Problemas Resueltos de Metodos generales

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO:
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
PROFESOR: Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE MÉTODOS GENERALES
PARA RESOLVER PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS
Problema Nº 1
Cierta densidad de carga volumétrica en el espacio libre varía como ρ = 100ε 0 / r 2,5 .
a) Utilizando la ecuación de Poisson encuentre
r → 0 , mientras que ϕ → 0 cuando r → ∞ .
ϕ(r)
si se supone que r 2 E r → 0 cuando
b) Ahora encuentre
ϕ(r)
usando la ley de
Gauss y una integral de línea.
Resolución
a) Cálculo de
ϕ(r)
utilizando la ecuación de Poisson
En el espacio libre o vacío, la ecuación de Poisson viene dada por:
∇ 2ϕ = −
ρ
εo
. . . (1)
Por condición: ρ = 100ε 0 / r 2,5
Reemplazando “ ρ ” en (1), tenemos:
∇ 2ϕ =
−100
. . . (2)
r 2,5
Se sabe que en coordenadas esféricas, cuando
ϕ = ϕ(r)
(el potencial eléctrico sólo
depende de la coordenada r ), el Laplaciano queda:
∇ 2ϕ =
1 ∂ ⎛ 2 ∂ϕ ⎞
⎜r
⎟
r2 ∂ r ⎝ ∂ r ⎠
Luego, la ecuación (2) equivale a:
∇ 2ϕ =
1 d ⎛ 2 dϕ ⎞
⎜r
⎟
r 2 dr ⎝ dr ⎠
1 d ⎛ 2 dϕ ⎞ −100
⎜r
⎟ = 2,5
r 2 dr ⎝ dr ⎠
r
Esta ecuación es una ecuación diferencial de 2do grado. Para resolverla, despejo r 2 dr
e integro por primera vez y obtengo:
⎛
∫ d ⎜⎝ r
2
dϕ ⎞
dr
⎟ = −100∫ 0,5
dr ⎠
r
⇒ r 2 dϕ = −200 r 0,5 + C , luego:
1
dr
dϕ = (−200 r −1,5 + C1r −2 )dr
A continuación, integro por segunda vez y obtengo:
ϕ (r) =
C
400
− 1 + C2
0,5
r
r
. . . (3)
De la ecuación (3) se observa que para conocer el potencial
ϕ (r )
necesito conocer el
valor de las constantes C1 y C2 . Para hallar estas constantes, primero calculo el campo
→
eléctrico E , aplicando gradiente de potencial, y luego aplicamos las condiciones de
frontera dadas en el problema. Es decir:
→
⎛ 200 C ⎞
E (r) = −∇ϕ (r) = ⎜ 1,5 − 21 ⎟ a$ r . . . (4)
r ⎠
⎝r
→
E = −∇ϕ
Hallo las constantes C1 y C2 aplicando las Condiciones de Frontera (C.F.):
1ra C.F.) r 2 E r → 0
cuando r → 0
Evaluando esta condición en la ecuación (4), queda:
C ⎞
⎛ 200
r 2 ⎜ 1,5 − 21 ⎟ = 0 cuando r → 0
r ⎠
⎝r
Resolviendo obtengo que: C1 = 0
2da C.F.)
