solucionario 6taguia 2doparcial criteriosconvergenciaseries integral675 v1

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675
3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio
Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
6ta Guía de Estudio – 2do Parcial
Criterios de Convergencia para Series
(Positivas y Alternantes)
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.06
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún
momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un
formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar
especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de
Cálculo I Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes
textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático (Autor), genera
un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio,
dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un
facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá
cumplir las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la
hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los
demás elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con
su respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
A.-) En los problemas del 1 al 38, determine si la serie es convergente o divergente.


1

1
 comparació n ordinaria con serie  n    
1.) 
n
n 1 n  3
n 1 3
n 1  3 
convergent e porque 1
1
n3
n

1
3
n
3
1
n
que es geometrica y
1
se cumple para todo n  1, por lo tan to

1
 n  3n
convergent e
n 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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  1n
 n 1  n  1  




ln
n
n 1
n


n

3
2
n 1 





n
1

 1n   ln n  1 

n
n
n 1


n
n 1
n 1 3 2



2.)

  
  

 
serie geométrica

 1n
 1n

 3n 2n1    3n 2n 21 
n 1
n 1
n
a  1 1
n
n
1   1
1   1
1   1
2
6




 
n
n
2 n 1 3  2 
2 n 1 6
2 n 1  6 
r  1 1
6



1
1
12 
12   1
14
1
7
1
6
6

Sn 
serie telescópic a



 n 1  n  1 
 lnn  lnn  1 
 lnn  1 1 n 1   lnn 1n   


ln




n




n 1 
n
n 1
n 1  n

 n 1
 0 ln 2   ln 2 ln 3   ln 3 ln 4 
 lnn  1 lnn    lnn  lnn  1  
   






  ...  


n   n
n  1 
2   2
3   3
4 
 n 1
 1

0


lnn  1
n 1
 1

 n  1 
 1 
lnn  1 

 lnn  1  
  0
 L ' H lim 
 lim 
Sn  lim  0 

  lim 

n  
n  
n  1  n   n  1  
1
 n    n  1 



 
 1n  ln n1 n  1    1  0   1

finalmente
n
n 1
n
14
14


n
n 1 


3 2
  

------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.)

n
n
  1 n  2
n 1

n
n
 n 
n
 lim 
diverge por el
  1; por lo tan to   1
n
n
n2
n  2 n  n  2 
n 1
criterio del n  ésimo tér min o para la divergenci a porque lim a n  0
lim a n  lim  1
n
n
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
n
4.)   1
n
n 1
4.1.) a n  1
sea f x  
2
n 2
 a n verificar si es decrecient e en el inf inito 
x
una función de
2
x 2



n
n
  1 n 2  2 , entonces ;
n 1

1 x  2  x 2 x 
2  x2
 x 
 0 para todo x 

 2
'
2
2
x  2
x2  2
x2  2
2




2
4.2.) lim a n  0
n


lim 2

n n  2


n
por lo tan to
1

1
n 2   lim
n
0

n


1 
2
1

n2 
n2

n
n
  1 n 2  2
converge por el criterio de series alternas
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
 n 2 2 n 1 
   5 n 
n 1 

Aplicando el criterio del cociente ;
5.)

n  12 2 n
 5 n 1
an 1
 lim
n a
n   n 2 2 n 1
n
lim
 5 n
n  12 2 n   5 n
n    5 n  5 1  n 2 2 n 2  1
 lim
2n  1
2
 lim
n
5n 2

2
n 1
lim 

n


5
 n 
2
2

2
1
2
2

lim 1    1   1,
n


5
n
5
5

por lo tan to


n 1
 n 2 2 n 1

  5 n


 converge por criterio del cociente


------------------------------------------------------------------------------------------------------
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
 1 
  2n  1   comparació n en el límite con serie
n 1
divergente por definición
6.)

