solucionario 7maguia 2doparcial estudioseriespotencia integral675 v1

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675
3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio
Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
7ma Guía de Estudio – 2do Parcial
Estudio de Series de Potencia
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07
Comentarios Generales
Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que
posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún
momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un
formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar
especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de
Cálculo I Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes
textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático (Autor), genera
un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería.
Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio,
dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un
facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.
Instrucciones Específicas:
Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá
cumplir las siguientes condiciones:
a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la
hoja.
b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los
demás elementos que apliquen según sea el caso).
c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía.
d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con
su respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será:
“X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.
A.-) En los problemas del 1 al 28, determine el radio e intervalo de convergencia de las
series planteadas
1.)


n 0
lim
n 
2n x  3 
n!
an 1
an
n 1
 lim
n 
n 1 1
2n 1 x  3 
n  1!
2n x  3 
n!
n 1
 lim
n 
2n21 x  3  x  3   n !
n
2
n  1 n !2n x  3n x  31
2x  3 
 lim
n  n  1
1
1
 2x  3   0  1; por lo tan to converge para todo x  R
n  n  1

 2x  3  lim
Finalmente ; IC    x  ;
RC  
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2.)


2n! x  1n
n0
lim
an 1
n 
an
n ! 3n
 lim
n 
2n  1! x  1n 1
n  1! 3n1
2n! x  1n
 lim
n 
2n  2 2n  12n ! x  1n x  11  n ! 3n
n  1 n ! 3n31  2n! x  1n
n ! 3n
 lim
n 
2n  2 2n  1x  1
n  13

x 1
x 1
x 1
2n  12n  1

lim 22n  1 

lim
n  1
3 n 
3
3 n 
dado que tenemos una multiplica ción por  , debemos buscar el valor de " x " que nos de
como resultado poder realizar la operación 0    0 , que está definida para este caso de
series porque el inifinito está restringid o a los números naturales , a diferencia del inf inito
trabajado en las funciones que incluye todos los reales .
x 1
 0  x  1; por lo tan to la serie diverge para todos los valores de x  1
3

Finalmente ; IC  1;
RC  0
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3.)


n 1
lim
n 
xn
n
an 1
an
x n 1
n 1
 lim
 lim
xn
n
n 
x n x1  n
n 
n  1  xn
 lim
n 
n
x n
 x lim
 x 1  x
n n  1
n 1
 x 1
 1  x  1

cuando x  1


n 1
 1n
n
serie alterna
 1n



 1n converge por
n
n 
n 
n
la serie 
n

n 1

1
1
 an 1  an 

se cumple para todo n  1criterio de series alternas
n 1
n


 lim an  lim
 lim
1
0
n
cuando x  1


n 1
1n
n



n 1
1

n


1
1
n 1 n 2
; diverge porque es una serie  p, con p  1  1
2

Finalmente ; IC  1  x  1; R C  1
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4.)


 1n x n
n 0
lim
n 
n 1
an 1
an
x n 1
n  1  1
 lim
xn
n 1
n 
 lim
x n x1  n  1
n 
n  2   x n
 lim
n 
n  1  x  1  x
x n  1
 x lim
n  n  2 
n  2 
 x 1
 1  x  1

cuando x  1


n 0
 1n  1n
n 1



 1  1n
n0
n 1


1n

1
 n  1   n  1; diverge
n 0
por serie armónica
n0

cuando x  1


n0
 1n 1n
n 1

 1n

 n 1
serie alterna
n0
 1n

n



 1
converge por
n
n  n  1
la serie 
n

n 1

1
1
 an 1  an 

se cumple para todo n  1criterio de series alternas
n  2 n 1


 lim an  lim
1
0
n n  1
 lim
Finalmente ; IC  1  x  1;
RC  1
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5.)