ϕ →0
cuando r → ∞
Evaluando esta condición en la ecuación (3), queda:
400
− C1 + C2 = 0
r 0,5
Luego:
C2 =
−400
∞
cuando
r → ∞ ; (se halló que C1 = 0 )
⇒ C2 = 0
Finalmente reemplazo las constantes C1 y C2 en la ecuación (3) y obtengo la función
potencial ϕ ( r ) :
ϕ(r ) =
400 400
=
(Volt)
r 0,5
r
b) Cálculo de
ϕ(r)
utilizando la Ley de Gauss y una integral de línea:
Por Ley de Gauss, en su forma integral, tenemos:
→
→
∫E⋅d S =
S
Por condición del problema: ρ =
Q
; Q=
ε0
∫
V
ρ dV
. . . (I)
100ε 0
r 2.5
→
∧
Reemplazando esta condición, así como los vectores E = E ar y
→
∧
d S = r 2 senθ dθ dφ ar , y el elemento diferencial de volumen dV = r 2 senθ dθ dφ dr , la
ecuación (I) queda:
π
2π
∫ φ∫
θ=0
E r 2senθ dθ dφ =
=0
r
E r 2 (2)(2π) = 100
∫
1
εo
r − 0,5dr
r =0
100ε o 2
r senθ dθ dφ dr
r 2,5
= 0r = 0
π
2π
∫ φ∫ ∫
θ= 0
π
∫
2π
senθ dθ
θ=0
→
ϕ(r ) = −∫
dφ
E=
ϕ(r) , conociendo el campo eléctrico
Al reemplazar E =
∫
φ
=0
E(4π r 2 ) = 800π r 0,5
Para hallar
r
→
∴
200
r1,5
∫
→
→
∧
200 $
a r y d r = dr ar , tenemos:
1,5
r
200
dr
r1,5
ϕ(r ) =
400
+C
r 0,5
. . . (II)
Para hallar la constante “ C ” aplicamos la condición de frontera siguiente:
Si r → ∞
Luego: 0 =
400
+C
∞
⇒ ϕ (r →∞ ) = 0
C =0
Reemplazando la constante C en la ecuación (II), tenemos:
ϕ(r ) =
→
E , utilizo: ϕ = − E ⋅ d r
400
(Volt)
r
→
E=
200 $
ar
r1,5
Problema Nº 2
Desde el punto de vista electrostático la tierra puede considerarse como una esfera
conductora con carga negativa y rodeada de una atmósfera cargada positivamente. La
magnitud del campo eléctrico en la superficie es de unos 200 V/m, y a una altura de 2 000 m
disminuye hasta unos 20 V/m. Hasta esa altura, h = 2 000 m, la densidad volumétrica de
carga puede considerarse constante. Considere que el radio de la tierra es R = 6 400 Km.
a) Determine la densidad de carga superficial media de la tierra.
b) Calcule la densidad de carga volumétrica de la atmósfera hasta la altura h indicada.
c) Si tomamos el potencial de la tierra como referencia (0 volt) ¿Cuál será su valor a 2000 m?
Nota: puede aproximarse el problema mediante una geometría plana, ya que h << R .
Resolución
Según el enunciado nuestro modelo de atmósfera es el siguiente:
z
+
+
V
⎛
⎞
y Qϕ ==??⎟
⎜ z = 2000 → E = 20
m
⎝
⎠
+
+
+
+
+
)
+
+
+
atmósfera
h
n$
→
E
− − − ⎛ − − − −V − −⎞ −
y ϕ = 0⎟
⎜ z = 0 → E = 200
m
⎝
⎠
Superficie
terrestre
(Se observa que el modelo de atmósfera se va ha comportar como un capacitor plano)
a) Cálculo de σ (densidad de carga superficial) de la tierra:
→ ∧
Se sabe que la densidad de carga superficial viene dada por: σ = ε 0 E ⋅ n
→
V
Según datos: E = −200 a$ z
(para z = 0) ; además n$ = + a$ z
m
∧
Luego: σ = ε 0 ( − 200 a$ z ) ⋅ a z
⇒ σ = −200ε 0
Reemplazando ε 0 = 8,85.10−12
F
, se obtiene que:
m
σ = −1 770
pC
m2
b) Calculo de “ ρ ” (densidad de carga volumétrica)
Por ecuación de Poisson: ∇ 2ϕ = −
ρ
. . . (1)
ε0
En coordenadas rectangulares, cuando ϕ = ϕ (z)
(el potencial sólo depende de la
coordenada z ), el laplaciano de ϕ queda:
∇ 2ϕ =
Reemplazando en (1):
∂ 2ϕ
d 2ϕ
=
∂ z2
dz 2
d 2ϕ
ρ
= −
2
dz
e0
Resolviendo esta ecuación diferencial de segundo grado (integro dos veces), obtenemos:
ρ z2
+ C1z + C 2 . . . (2)
ϕ =−
2ε 0
Aplico la condición de frontera: ϕ = 0 ; si z = 0
Evaluando la ecuación (2) para z = 0 , obtenemos: C2 = 0
→
Además, sabemos que: E = −∇ϕ = −
→
E = (C1 −
Aplico condición de frontera:
dϕ $
a z , entonces:
dz
ρz $
ρz
)(−a z ) ⇒ E = C1 −
ε0
ε0
z = 0 → E = 200
⎛
Reemplazando C1 en (3) obtengo: E = ⎜ 200 −
⎝
. . . (3)
V
V
⇒ C1 = 200
m
m
ρz ⎞ V
. . . (4)
⎟
ε0 ⎠ m
Por condición de frontera: si z = 2 000 m → E = 20
V
m
Evaluando la ecuación (4) para z = 2 000 m obtenemos:
ρ = 9.10−2 ε 0 ⇒ ρ = 7,965.10−13
c) Cálculo de ϕ para z = 2 000 m :
Se halló que: ϕ = −
Luego, si z = 2 000 m
ρ z2
+ 200z
2ε 0
⇒ ϕ = 2, 2 . 105 Volt
C
m3
Problema Nº 3
⎛ 10 ⎞ pC
⎟ 3 . Si
⎝ ρ ⎠m
En coordenadas cilíndricas, la densidad volumétrica de carga es ρ v = ⎜
ϕ = 0 en ρ = 1m y ϕ = 100V en ρ = 4m , los cuales se deben a la distribución de la carga,
halle:
a) ϕ en ρ = 3m
;
→
b) E en ρ = 2m
* Considere que se trata de un problema de electrostática en el vacío.