1
n
que es armónica y
n 1
1
1 
an
1
n  n
1
2
n
1

 lim
 0
lim
 lim
 lim


n b
n
n
n




1
2
2n  1  1 
21
n
n
 n
n

 1 
por lo tan to  
 diverge por criterio de comparació n en el límite ya que se
n  1  2n  1 
trabajó con una serie conocida divergente
------------------------------------------------------------------------------------------------------
 1



 n lnn  
n2 

* Como estudio , verificar las condicione s necesarias para aplicar el criterio int egral *
7.)


sea f x  


n2

2
1
una función positiva , continua y decrecient e en 2,  de la serie
x lnx 

 1
 podemos plantear lo siguiente ;

 n lnn  


w
1
1
dx  lim 
dx
w   2 x lnx 
x lnx 
1

dx 
lnx  
1
1
 1
u  lnx 
du   u 2 du  2u 2  C  2 lnx   C

 u
dx

du 
x

x
w
w   2
 lim
1
x lnx 


dx  lim 2 lnx  2  lim 2 lnw   lim 2 ln2   
w  
w
w  
como la int egral es divergente , entonces


n2
w  
 1


 por criterio de la int egral
 n lnn  


------------------------------------------------------------------------------------------------------
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 2n n ! 

 

n  1  n  2 ! 
Aplicando el criterio del cociente ;
8.)
lim
n

an 1
an
2 n  1 n  1!
n  1  2 !  lim 2 n 21 n  1!n  2 !  lim 2 n 21 n  1 n !n  2 n  1 n !
 lim
n   n  3 n  2 n  1 n !2 n n !
n
n
n  3!2 n n !
2n n !
n  2 !
2n  1
n 1
 2 lim
 21  2  1,
n   n  3 
n n  3
lim
por lo tan to


n 1
 2n n ! 


 n  2 !  diverge por criterio del cociente


------------------------------------------------------------------------------------------------------
9.)




n2 e  n 
n2
en
Aplicando el criterio del cociente ;
n 1
n 1
n  12
n 1
an 1
 lim e 2
n
n a
n
n
lim
 lim
n
n  12  e n
e n e1  n 2
 lim
n
n  12
e n2

1
n 2  2n  1 1
1




1
1
lim
e
e
e n
n2
en
por lo tan to

 n2 e  n
converge por criterio del cociente
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
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
 n2 e  n
10 .)
3
n 1
sea f x   x 2 e  x una función de
3
 x2
 3
 x
e


 n2 e  n
3
, entonces ;
n 1


x3
' x 2  3
 0 para todo x  1
3

ex

sea f x   x 2 e  x una función positiva , continua y decrecient e en 1, , entonces ;
3

1
3
x 2 e  x dx  lim

w
w   1
3
x 2 e  x dx
e  x dx 

1 u
1  x3
1
u
C
u  x3
  e du   e  C   e
3
3
3

du  3 x 2 dx 

x
3
2

 lim
w
w   1

2
x e
 x3
w
3
3 
3
1
1
 1
dx  lim   e  x   lim  e  w  lim  e  1 
w   
w   3
w   3
3
1
1
1
1
1
1
1 1
lim
lim 1   0      1

3
3e
3 w   e w
3 w   e
3
3e
como la int egral es convergent e , entonces

 n2 e  n
3
por criterio de la int egral
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
11 .)


1 
n 1
   1 n lnn 
n2


11 .1.) lim a n  lim  1
n 1
n
n
1
1
 lim
0
n


n lnn 
n lnn 
11 .2.) a n  1  a n  Sea f x  
f ' x  

1
una función de la serie
x lnx 


1 
n 1
   1 n lnn 
n2


 x    lnx   1  0 para todo x  2, por lo tan to es decrecient e
 lnx   x 1
x lnx 2
finalmente
x lnx 2


1 
n 1
   1 n lnn 
n2


es convergent e por criterio de series alternas
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12 .)


sen n 
n 1
lim sen n  N.D. por lo tan to
n


sen n  diverge por criterio de n  ésimo tér min o
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
 3n n 2 


 n! 
n 1 

Aplicando el criterio del cociente ;
13 .)


3 n  1 n  1
n  1!
 lim
n
3n n 2
n!
2
an 1
n a
n
lim
n 1
 3 lim
n
n2
3 n  1 n  1  n !
2
 lim
n  1!3
n
 30   0  1; por lo tan to


n 1
n
n
2
n
 3n n 2

 n!