 1n1 x n
n3
n 1
x n 1
lim
n 
an 1
 lim
an
n  13
xn
n 
 lim
n 
x n x 1  n3
n  13  x n
 lim
n
xn3
n  13
 x lim
n
n3
n  13
 x 1  x
n3
 x 1
 1  x  1

cuando x  1


n 1
 1n1  1n
n
3


1
 n3
n 1

 
1
n 1 n
3
; serie  p convergent e con p  3  1

cuando x  1


n 1
 1n1 1n
n3



n 1
 1n1
n3
 1n1
serie alterna



 1n converge por
n
n 
n   n3
n3
la serie 
n

n 1
1
1

 an 1  an 

se cumple para todo n  1criterio de series alternas
n  13 n3


 lim an  lim
 lim
Finalmente ; IC  1  x  1;
1
0
RC  1
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6.)


n xn
n 1
lim
n 
an 1
n  1 x n 1
 lim
an
n 
nx
n
 lim
n  1  x n x1
n
nx
n
 x lim
n 
n 1
n 1
 x lim
 x 1  x
n
n
n
 x 1
 1  x  1

cuando x  1

n  1

n
serie alterna
n 1
n


 1n diverge por
n   la serie 
n

n 1

criterio de series alternas
n  1  lim
n
 lim an  lim
n 
n
 an 1  an

cuando x  1


n 1 
n
n 1


n
n 1
lim an  lim
n 
n
n  ; divergente por criterio del n  ésimo tér min o

Finalmente ; IC  1  x  1;
RC  1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
7.)


n0
lim
n 
xn
n!
an 1
an
 lim
n 
x n 1
n  1!
n
x
n!
 lim
n 
x n x1  n !
n  1 n ! x
n
1
 x 0  0 1
n  n  1
 x lim
por lo tan to converge para todo x  R

Finalmente ; IC    x  ; R C  
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8.)


n ! x  2 
n 1
lim
n 
an 1
an
n
nn
 lim
n 
n  1! x  2 n1
n  1n1
n
n ! x  2 
 lim
n 
n  1 n ! x  2 n x  2 1  nn
n  1n n  11  n ! x  2 n
 lim
n 
x  2 nn
n  1n
nn
n
 n 
 x  2 lim 

n   n  1 

 n 
n
lim n ln 

 n 
n 1 
lim 
  en  
n   n  1 
 n 
lim n ln
  0
n 
n  1
 n 
1
1
1
ln


2
lnn   lnn  1
n2
n  1 0


n
n
1
n
n

  lim 2
 1
 lim
lim
  lim
 L ' H lim
1
1
1
1
n 
n 
n 
n 
n  n  n
0
 2
 2
n
n
n
n

 n 
lim n ln

en    n 1 
 e 1  1
e

n




 
 n 
x  2 lim 
  x2 1
e
n   n  1 
x2
1 x2  e
e
e  x  2  e
e  2  x  e  2

Finalmente ; IC   e  2  x  e  2;
RC 
e  2   e  2 
e
2
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9.)
2 n

n x
  1n 2n
n 1
n  12 x n1
lim
n 
an 1
an
2n 1
 lim
 lim
n2 x n
n 
n  12 x n x1 2n
n 
2n21 n2 x n
 lim
n 
n  12 x
2n2

x
2
lim
n 
n  12
n2

x
2
1
2n

x
1
2
 x 2
 2  x  2

n
2
n n  2 



1

2n

n 1
n
n
2
n n  1 2 



1

2n


n 1


  1n n2
n 1
 lim an  lim  1 n2  lim n2  ; divergente por el criterio del n  ésimo tér min o
n
n 
n 
n 

n
2
n n 2 



1

2n


n 1

  1n n2
n 1
 lim an  lim  1 n2  lim n2  ; divergente por el criterio del n  ésimo tér min o
n
n 
n 
n 

Finalmente IC  2  x  2;
RC  2
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10 .)


