resumenteoricopractico criteriosconvergenciaseries integral1219 v1

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219
4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series
Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SUCESIONES Y SERIES
SUCESIONES
La convergencia en una sucesión tiene como fundamento la tendencia de la misma y básicamente se
refiere a la existencia de un valor al cual se acercan los términos de la sucesión;
lim an
n
si L  m, donde m es un valor numérico ya sea positivo o negativo ,

entonces podemos establecer que la sucesión es convergent e


si L   o no existe , entonces podemos establecer que la sucesión es

divergente
Para comprender mejor el concepto de sucesión, analizaremos un ejercicio sencillo, pero altamente
didáctico;

1 2 3 5 6 7 8
n
 n 
 , , , , , , ,...,


n 1
 n  1  n 1 2 3 4 6 7 8 9

n
n
 lim

n  n  1
n n  1

lim an  lim
n
1 
n  n
1
lim
lim

1
n   n  1  1  n   1  1
 n
n
por lo tan to , la sucesión es convergent e
y sus tér min os se acercan a un valor de 1
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lim an  L
n
Ejemplo de Repaso
Determine si la sucesión planteada converge o diverge:

1 

 3  n  n 
 



ln
n
 

n  2
lim an
n
3  n

 lim 
n    lnn  
1
1
n
3  n
 lim 

n    lnn  
1  3n 
ln

n  ln n  
1
n
 0
1  3n 
ln

n n
 ln n  
lim
3  n
lim 
  lim e
e
 e0  1
n    lnn  
n 

n
3  n
1
 ln

n n
 lnn  
lim
3  n
ln

lnn   


 lim
n 
n

 1
ln3  n   lnlnn 
1 
0
 L ' H lim 

n
n   3  n
n
n lnn  
 lim
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SERIES

 an
n 1
 1  2  3  4  5  ...  an
La convergencia en una serie tiene como fundamento la existencia del acercamiento a una sumatoria
definida por parte de todos los términos que la conforman.
Los criterios de convergencia que se estudiaran a continuación, únicamente cumplen la función de
indicarnos si la serie posee una sumatoria específica (convergente) o no posee dicha sumatoria
específica (divergente), pero el material no incluye determinar el valor de la sumatoria, excepto en los
casos donde la serie estudiada se encuentre dentro de las series típicas (geométricas, telescópicas, entre
otras.)
Procedimiento Recomendado sobre la aplicación de Criterios de Convergencia para Series
de Términos Positivos
1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia
lim an  0
n
NO
SERIE DIVERGENTE
SI
2.-) Utilizar Criterios de Series Conocidas
2.1.-) Serie geométrica
2.2.-) Serie armónica
2.3.-) Serie telescópica
2.4.-) Serie – p
o
3.-) Utilizar Criterio de la Integral
o
4.-) Criterio de la Comparación
Ordinaria
o
5.-) Criterio de la Comparación Límite
o
6.-) Utilizar Criterio de la Raíz
o
7.-) Utilizar Criterio del Cociente
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1.-) Criterio del n-ésimo Término para la Divergencia
Teoremas Importantes
1.1.-) si

 an
n 1
converge, entonces lim an  0
n
1.2.-) si lim an  0 ó lim an no existe, entonces
n
n

 an
diverge.
n 1
Ejemplo:
n3


n 1 3n
lim
n
3
 2n 2
n3
3n 3  2n 2



 1 
 n3 
1
1
lim
  0; por lo tan to
 lim
 1   lim
3
2
3
2
n   3n  2n
n   3n  2n 
 n 3  2n 3
 n3 
n3


n3
3
2
n 1 3n  2n
n3
es divergente por criterio del n  ésimo tér min o de divergenci a
2.-) Criterios de Series Conocidas
2.1.-) Serie Geométrica
Una serie del tipo

 ar n 1
converge si y solo si, r  1 donde “r” se denomina razón y por lo tanto
n 1
dicha serie tiene una suma S =
a
1r
2.2.-) Serie Armónica
Una serie del tipo

1
1
1
1
 n  1  2  3  ...  n
se denomina armónica y por definición o demostración
n 1
matemática, esta serie es divergente.
Cabe mencionar que ésta serie es especial, ya que representa una excepción al criterio del n-ésimo

1
1
 lim  0
n n
n 1 n
término para la divergencia, tal como se muestra a continuación: 
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Bajo este resultado y de acuerdo a la estructura de trabajo predeterminado para las series de términos
positivos, como el límite del n-ésimo termino nos brinda una respuesta de cero, entonces deberíamos
continuar con el proceso matemático destinado para probar su convergencia o divergencia, esto a través
de los criterios, pero en este caso no es necesario ya que la serie armónica ha sido definida como
divergente.
2.3.-) Serie Telescópica
Una serie del tipo

 b n  b n 1  se denomina telescópica o colapsante y su estructura básicamente
n 1
consiste en el término n-ésimo menos el término siguiente.
2.3.1.-)
2.3.2.-)