Resolución
a) Cálculo de “ ϕ ” en ρ = 3m
Por ecuación de Poisson, en el vacío, se cumple: ∇ 2ϕ = −
ρv
ε0
. . . (1)
⎛ 10−11 ⎞ C
10−11
2
Por condición: ρ v = ⎜
..... (2)
⎟ 3 , luego, la ecuación queda: ∇ ϕ = −
ρε 0
⎝ ρ ⎠m
En coordenadas cilíndricas, cuando “ ϕ ” (potencial eléctrico) sólo depende de “ ρ ”, el
laplaciano queda:
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
ρ
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠
∇ 2ϕ =
Por lo tanto la ecuación (2) equivale:
1 ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞
10−11
ρ
=
−
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠
ρε 0
Resolviendo esta ecuación diferencial, obtenemos:
ϕ= −
10−11
ε0
ρ + A Lnρ + B . . . (3)
Hallamos las constantes A y B aplicando las condiciones de frontera (C.F.) siguientes:
1ra C.F.) Si ρ = 1m : ϕ ( ρ = 1) = 0 V
Evaluando la ecuación (3) para ρ = 1m , tenemos:
0=−
10−11
ε0
+ B
⇒
B =
10−11
ε0
2da C.F.) Si ρ = 4m : ϕ ( ρ
= 4)
= 100 V
Evaluando la ecuación (3) para ρ = 4 m , tenemos:
100 V = −
4 ⋅10−11
ε0
+ A Ln4 +
⎛
3 ⋅10−11 ⎞ 1
V⎟
⇒ A = ⎜100 V +
ε0
⎝
⎠ Ln4
10−11
ε0
∴ A = 72,1348V +
2,164 ⋅10−11
ε0
V
Reemplazando en (3):
ϕ =−
10−11
ε0
⎛
ρ + ⎜ 72,1348 +
⎝
Evaluamos “ ϕ ” para ρ = 3m :
2,164 ⋅10−11 ⎞
10−11
Ln
ρ
+
⎟
ε0
ε0
⎠
(V )
ϕ ( ρ = 3) = 79, 67 V
→
b) Cálculo de E cuando ρ = 2m :
Se sabe que:
→
E = −∇ϕ
En coordenadas cilíndricas, cuando “ ϕ ” sólo depende de la coordenada “ ρ ”, el
gradiente será: ∇ϕ =
∂ϕ $
aρ
∂ρ
Luego:
→
⎛ 10−11 1 ⎛
2,164 ⋅10−11 ⎞ ⎞ $
E = −∇ϕ = ⎜⎜
− ⎜ 72,1348 +
⎟ ⎟⎟ a ρ
ρ⎝
ε0
⎠⎠
⎝ ε0
→
Evaluando E para ρ = 2m obtenemos:
(
)
→
V
E = −36,16 a$ ρ
m
Problema Nº 4
Dos conos conductores coaxiales tienen sus vértices en el origen y están definidos por
θ1 = 40º y θ 2 = 55º . El cono interior está a un potencial de 2 000 V, mientras que el exterior
está a 500 V. Una pequeña cantidad de aislante impide que los conos se toquen;
a) encuentre
→
E ( r ; θ) ;
ϕ(θ)
;
b) determine
→
d) encuentre E en P1 ;
ϕ
en P1 (r = 0,6 m ; θ = 45º ; φ = 60º ) ; c) Calcule
e) especifique la carga total sobre la superficie
θ = 40º ; 0,1 m < r < 0,5 m ; 100º < φ < 170º , suponiendo ε = ε 0 para 40º < θ < 55º .