10n x n
n3
n 1
10n 1 x n 1
lim
n 
an 1
an
n  13
 lim
10 n x n
n 
10n101 x n x1  n3
 lim
n 
n  13  10n x n
 lim
n 
10 xn3
n  13
 10 x lim
n 
n3
n  13
n3
3
 n 
 10 x lim 
  10 x  1  10 x  1
n   n  1 
 10 x  1
 1  10 x  1
 1  x  1
10
10

cuando x   1
10

10 n  1
10

3
n
n 1


n



 1n
10 n
10 n
n3
n 1
 1n



 1n
n 1
n3
serie alterna

n



 1
n
n   n3
n   n3
converge por
la serie 
n

n 1
1
1

 an 1  an 
 3 se cumple para todo n  1criterio de series alternas
3
n  1 n


cuando x  1
10
 lim an  lim
 
10 n 1
 n310
n 1

n



n 1
10
n
 lim
1n
10 n
n
3

1
0

1
 n3 ; serie  p convergent e con p  3  1
n 1

Finalmente ; IC   1  x  1 ;
10
10
RC  1
10
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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11 .)
 2 n x n


4
n 1
n
 2 n1 x n1
lim
n 
4
an 1
 lim
an
n 1
 2 
4
 2 x lim
4
n 
 lim
n n
n 
 2 n  2 1 x n x1  4 n
n
4
n  1   2  x n
n 
x
 lim
n 
 2 x  4 n
4
n 1
  2 x lim
n  4
4
n 1
n
n
 2x  41  2x  1
n 1
 2x 1
 1  x  1
2
2

cuando x  1


n 1
 2 n 1 2 
n
4
n
2
n
1

  2  
2
  4

n
n 1
 1n


 1n
4
n 1
serie alterna
n

n



 1
4
4
n 
n 
n  n
converge por
la serie  4
n

n
n 1

1
1
 an 1  an  4
 4 se cumple para todo n  1criterio de series alternas
n 1
n


 lim an  lim
cuando x   1


n 1
 2 
n
 12 
4
n
n
 lim
1
0
2
n
1

  2   
2

 
4
n
n 1

1n
 4n
n 1


1
 4 n ; serie  p divergente
n 1
con p  1
4
1

Finalmente ; IC   1  x  1 ;
2
2
RC  1
2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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n
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12 .)
xn


5n n5
n 1
x n 1
 lim
an
n 
5n 1 n  1
5
an 1
lim
 lim
xn
n 
n 
x n x1 5n n5
5n51 n  1 x n
5
 lim
n 
n5 x
5n  1
5

x
5
lim
n 
n5
n  15

x
5
1
5n n5
x

1
5
 x 5
 5  x  5

 5 n


n 1

5n n5





 1n 5 n
5n n5
n 1



n5
n5
n 1
 1n ; convergent e por
n 1
 1n
la prueba de la serie alterna



n 1

5 n
n 5
5 n


n 1
1
n5



n 1
1
n5
; convergent e por serie p  5  1

IC  5  x  5; R C  5
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13 .)
n

x
  1n 4n lnn
n2
x n 1
lim
n 
an 1
an
 lim
n 
4 n 1 lnn  1
xn
x n x1  4 n lnn 
 lim
n 
4 n lnn 
4 n 41 lnn  1  x n
 lim
n 
x lnn 
x
lnn 
lim

4 lnn  1
4 n  lnn  1

1
lnn 

n  lim n  1  1

 L ' H lim
n  lnn  1
n  1
n  n

n 1

lim

x
lnn 
x
x
lim
 1 
1
4 n  lnn  1
4
4
x
 1  4  x  4
4

 1 
cuando x  4
n

 1n serie alterna
n 4 


1




4 n lnn  n 1 lnn 
n 1
 1n  lim 1  0
 lim an  lim
n
n   lnn 
n  lnn 


n



 1
converge por
la serie 

n 1 lnn 

1
1
se cumple para todo n  1criterio de series alternas
 an 1  an 

lnn  1 lnn 


cuando x  4
n
n



 4
 1  4 
  1 4n lnn   4n lnn
n 1
n 1

n

1
; comparació n ordinaria con
 
n 1 lnn 
1
1
se cumple para todo n  2, por lo tan to

n lnn 

1
 lnn es

1
n
armónica div.
n 1
divergente
n 1

Finalmente ; IC  4  x  4;
RC  4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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14.)