3 n 31 n  1  n !
2
 lim
n  1 n!3
n
n
2
 lim
3n  1
n2
n

 converge por criterio del cociente


------------------------------------------------------------------------------------------------------
14 .)


sen 2n 
1  2n
n 1
comparació n ordinaria con serie

 2n
n 1
convergent e porque 1
sen 2n 
12
n

1
2
n
2
1


1
  2 
n 1
n
que es geometrica y
1
se cumple para todo n  1, por lo tan to


n 1
sen 2n 
1  2n
es convergent e
-----------------------------------------------------------------------------------------------------


n!


n  0  2  5  8  ...  3n  2  
Aplicando el criterio del cociente ;
15 .)

an 1
 lim
n a
n
n
lim
n  1!
2  5  8  ...  3n  2 3n  1  2
n!
2  5  8  ...  3n  2 
n  1  1  1; por
n   3n  5 
3
lim
lo tan to


n 1
 3n n 2

 n!

n  1 n ! 2  5  8  ...  3n  2 
n   2  5  8  ...  3n  2 3n  5  n !
 lim

 converge por criterio del cociente


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16 .)


n 1

2
n 1
3
n 1
 n2  1 


 n3  1 



n2
n

3
1
n

1
n
Comparació n en el límite con serie
que es armónica y divergente por definición
n 1
n2  1
1 
1 1 2
3
an
n3  n  n3 

n
1
n 1 0
 lim
 lim 3
lim
 1   nlim
 1  1
n b
n
n n  1
1
n


n3
 n3 
n
  2
n 1
 diverge por criterio de comparació n en el límite ya que se
por lo tan to   3


n
1
n 1 

trabajó con una serie conocida divergente
------------------------------------------------------------------------------------------------------
17 .)

n
  1 2
1
n
n 1
lim a n  lim  1 2
n
n  
1
 lim 2
n
n  
por lo tan to

1
n
n  
n
  1 2
1
n
2
1

 2 0  1  0;
diverge por el criterio del n  ésimo tér min o.
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
18 .)


n2
  1n 1

 n 1





18 .1.) lim a n  lim
n
n
 1n 1
n 1
 lim
n
1
0
n 1
1
una función de la serie
x 1
18 .2.) a n  1  a n  Sea f x  


n2
  1n 1 


 n 1 



  1

1
2
x
 
f ' x   
 0 para todo x  2, por lo tan to es decrecient e
2
2
x 1
2 x x 1

finalmente



n2
 

 n
 2


  1n 1  
  es convergent e por criterio de series alternas

 n  1 


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n lnn 
  1 n

19 .)
n 1
19 .1.) sea f x  
f ' x  
2  lnx 
3
lnx 
una función de la serie
x
n lnn 
  1 n ; entonces

n 1
 0 cuando lnx   2 o x  e 2 , por lo tan to f x  es decrecient e
2x 2
para e 2 ,  en vista de lo cual la serie es decrecient e en el inf inito y se cumple a n  1  a n


1
1
2 n
lnn  
n  lim 1  0
n

 L ' H lim
 lim
 L ' H lim
19 .2.) lim
n
n 1
n n
n
n n

1
n
2 n
Finalmente
n lnn 
  1 n es

convergent e por criterio de series alternas
n 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
n  5
 n 

n 1  5
Aplicando el criterio del cociente ;
20 .)

a
lim n  1  lim
n a
n
n
Por lo tan to
n  1  5


n 1
5 n 1
n5
5n

n  6  5n
 lim n 1
n   5 5  n  5 
n  6   1 lim n  6   1 1  1  1
n   5  n  5 
5 n   n  5  5
5
 lim
n  5
 n  converge por criterio del cociente
 5 
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

21 .)
n 1


3

 3
 n 
 2 2

n
n 1  n


n 1  n

n 2  n 
n2  n
2 2 n 1

n 1
serie geométrica


n 1
3
2
n
2

 3
n 1
1
 2
n
2
1
1
 3
n 1
1
n
 2
n
a  3 1
n

 1 
 3 
 
n 1  2 
r 1
2
2
1
3
3
Sn 

2  3
2 1

2

2 1

2

serie telescópic a

n 1  n
n 1
n2  n




n 1

n 1

 n n 1 



n n  1 
n


n 1
 1


 n
1


n 1
1   1
1   1
1 
1   1
1 
1
 1
 




  
  ...  

  

n  n
n 1
2  2
3  3
4
1
 n 1
1
1
n 1
1 

 1 
S n  lim 1 
  lim 1  lim 
 10 1
n 
n  n  1 
n  1  n

finalmente


n 1
 3
 n 
 2 2
n 1  n

n 2  n 
3
3  2 1 2  2

1 
2 1
2 1
2 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
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22 .)


n 1

n 2  1 

 n 3  2n 2  5 


n 2 1  1 2 
n2 1  1 2
n 1 1 2
n 

n
n  n  1


 3

n  2n 2  5
n 3  2n 2  5
n 3  2n 2  5
n 3  2n 2  5 n 3 n 2

1
Comparació n ordinaria con serie  2 que es serie  p y convergent e  p  2  1
n 1 n
n2  1
n2  1
n 3  2n 2  5
1

n2
se cumple para todo n  1, por lo tan to

n 2  1 

converge
 n 3  2n 2  5 




n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
23 .)


