teatro regularmente.
6
Intervalo de confianza para proporciones
13) Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta cantidad, 30, y
las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos días volvemos a pescar otro
montón y observamos qué proporción están marcadas con el anillo. Es esta última pesca obtenemos 100
ranas de las que 7 están marcadas.
Calcular un intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas marcadas.
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales
14) Las presiones criticas de dos grupos independientes de recipientes de distintos vidrios dan los
siguientes valores:
Grupo 1
100
102
96
106
110
110
120
112
112
90
Grupo 2
104
88
100
98
102
92
96
100
96
96
a) Suponiendo que las dos poblaciones son normales y de varianzas iguales y desconocidas, calcular un
intervalo de confianza del 95% para la diferencia de presiones medias,
b) Contrastar la hipótesis de igualdad de presiones medias (α=0.05). Contrastar también la hipótesis de
igualdad de varianzas al mismo nivel.
c) Que ocurre en el caso de varianzas desiguales.
7
Intervalo de confianza para proporciones y cálculo del tamaño de la muestra
11. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos
hablaban inglés.
a) Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de
estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad.
b) Se pretende repetir la experiencia para conseguir que la cota del error que se comete al estimar, por un
intervalo de confianza, la proporción de alumnos que hablan inglés en esa Universidad no sea superior a
0,05, con un nivel de confianza del 99%. ¿Cuántos alumnos tendríamos que tomar, como mínimo, en la
muestra?
8
Prueba z para medias de dos muestras, n: mayor a 30
15) Halla el intervalo de confianza al nivel del 90% para diferencia de salarios medios de los trabajadores y
trabajadoras de una gran empresa:
a) Cuando se ha elegido una muestra de 40 hombres y 35 mujeres, siendo el salario medio de los hombres
1051 euros y el de las mujeres 1009 euros y las desviaciones típicas de 90 y 78 euros respectivamente.
b) Suponiendo que no se conocen las desviaciones típica poblacionales y se calculan las cuasivarianzas
muestrales que valen σ12 = 87 σ12 = 76.
9
Prueba z para medias de dos muestras
16) Se emplean dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16 onzas. El proceso de
llenado puede suponerse normal, con desviaciones estándar de σ1=0,015 y σ2=0,015. Ingeniería de calidad
sospecha que ambas máquinas llenan hasta el mismo volumen neto, sin importar que este volumen sea o no de
16 onzas. Se toma una muestra aleatoria de la salida de cada máquina.
máquina 1
16,03
16,04
16,05
16,05
16,02
16,01
15,96
15,98
16,02
15,99
máquina 2
16,02
15,97
15,96
16,01
15,99
16,03
16,04
16,02
16,01
16
¿Piensa usted que ingeniería de calidad está en lo correcto? Utilizando α=0,05
Es decir halle el intervalo de confianza y verique que en ese intervalo esta el valor de cero.
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales
17) Se está investigando la resistencia de dos alambres, con la siguiente información de muestra
Resistencia (ohms)
Alambre 1
0,14
0,141
0,139
0,14
Alambre 2
0,135
0,138
0,14
0,139
0,138
*
0,144
*
Suponiendo que las dos varianzas son iguales, ¿qué conclusiones puede extraerse respecto a la resistencia
media de los alambres?
10
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales
18) Se están investigando dos métodos para producir gasolina a partir de petróleo crudo. Se supone que el
rendimiento de ambos procesos se distribuye normalmente. Los siguientes datos de rendimiento se han
obtenido de la planta piloto.
Rendimiento (%)
Proceso 1
Proceso 2
24,2
26,6
25,7
24,8
25,9
26,5
21
22,1
21,8
20,9
22,4
22
¿Hay alguna razón para creer que el proceso 1 tiene un rendimiento medio mayor?
Es decir halle el intervalo de confianza y verique que en ese intervalo esta el valor de cero.
11
19) Según un estudio, “la mayoría de las personas que mueren a causa del fuego y el humo en edificios
divididos en compartimentos resistentes a los incendios –el tipo que se utiliza para hoteles, moteles,
apartamentos e instalaciones de salubridad- mueren al intentar evacuar” (Risk Management, febrero de
1986). Los datos que siguen representan los números de víctimas que intentaron evacuar, para una muestra
de 14 incendios recientes en edificios resistentes al fuego, divididos en compartimentos, informados en el
estudio.
Incendio
Las Vegas Hilton (Las Vegas)
Inn on the Park (Toronto)
Westchase Hilton (Houston)
Holiday Inn (Cambridge, Ohio)
Conrad Hilton (Chicago)
Providence College (Providence)
Baptist Towers (Atlanta)
Howard Johnson (New Orleans)
Cornell University (Ithaca, New York)
Wesport Central Apartments (Kansa City, Missouri)
Orrington Hotel (Evanston, Illinois)
Hartford Hospital (Hartford, Connecticut)
Milford Plaza (New York)
MGM Grand (Las Vegas)
Murieron en intento de evacuación
5
5
8
10
4
8
7
5
9
4
0
16
0
36
Utilice la información de listado que se representa aquí para construir un intervalo de confianza de 98%
para el verdadero número medio de víctimas por incendio que muere al tratar de evacuar edificios
resistentes al fuego divididos en compartimentos.
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En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes elegidos al
azar en su localidad, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual.
a) Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de votantes favorables al
alcalde actual.
b) Cuáles deben ser los tamaños muestrales en el sondeo del problema anterior para tener, con los mismos
niveles de confianza, la certeza de que el alcalde actual salga reelegido por mayoría absoluta, en el caso de
arrojar la encuesta los mismos resultados?
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Contraste de Diferencias entre Proporciones
20) La fracción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción se está analizando. Una
muestra aleatoria de 1000 unidades de la línea 1 tiene 10 defectuosas, en tanto que una muestra aleatoria
de 1200 unidades de la línea 2 tiene 25 defectuosas.
¿Es razonable concluir que la línea de producción 2 produce una fracción más alta de producto defectuoso
que la línea 1? Use α=0.01
Contraste de Diferencias entre Proporciones
21) En el Departamento de Agropecuaria del INEM se investiga si cierto tipo de fertilizante es efectivo. Para
ello se deja sin fertilizar 100 plantas de tomate y de esas, 52 plantas tienen un crecimiento satisfactorio. De
la misma forma se fertilizaron 400 plantas, y se detecto que 275 presentaron un crecimiento satisfactorio.
¿Qué conclusión pueden obtener los investigadores del Departamento de Agropecuaria si para contrastar
la hipótesis utilizan un nivel de significancia de 0.05?
13
Prueba F para varianzas de dos muestras
22) Los siguientes son tiempos de quemado (en minutos) de señales luminosas de dos tipos diferentes
Tipo 1
63
81
57
66
82
82
68
59
75
73
Tipo 2
64
72
83
59
65
56
63
74
82
82
Hallar el intervalo de confianza, para contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas con un nivel de
significación α=0.05.
Prueba t para medias de dos muestras emparejadas
23) Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus productos con un método
propuesto que supuestamente reduce el tiempo de armado. Se seleccionaron ocho trabajadores de la
planta de armado y se les pidió que armaran las unidades con ambos procesos. Los siguientes son los
tiempos observados en minutos.
Trabajador
1
2
3
4
5
6
7
8
Proceso actual
38
32
41
35
42
32
45
37
Proceso propuesto
30
32
34
37
35
26
38
32
¿Existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el proceso actual es mayor que el del
método propuesto por más de dos minutos? Con un nivel de significación α=0.05.
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