  1n
n 0
lim
n 
an1
an
x 2n
2n!
 lim
n 
x 2n1
2n  1!
x 2n
2n!
 lim
n
x 2n x 2  2n!
2n  22n  12n!x 2n
 lim
n 
x2
2n  22n  1
1
 x2  0  0  1
n 2n  2 2n  1
por lo tan to converge para todo x  R

Finalmente; IC    x  ; R C  
 x 2 lim
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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

15 .)
x  2 n
n2  1
n0
lim
an 1
n 
 lim
an
n 
x  2 n1
n  12  1
x  2 n
 lim
n 
n2  1
 x  2 lim
n2  1
n 
n2  2n  2
x  2 n x  2 1  n2  1
n  12  1 x  2n
 lim
n 
x  2 n2  1
n  12  1
 x  2 1  x  2  1
 x 2 1
 1  x  2  1  1  x  3

cuando x  1


n 0
1  2 n
n2  1



n0
 1n
n2  1
 1n
serie alterna



 1n converge por
n
n   n2  1
n   n2  1
la
serie

 2

n 0 n  1
1
1

se cumple para todo n  1criterio de series alternas
 an 1  an 
 2
2
n  1  1 n  1


 lim an  lim
1
 lim
0
cuando x  3


n 0
1  3n
2
n 1
1
2
n 1



n0
1
n

2
1n
2
n 1



n 0
1
; comparació n con serie  p
n2  1
se cumple para todo n  0 , por lo tan to


n0
1
2
n 1


n0
1
n2
convergent e p  2  1
es convergent e

Finalmente ; IC  1  x  3;
RC  1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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16 .)
x  3
  1n 2n  1
n

n0
lim
an 1
n 
an
 lim
n 
x  3n 1
2n  1  1
x  3n
x  3n x  31  2n  1
2n  3  x  3n
 lim
n 
 lim
n 
x  32n  1
2n  3
2n  1
2n  1
 x  3 1  x  3  1
n   2n  3
 x3 1
 x  3 lim
 1  x  3  1  2  x  4

cuando x  4
n

4  3
  1 2n  1

n

n0


n0
 1n
 1n 1n
2n  1



n0
 1n
2n  1
serie alterna



 1n converge por
n 
n   2n  1
la
serie




n  0 2n  1

1
1
 an 1  an 

se cumple para todo n  0 criterio de series alternas
2n  1  1 2n  1


cuando x  2
 lim an  lim
2  3
  1n 2n  1

n0


n0
n



n0
1
0
n   2n  1
 lim
 1n  1n
2n  1



n0
1n
2n  1



1
2n  1
n0

1
comparació n en el límite con armónica
2n  1

n0
1
divergente por definición
n
1
an
n
lim
 lim 2n  1  lim
 1  0 , por lo tan to
2
1
n   bn
n 
n   2n  1
n
comparació n en el límite con una serie armónica


n0
1
diverge por
2n  1

Finalmente ; IC  2  x  4;
RC  1
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17 .)


n 1
3n x  4 
n
n
3n 1 x  4 
n 1
n 1
lim
an 1
n 
an
 lim
n
 lim
3n x  4 
n
n
n 
3n31 x  4  x  4   n
1
n  1  3 x  4 
n
n
n 
 lim
n 
3x  4  n
n 1
n
n
 3x  4  lim
 3x  4   1  3x  4   1
n  n  1
n 1
 3x  4  lim
n 
 3x  4   1
 1  3x  4   1   1  x  4  1   13  x   11
3
3
3
3

cuando x   13


n 1

3n  13  4
3
n
3

n




3n  1
n
n
n 1
 1n

3

3   13 
n


n
n 1



 1n
n
n 1
serie alterna



 1n converge por
la
serie
n 
n 
n 

n

 n

n 1

1
1
se cumple para todo n  1criterio de series alternas
 an 1  an 

n 1
n


cuando x   11
3
 lim an  lim


n 1



3n  11  4
3
n
1

n


1
1

n



n 1
1
0
n
 lim
 3
3n 1
n
n



n 1
3  13 
n

n


n 1
1n
n



n 1
1
n
; por lo tan to la serie  p diverge porque p  1  1
2
n 2

n 1
n 1
Finalmente ; IC   13
3
 x   11 ;
3
RC  1
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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