Resolución
Según el enunciado la figura es la que se muestra a continuación:
z
ε = ε 0 (vacío)
Donde:
θ1
θ1 = 40º
ϕ11 = 200V
2000V
θ 2 = 55º
θ2
ϕ 2 = 500V
Aislante
a) Cálculo de “ ϕ(θ) ” :
Cuando el potencial “ ϕ ” sólo depende de la coordenada “ θ ”, la solución a la ecuación de
Laplace a utilizar, en coordenadas esféricas, es:
⎛
⎝
θ⎞
ϕ (θ) = A Ln ⎜ tg ⎟ + B
2
⎠
. . . (1)
Hallamos las constantes A y B aplicando las condiciones de frontera (C.F.) siguientes:
1ra C.F.) Si θ = 40° ⇒ ϕ (θ = 40º) = 2 000 V
Evaluando la ecuación (1) para θ = 40º , tenemos:
2 000 V = A Ln (tg 20º) + B . . . (2)
2da C.F.) Si θ = 55° ⇒ ϕ (θ =55° ) = 500 V
Evaluando la ecuación (1) para θ = 55º , tenemos:
500V = Ln (tg 27,5°) + B . . . (3)
Resolviendo las ecuaciones (2) y (3), obtenemos:
A = −4 191, 7473 V ;
B = −2 236,53 V
Reemplazando en la ecuación (1) tenemos:
⎡
⎤
θ
ϕ (θ) = ⎢ −4 191, 7473 Ln ( tg ) − 2 236,53⎥ V
2
⎣
⎦
O también:
⎡
⎤
θ
ϕ (θ ) = ⎢ −4,19 Ln(tg ) − 2, 24 ⎥ kV
2
⎣
⎦
b) Cálculo de “ϕ” para P1 ( r = 0,6 m ; θ = 45º ; φ = 60º)
Evaluando en la ecuación del potencial obtenida en a), tenemos: ϕ = 1, 458 kV
→
c) Cálculo de E ( r , θ )
Como ya se calculó el potencial eléctrico “ ϕ ”, el campo eléctrico se halla aplicando
→
gradiente de potencial. Es decir: E = −∇ϕ .
Hallando el gradiente de ϕ , en coordenadas esféricas, resulta:
→
⎛ 4,19 $ ⎞ kV
E=⎜
aθ ⎟
⎝ r senθ ⎠ m
→
d) Cálculo de E en P1 (0,6 m ; 45º ; 60º):
Evaluando en el punto P1 obtenemos:
(
)
→
kV
E = 9,88 a$ θ
m
e) Cálculo de la carga total sobre la superficie θ = 40º ; 0,1 m < r < 0,5 m ;
100º < φ < 170º , suponiendo ε = ε 0 para 40º < θ < 55º .
Por ley de Gauss:
→
→
∫E⋅d S =
S
Q
ε0
→
. Despejando Q obtenemos: Q =
→
Reemplazando los vectores E y d S tenemos:
⎛ 0,5 ⎞ ⎛ 170º ⎞
⎛ 4,19 $ ⎞
$
∫ ε 0 ⎜⎝ r sen40º a θ ⎟⎠ r sen40º dφ dr a θ = 4,19ε 0 ⎜⎜ 0,1∫ dr ⎟⎟ ⎜⎝ 100º∫ dφ ⎟⎠
100º
⎝
⎠
0,5 170º
Q=
∫
0,1
(
∴ Q = 18,14nC
)
∫
S
→
→
ε0 E ⋅ d S
Problema Nº 5
Los
dos
planos
conductores
mostrados
en
la
0,001 m < ρ < 0,120 m ; 0 < z < 0,1m ; φ = 0,179 rad
figura
están
definidos
por
y φ = 0,188 rad. El medio que
rodea a los planos es aire. Para la región 1; 0,179 rad < φ < 0,188 rad desprecie los
efectos de borde y calcule: a) el potencial eléctrico ϕ en función de φ ; b) el campo
→
→
eléctrico E en función de ρ ; c) la densidad de flujo eléctrico D en función de ρ . d) la
densidad superficial de carga σ en la superficie superior del plano inferior. e) la carga Q en
la superficie superior del plano inferior.