n 1
1 
tan 
n

Comparació n en el límite con serie
 1n
que es armónica y divergente por definición
n 1
 
tan 1
an
n  0
lim
 lim
n b
n
1
0
n
n
 lim
 x   L' H lim sec 1 x     1 x
2
tan 1
1
n
 1
n
x
2

  lim sec 2 1
n
x2
 x   1
2
 1  0;

1 
tan  diverge por criterio de comparació n en el límite ya que se
n
n 1
trabajó con una serie conocida divergente
por lo tan to

------------------------------------------------------------------------------------------------------
24 .)
 nsen 1n 

n 1
 n 
lim a n  lim nsen 1
n  
n  
lim
 n 
sen 1
n  
1
n
lim
x 0 
sen x 
1 0
x
x1
n
n  ; x  0 
Finalmente
 nsen 1n  diverge

por criterio del n  ésimo tér min o
n 1
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 n! 
 2
 n 
n 1  e

Aplicando el criterio del cociente ;
25 .)


n  1!
n  1 
a
lim n  1  lim e
n a
n
n!
n
2
en
Por lo tan to


n 1
 lim
n  1!  e n
e n  1   n !
2
n
2
 n!
 2
 n
e
2
 lim
n
n  1 n!  e n
en
2
 2n  1
2
 n!
 lim
n
n  1  0  1
e 2n  1

 converge por criterio del cociente


------------------------------------------------------------------------------------------------------
 n2  1 
  n 
n 1  5

Aplicando el criterio del cociente ;
26 .)

an 1
 lim
n a
n
n
lim
n  12  1
5 n 1
n2  1
5

 lim
n
n  12  1  5 n

5 n 1  n 2  1

 lim
n
n
2

 2n  2  5 n

5 n 51  n 2  1


1
n 2  2n  2
lim
5 n   n2  1


n
1
1  1  1; Por lo tan to
5
5


n 1
 n2  1 


 5 n  converge por criterio del cociente


------------------------------------------------------------------------------------------------------
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

27 .)
n2
 lnn  
 2 
 n 
sea f x  
lnx 
x
2
una función de


n2
 lnn  
 2 , entonces ;
 n 
1 x  lnx 2 x
x  lnx 2 x 1  2 lnx 
x


 0 para todo x  2
4
x
x4
x3
lnx 
sea f x   2 una función positiva , continua y decrecient e en 2, , entonces ;
x
2
 lnx  
 2 '
 x 

2

lnx 
x
lnx 
2
dx
x2
u  lnx 
du  dx
w
w   2
dx  lim
x
lnx 
dx
x2



lnx 
dv  x  2 dx I  

x

v  1 
x


lnx  1
 lnx  1 
  
 
x
x
x
 x
lnw  1  
ln2  1 
 lnx  1 

dx
lim
lim
lim







 






w   2
w    x
x 2
w   w   2
2
x2
 w   w
1
lnw  
* * lim

 L ' H lim w  lim 1  0
w  
w   1
w   w
w

 ln2  1 
 0  0   
   0.8466
2
 2
w
 lim
lnx 
dx
 x2
w
Como la int egral es convergent e , entonces


n2
 lnn  
 2  por criterio de la int egral
 n 
------------------------------------------------------------------------------------------------------
28 .)


n 1
 1n
e
 n 2





 Comparació n ordinaria con serie

1
 n2
que es serie  p y convergent e  p  2  1
n 1
e
1
n
n2

1
n2
se cumple para todo n  1, por lo tan to


n 1
 1n
e
 n 2



 converge

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29 .)


n 1
  1n 


 cosh n  


1
29 .1.) sea f x  
una función de la serie
cosh x 
f ' x  
 senh x 
cosh 2 x 
29 .2.) lim
n
Finalmente


n 1
  1n 

; entonces
 cosh n  


 0 para todo x  1, f x  es decrecient e en inf inito y se cumple a n  1  a n
1
1

0
cosh n  


n 1
  1n 

 es convergent e por criterio de series alternas
 cosh n  


------------------------------------------------------------------------------------------------------
30 .)

n
n
  1 n  5
n 1
x
una función de la serie
x 5
30 .1.) sea f x  
f ' x  
5x
n 1
 0 para todo x  5, f x  es decrecient e en inf inito y se cumple a n  1  a n
2 x x  5 
2
n