18 .)
n 1
n
4
n
x  1n
n  1x  1n 1
an 1
lim
an
n 
4 n 1
 lim
 lim
nx  1
n
n 
n 
n  1x  1n x  11  4n
n
4 n 41  nx  1
 lim
n 
n  1x  1
4 n
4n

x 1
x 1
n 1
x 1

1 
1
lim
4
4 n  n
4

x 1
1
4
x 1
 1   4  x  1  4  5  x  3
4

cuando x  5
 1 


n 1
n
4
 5  1
n
n



n 1
n
4
 4 
n
n



n 1
n
 4

 n
 4 

  1n n
serie alterna
n 1


n
 lim an  lim  1 n  lim n  la serie   1n n diverge por
n 
n 
n 

n 1

 an 1  an
criterio de series alternas

cuando x  3

n
 4n 3  1
n
n 1


n
 4n 4 
n

n 1


n 1
lim an  lim n  ; por lo tan to
n 
n 
n
4
  n
4



n 1
n 1
 1n n  
 n diverge
n
por el criterio del n  ésimo tér min o
n 1

Finalmente ; IC  5  x  3;
RC  4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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19.)


x  2n
nn
n 1
lim
n 
an1
an
 lim
n 
x  2n1
n  1n1
x  2n
 lim
n
x  2n x  21  nn
n  1n n  11  x  2n
 lim
n 
x  2  nn
n  1n n  1
nn
 x  2 lim
n
nn
n  1n n  1
 x  2 lim
n 
nn
n  1n
n
1
1
 n 
 lim
 x  2 lim 
  lim
n n  1
n  n  1 
n  n  1

 n 
n
lim n ln

 n 
n 1
lim 
  en    
n   n  1 
 n 
lim n ln
  0
n 
n  1
 n 
1
1
1
ln


2
lnn  lnn  1
n2
n  1 0



n
n
1
n
n
  lim
 L ' H lim
 lim
  lim 2
 1
lim
1
1
1
1
n 
n 
n 
n 
n  n  n
0
 2
 2
n
n
n
n
e
 n 
lim n ln

 n 1 
n
 e 1  1
e

1
0
n  n  1

lim
n
1
 n 
x  2 lim 
 x 2  1 0  0 1
  lim
e
n   n  1 
n  n  1
por lo tan to converge para todo x  R

Finalmente; IC    x  ;
RC  
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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

3x  2 n
n3n
n 1
lim
an 1
n 
an
 lim
n 
3x  2 n1
n  13n1
3x  2 n
 lim
n 
3x  2 n 3x  2 1  n3n
n  13n31  3x  2 n
 lim
n 
3x  2   n
n  13
n3n
3x  2
n
3x  2
3x  2

1 
1
lim
n  n  1
3
3
3

3x  2
1
3
3x  2
 1   3  3 x  2  3  1  3 x  5   1  x  5
3
3
3

 1 
cuando x   1


n 1
3 13   2
3
n
n3n



n 1
 3n
n3n



n 1
n
  3 1 

  
 3  n

1 
  1n  n 
serie alterna
n 1

1
n 1 

 lim an  lim  1    lim  0
la serie
 1n  1  converge por


n 
n 
n


n
n

 

n
n 1
1
1

 an 1  an 
 se cumple para todo n  1criterio de series alternas
n 1 n


cuando x  5


n 1
35 3   2
3
n
n3n



n 1
3n
n3n



n 1
n
3 1 
   
3 n


1
 1n  n   
n 1
 
n 1
1
n
diverge por definición ya que es una serie armónica

Finalmente ; IC   1  x  5 ;
3
3
RC  1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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21 .)