Sn
 b n  b n 1  converge si nlim

L,
n 1

S n , no existe o brinda como resultado infinito.
 b n  b n 1  diverge sí nlim

n 1
Donde Sn se denomina suma parcial y es un término que será creado a partir de la generación de los
primeros términos de la serie y observación/análisis de su comportamiento.
Ejemplo:

1
 n  2 n  3
n 1
buscando el formato de una serie telescópic a, aplicamos fracciones parciales
1
A
B
1
1
; entonces


 ... 

n  2 n  3 n  2 n  3
n2 n3
Sn 

 1
1 
1
1
1
1
1
1
 1
1 
 1
1 
  n  2  n  3    3  4    4  5    5  6   ...   n  1  n  2    n  2  n  3 
n 1





1  1
1
lim S n   lim  
  ; por lo tan to
n
n   3
n  3 3
existe el límite de su suma parcial S n 




1
 n  2 n  3 es


convergent e porque
n 1
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
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2.4.-) Serie – p
Una serie del tipo
2.4.1.-) una serie
2.4.2.-) una serie

1
1
1
 1 
, se denomina serie – p.
1

 ... 

p
p
p
p


n
2
3
n
n 1


 1 
 converge si y solo si p  1 .
p


n
n 1


 1 
 diverge si y solo si p  1 . (si p=1 es una serie armónica)
p


n
n 1

3.-) Criterio de la Integral
Sea f(x) una función de

 an
donde f(x) es continua, positiva y decreciente durante todo el intervalo
n 1
donde la serie está definida ([1,+oo[ para éste caso de explicación), entonces:
3.1.-) si
3.2.-) si

1
f x dx diverge, entonces

1 f x dx

 an
n 1

converge, entonces
diverge.
 an
converge.
n 1
Ejemplo:

1
 n lnn  sea f x  
n2
f x  
1
una función de la serie estudiada , entonces
x lnx 
1
es continua , positiva y decrecient e tabla de signos  1era derivada 
x lnx 
en el int ervalo 2,  y por lo tan to podemos aplicar el criterio de la int egral


2
u 1

1
u
dx  lim  
dx   lim lnlnx  2  lim lnlnu   lim lnln2   
 u
u    x lnx 
u
u
x lnx 
2

1

 x lnx  dx 
 dw
w  lnx   
 w
dw  dx 
x

como


2
 lnw   lnlnx 
1
dx es divergente , entonces
x lnx 

1
 n lnn  también
es divergente
n2
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4.-) Criterio de la Comparación Ordinaria
Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida
(geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que
conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una
estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos
también si la misma es convergente o divergente.
4.1.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida divergente, entonces debemos
verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:



n 1
  b n  an


 b n  serie conocida divergente 

n 1

 an  serie
ejercicio
Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que
la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “divergente” porque fue comparada
con una “divergente conocida”;
Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es convergente, únicamente basados en
el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de
procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple:
 Seleccionar y probar con otra serie conocida divergente ó
 Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas
Ejemplo:

1
 n  lnn
n 1
extraemos la serie comparativ a conocida tomando como referencia los elementos
de la serie propuesta en el ejercicio y en vista de dicha recomendac ión , podemos
int entar con la serie

 1n
que es la armónica y divergente por definición ;
n 1

1
como la desigualda d se cumple , entonces la serie



n 1 n  lnn 

n  lnn   n
es divergente al ser comparada con una serie conocida
divergente a través del criterio de comparació n ordinaria
 lnn   n  n

 lnn   0 verdadero 

1
1

n n  lnn 
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4.2.-) Si decidimos comparar el ejercicio contra una serie conocida convergente, entonces debemos
verificar el cumplimiento de la siguiente desigualdad:



n 1
  an  b n


 b n  serie conocida convergent e 
n 1


 an  serie
ejercicio
Luego procedemos a simplificar algebraicamente esa desigualdad y si obtenemos como resultado que
la misma se cumple, entonces la “serie ejercicio” será declarada “convergente” porque fue comparada
con una “convergente conocida”;
Caso contrario, NO podemos establecer que la “serie ejercicio” es divergente, únicamente basados en
el incumplimiento de la desigualdad; motivo por el cual se facilitan dos recomendaciones de
procedimiento en los casos donde la desigualdad no se cumple:
 Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente ó
 Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas
5.-) Criterio de la Comparación en el Límite
Éste criterio consiste en comparar la serie requerida en un ejercicio contra una serie conocida
(geométrica, armónica o serie–p), que por lo general es extraída apoyándonos en los elementos que
conforman el ejercicio a ser resuelto y como la serie comparativa es una serie típica que ya posee una
estructura definida por los postulados matemáticos pertenecientes a éste tema, entonces conoceríamos
también si la misma es convergente o divergente.
Sean

 an
(serie ejercicio) y
n 1

 bn
(serie conocida convergente o divergente) series con términos
n 1
positivos, entonces:
a 
lim  n 
n   b n 