30 .2.) lim

 L ' H lim
n n  5
n

Finalmente

n
n
  1 n  5 ; entonces

n
n
  1 n  5
1
2 n  1 lim 1  0
1
2 n n
es convergent e por criterio de series alternas
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------
31 .)


n 1
 5n

 3n  4 n







lim a n  lim n

n
n  
n   3  4


5n
Finalmente
1

1
5 n   lim
 lim

n
n   3
1  n   3
4n

n
5 
5
5n
5n
 nsen 1n  diverge

1
   4 5 
n
n

1

00
por criterio del n  ésimo tér min o
n 1
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33 .)


n 1

1
 
 sen 1

n

n



n  1  1
n n n n 32
Comparació n en el límite con serie


1
3
que es serie  p y convergent e  p  3
n 1 n 2
 n
sen 1
an
 lim
n
n b
n
n
1
lim
 n 
 lim nsen 1
n  
lim
n  
n n
 n 
sen 1
1
n
lim
x 0 
2
1
sen x 
1 0
x
x1
n
n  ; x  0 
 
 sen 1 


  n n  converge por criterio de comparació n en el límite ya que se
n 1


trabajó con una serie conocida convergent e
Por lo tan to

------------------------------------------------------------------------------------------------------
34 .)


n 1
1
n  n cos 2 n 
Tomando en considerac ión el comportami ento de la función cos x  en el inf inito
se cumple que 0  n cos 2 n   n
Por el criterio de comparació n ordinaria podemos utilizar la serie
1
 2n
que es divergente
motivo por el cual debemos verificar :
1
1

 n  n cos 2 n   2n se cumple para todo n en el int ervalo 1,  
2n n  n cos 2 n 
Por lo tan to


n 1
1
n  n cos 2 n 
diverge al ser comparado con una conocida divergente
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36 .)


   1
n 1
n 1

1

n  lnn  
Como esta serie es alterna se estudiara la convergenc ia o divergenci a de :


A.)
an 
n 1
B )
n 1
n 1
n 1

a


   1
n



   1
n 1
n 1

1
 
n  lnn  



1
  n  lnn 
 se recomienda criterio de comparació n
n 1

1
  se recomienda criterio de series alternas
n  lnn  

PARTE A Criterio de comparació n ordinaria 




1
1

  Serie conocida comparativ a 
  armónica divergente
n 1  n  lnn  
n 1  n 
1
1
 
 n  lnn   n  n  lnn   n  0   lnn   0   lnn   0;
n n  lnn 


Como la desigualda d es afirmativa y la serie



1
  n  lnn  ha sido comparada con una
n 1
serie conocida divergente , entonces


1

  n  lnn  divergente
n 1

PARTE B Criterio de series alternas 
B.1.) verificar que la serie es decrecient e en el inf inito  a n 1  a n
1
1

 n  lnn   n  1  lnn  1  lnn  1  lnn   n  1  n
n  1  lnn  1 n  lnn
n 1
 ln
  1; desigualda d es afirmativa , por lo tan to la serie es decrecient e
 n 
B.2.) verificar que lim a n  0
n 
1
1
lim
 lim
0
n   n  lnn 
n 
n1  lnn  
n

Como se cumplen los dos criterios de series alternas ,


   1
n 1
n 1

1
 es convergent e
n  lnn  

R/


n 1
a n diverge y

a
n
converge , la serie estudiada es condiciona lmente convergent e
n 1
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SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.06: Criterios de Convergencia
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675
3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio
Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
38 .)
 n 2  1    2


n 1
n 1

1
n

 1

por el criterio de comparació n directa podemos utilizar la serie
1
 n que es divergente
motivo por el cual debemos verificar :
1
a
2 1 0
  L ' H lim
lim n  lim
n  b
n 
n 
1
0
n
n
como
n
1
 n diverge entonces
2
1
n
 ln2     1 2 
1
n 

 lim 2 n  ln2   ln2   0
n 
 1 2
n
 n 2  1 diverge

también .
n 1
Bibliografía Utilizada en la Conformación Teórica y Selección/Solución de los Ejercicios Planteados
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores
Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores.
Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.
Santiago de Chile.
Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning Editores.
Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de
Venezuela.
Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio Anzoátegui”.
República Bolivariana de Venezuela.
Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de Chile,
Chile.
Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
JCLZ1209® D.R.2015
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