n 1
n
b
n
x  an ; b  0
n  1x  an1
an 1
lim
an
n 
bn 1
 lim
 lim
nx  a 
n
n 
n 
n  1x  an x  a1  bn
n
bnb1  nx  a 
 lim
n 
n  1x  a
bn
bn
xa
n 1
xa
xa

1 
1
lim
b
b n  n
b

xa
1
b
xa
 1  b  x  a  b  a  b  x  b  a
b

 1 
cuando x  a  b


n 1
n
b
a  b  a
n
n



n 1
 b n n 
bn


n 1
n
 b

 n
 b 

  1n n
serie alterna
n 1

n
 lim an  lim  1 n  lim n   la serie   1n n diverge por
n 
n 
n 

n 1

 an 1  an 
criterio de series alternas


cuando x  b  a

n
 bn b  a  a
n
n 1



n 1
bn
bn
n


n 1
n
b
  n
b


n 1
n 1
 1n n  
n
lim an  lim n  ; diverge por criterio del n  ésimo tér min o
n 
n 

Finalmente ; IC  a  b  x  b  a;
RC  b
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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22 .)


nx  4 
n
n3  1
n 1
lim
n 
n  1x  4 n 1
n  13  1
n
nx  4 
n  1x  4 n x  4 1  n3  1
n  13  1  nx  4 n
 lim
n 
n3  1
n  1  n3  1 
n   n  13  1  n
 lim
n 
n  1x  4   n3  1
n  13  1  n
1
n3  1
n 1
n3  1




x
4
lim
1
lim
lim


n   n n   n  13  1
n  
n  n   n  13  1
x  4 lim
x  4 lim
 x  4 1 1  x  4  1
 1  x  4  1  3  x  5

cuando x  3


n 1
n3  4 
n
n3  1



n 1
n 1
n
serie alterna
n3  1
n 1

n


n 1
n 
n   n3  1
n   n3  1
converge por
la serie  3

n
1

n 1
n
n 1


se
cumple
para
todo
n

1
 an 1  an 
criterio
de
series alternas

n  13  1 n3  1


n
 lim an  lim
n
 lim
0
cuando x  5


n 1


n 1
n5  4 
n
3
n 1
n
3
n 1



n 1
n1
n
3
n 1



n 1
n
3
n 1
comparació n en el límite con serie  p


n0
1
n2
convergent e porque p  2  1
n

an
n3
n
 lim n  1  lim 3
 1  0 , por lo tan to  3
converge por
1
n   bn
n 
n  n  1
n 1 n  1
n2
comparació n en el límite con una serie  p convergent e
lim
3

Finalmente ; IC  3  x  5;
RC  1
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
 n ! 2 x  1n
23 .)
n 1
lim
an 1
 lim
an
n 
n  1! 2 x  1n1
 lim
n ! 2 x  1
n
n 
n 
n  1 n ! 2 x  1n 2 x  11
n
n ! 2 x  1
 lim n  12 x  1
n 
2 x  1 lim n  1  2 x  1  
n 
dado que tenemos una multiplica ción por  , debemos buscar el valor de " x " que nos de
como resultado poder realizar la operación 0    0 que está definida para este caso de
series porque el inifinito está restringid o a los números naturales , a diferencia del inf inito
trabajado en las funciones que incluye todos los reales .
2x  1  0
x  1
2
por lo tan to la serie diverge para todos los valores de x  1
2

Finalmente ; IC  1 ;
2
RC  0
----------------------------------------------------------------------------------------------------

24 .)
n 1
lim
an 1
n 
 lim
an
n 
n2 x n
2  4  6  ...  2n 
 lim
n  12 x n 1
2  4  6  ...  2n   2n  2 
n2 x n
2  4  6  ...  2n 
n 
n  1x
2n
2

 lim
n 
n  12 x n x1  2  4  6  ...  2n
2  4  6  ...  2n  2n  1  n2 x n
x
n 1
x
lim

0  0 1
2
2 n  n
2
R /  Por el criterio del cociente
Ic    ,   R ;


n 1
n2 x n
es convergent e para toda x
2  4  6  ...  2n 
Rc  
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25 .)