5.1.) si L  0; entonces  an converge si  b n converge y
n 1
n 1





an diverge si  b n diverge


n 1
n 1
L


5.2.) si L  0 &
b
converge
,
entonces
 n
 an converge .

n 1
n 1




5.3.) si L   &  b n diverge , entonces  an diverge .

n 1
n 1
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Luego de resolver el límite, debemos comprobar la respuesta contra el esquema mostrado
anteriormente;
Si en dado caso, no es posible establecer una coincidencia con ninguno de los parámetros
predeterminados, entonces NO se puede concluir una respuesta puntual/definitiva sobre la
convergencia/divergencia en relación a la serie estudiada en el ejercicio; motivo por el cual se facilitan
dos recomendaciones de procedimiento en los casos donde no existe coincidencia:
 Seleccionar y probar con otra serie conocida convergente/divergente ó
 Seleccionar y probar con otro criterio de convergencia para series positivas
Ejemplo:


3n  2
 2n 2  11
extraemos la serie comparativ a conocida tomando como referencia los elementos
n 1 n
3
de la serie propuesta en el ejercicio , aplicando una herramient a a lg ebraica estudiada
en cálculo diferencia l al momento de trabajar límites al inf inito
nn2
1
n
3n  2
n



n2
n3
n 3  2n 2  11
n 3 1  2  11 3 
n
n 



asi que en vista de lo anterior , podemos int entar con la serie


n 1
1
n2
que es una
serie  p convergent e porque p  2  1

3n  2
 1 
3
2
an
n 2 3n  2 
3n 3  2n 2  n 3 
n
2
n
11


lim
 lim
 lim
 lim


1
n   bn
n 
n   n 3  2n 2  11
n   n 3  2n 2  11  1
3
 n 
n2
32
n
3
lim
11
2
n 1 

n
n3
y finalmente como L  3  0 , la serie


n 1 n
3n  2
3
 2n 2  11
es convergent e por
criterio de comparació n en el límite
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6.-) Criterio de la Raíz
Sea

 an
la serie a estudiar, el criterio de la raíz consiste en aplicar el siguiente procedimiento:
n 1
lim
n
n
an


6.1.) si L  1; entonces la serie  an es absolutame nte
n 1


convergent e.
L

6.2.) si L  1 ó L  ; entonces la serie
 an es divergente .

1
n

6.3.) si L  1; la prueba de la raíz no es concluyent e.
Cuando la prueba de raíz no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar la
convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro criterio.
Ejemplo:

 2n  3 
  3n  2 

n 1
lim
n
n
n
an  lim
n
n
 2n  3 


 3n  2 
n
n
 2n  3 
 2n  3 
 lim n 
  lim 

n    3n  2 
n    3n  2 
n
n
1 
23
2n  3  n 
n 2
lim



3
n   3n  2  1  n   3  2
n
 n
 lim
como L  2  1, entonces
3

n
 2n  3 
  3n  2  es convergent e por criterio de raíz.

n 1
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7.-) Criterio del Cociente

Sea
 an
la serie a estudiar, el criterio del cociente consiste en aplicar el siguiente procedimiento:
n 1
lim
an 1
n
an


7.1.) si L  1; entonces la serie  a n es absolutame nte
n 1


convergent e.
L

7.2.) si L  1 ó L  ; entonces la serie
 a n es divergente .

n
1

7.3.) si L  1; la prueba del cociente no es concluyent e.
Cuando la prueba del cociente no es concluyente, lamentablemente éste criterio no ayuda a determinar
la convergencia o divergencia de la serie estudiada, motivo por el cual debemos probar con otro
criterio.
Ejemplo:
nn

n 1 n !

a
lim n  1  lim
n   an
n
n  1n  1
n  1 !
 lim
nn
n!
n
n  1n  1
n  1 !
nn
n!
n
1
n


n  1  n  1  n !
n  1
 lim
 lim
n
n
n  1  n ! n n
nn
n 1

 n!
n  1
 lim
n   n  1!  n n
n
n
1

n 1
 lim 
  lim 1    e
n   n 
n  
n
nn
como L  e  1, entonces 
es divergente por criterio de cociente .
n  1 n!


n
n 1
Definicion es matemática s  lim 
 e
n   n 
n !  n  n  1  n  2   n  3   ...  3  2  1
n
&
 n 
1
lim 
 e
n   n  1 
n  1!  n  1  n  n  1  n  2   n  3  ...  3  2  1  n  1  n!
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.1219
4to Trimestre, 2do Semestre 2015; 2do Parcial – Sucesiones y Series
Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Bibliografía Utilizada para la Conformación Teórico/Práctica del Contenido Propuesto
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de
Chile. Santiago de Chile.
11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning Editores.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana
de Venezuela.
13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio
Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela.
14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago
de Chile, Chile.
15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
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