4 x  1n
n2
n 1

lim
an 1
an
n 
 lim
n 
4 x  1n1
n  12
4 x  1n
 lim
n 
4 x  1n 4 x  11  n2
n  12  4 x  1n
 lim
n 
4 x  1  n2
n  12
n2
 4 x  1 lim
n
n2
n  12
 4x  1  1  4x  1
 4x  1  1
 1  4 x  1  1   2  4 x  0   1  x  0
2

R /  Por el criterio del cociente


Ic   1 ,0  R ;
2
Rc 

0 1
2


4 x  1n
n 1

2  1
n2
es convergent e para  1  x  0
2
4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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26 .)
x 2n


n ln 2 n 
n 2
x 2n  2
lim
a n 1
n 
 lim
an
n  1ln 2 n  1
x 2n
n 
 lim
n 
x 2n x 2  n ln 2 n 
n  1ln 2 n  1  x 2n
 x
2
lim
n 
n ln 2 n 
n  1ln 2 n  1
n ln 2 n 

n ln 2 n 
 lnn  
n

 lim
 lim 
lim
2
n  n  1 ln n  1
n  n  1 n   lnn  1 
2

lnn  
n

 lim
  lim
n  n  1  n  lnn  1 
2
aplicando regla de LHopital en el segundo límite
2


1
2


n 1

2
n
 1   lim
  1  1  1
  1   lim
 n  n 
 n  1 n  1 



n ln 2 n 
 x 2 lim
n 
n  1ln n  1
2
 x2 1  x2
Por el criterio del cociente tenemos que Ic  x 2  1  x  1  1  x  1

Ahora debemos verificar los extremos
2n


 1
1 2n
 
x  1  
2
2
n  2 n ln n 
n  2 n ln n 



n 2
1
n ln 2 n 
f x  
analizarem os
1
x ln
2
x 
 f ' x   
y
 12n   1 2n , finalmente  1
 2
 2
 2
n  2 n ln n 
n  2 n ln n 
n  2 n ln n 

la convergenc ia con el criterio de la int egral 
lnx   2
x 2 ln 3 x 
 0  x  2, 
m

1 
1
 
 lim  
; int egral converge , serie converge
2 x ln 2 x   mlim

2
  2 x ln x 
m    lnx  
ln2 
2


1
m
1
R /  Ic  1  x  1 y R c  1
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

27 .)
n 1
xn
1  3  5  ...  2n  1
an  1  3  5  ...  2n  1
an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1  1
an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1

lim
an 1
an
n 
 lim
n 
 lim
x n 1
1  3  5  ...  2n  1  2n  1
xn
1  3  5  ...  2n  1
n 
 lim
n 
x n x1  1  3  5  ...  2n  1
1  3  5  ...  2n  1  2n  1  x n
x
1
 x lim
 x 0  0 1
n  2n  1
2n  1

R /  Por el criterio del cociente
Ic    ,   R ;


n 1
xn
es convergent e para toda x
1  3  5  ...  2n  1
Rc  
--------------------------------------------------------------------------------------------------
n ! xn

 1  3  5  ...  2n  1
28 .)
n 1
an  1  3  5  ...  2n  1
an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1  1
an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1

lim
an 1
n 
 lim
an
n 
 lim
n  1! x n1
1  3  5  ...  2n  1  2n  1
n 
n  1x
2n  1
n ! xn
1  3  5  ...  2n  1
 lim
n 
n  1n !  x n x1  1  3  5  ...  2n  1
1  3  5  ...  2n  1  2n  1  x n n !
x
n 1
 x 1 
 1  x  2  2  x  2
2
n  2n  1
2
 x lim

R /  Por el criterio del cociente


n 1
Ic   2,2   R ;
Rc 
xn
es convergent e para  2  x  2
1  3  5  ...  2n  1
2   2 
2
2
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