10 cm
región 2
región 1
espacio
Resolución
La figura dada equivale a:
espacio
ϕ 2 = 20V
ϕ1 = 200V
φ 1 = 0,179 rad
φ 2 = 0,188 rad
a) Cálculo de " ϕ(φ ) " :
En este caso el potencial “ϕ” sólo depende de la coordenada “ φ ”, luego la solución de la
ecuación de Laplace a utilizar, en coordenadas cilíndricas, es:
ϕ (φ ) = Aφ + B
. . . (1)
Hallamos las constantes A y B aplicando las condiciones de frontera (C.F.) siguientes:
1ra C.F.) Si φ = 0,179 rad : ϕ = 200 V
Evaluando en la ecuación (1) tenemos:
A (0,179 rad) + B = 200 V . . . (2)
2da C.F.) Si φ = 0,188 rad : ϕ = 20V
Evaluando en la ecuación (1) tenemos:
A (0,188 rad) + B = 20 V . . . (3)
Resolviendo las ecuaciones (2) y (3) obtenemos:
y
A = - 20 000 V
B = 3 780 V
Reemplazando las constantes A y B en la ecuación (1) obtengo:
ϕ (φ ) = ( −20 000 φ + 3780) V
→
→
b) Cálculo de E : Si se sabe que : E = −∇ϕ
⎛ 20 000 $ ⎞ V
E=⎜
aφ ⎟
⎝ ρ
⎠m
→
→
→
→
c) Cálculo de "D " : Se sabe : D = ε o E
→
⎛ 177 $ ⎞ nC
D=⎜
aφ ⎟ 2
⎝ ρ
⎠m
d) Cálculo de "σ "
Se sabe que la densidad de carga superficial "σ " viene dada por:
→ ∧
→ ∧
σ = ε 0 E⋅ n = D⋅ n
;
n$ = Vector unitario normal
⎛ 177 $ ⎞ nC
aφ ⎟ 2 y
⎝ ρ
⎠m
→
Reemplazando : D = ⎜
n$ = a$ φ , tenemos:
σ=
177 nC
ρ m2
e) Cálculo de “Q”
La carga “ Q ” en la superficie superior del plano inferior se halla por:
Q = ∫ σ dS =
S
z = 0,1 ρ = 0,12
∫ ρ∫
z =0
= 0,001
⎛ 0,12 ⎞
dρ dz = 177 ⋅ 0,1⋅ Ln ⎜
⎟
ρ
⎝ 0,001 ⎠
177
∴ Q = 84.74 nC
Problema Nº 6
Determine la función potencial para la región interior de la artesa rectangular de longitud
infinita cuya sección transversal se ilustra en la figura.
Se sabe que:
ϕ1 = ϕ0 sen(7π x / b) , y = a , 0 ≤ x ≤ b
y
espacio
espacio
ϕ =ϕ1
a
ϕ =0
ϕ =0
0
ϕ =0
b
x
Resolución
Por los datos dados en el enunciado deducimos que se trata de un problema bidimensional
en coordenadas rectangulares o cartesianas.
Además, cuando el potencial “ ϕ ” es cero o nulo para las condiciones de frontera
dependientes de x : x = 0 y x = b , la solución particular de la ecuación de Laplace que se
utiliza es aquella donde las funciones seno y coseno dependen de x . Por lo tanto, la
ecuación a utilizar es la siguiente:
ϕ( x , y ) = ( A cosh ky + Bsenhky )( C cos kx + Dsenkx ) . . . (1)
Hallamos las constantes A, B, C y D aplicando las condiciones de frontera (C.F.) siguientes:
1ra C.F.) Si x = 0 : ϕ(0, y ) = 0
para 0 ≤ y ≤ a
Evalúo la ecuación (1) para x = 0 :
ϕ(0, y ) = ( A cosh ky + Bsenhky )( C cos 0 + Dsen0 ) = 0
Sabemos que un producto de dos factores es cero cuando por lo menos uno de
ellos es cero. En este caso, el segundo factor debe ser igual a cero. Es decir:
∴
C (1) + D (0) = 0
C =0
2da C.F.) Si y = 0 : ϕ( x ,0) = 0 para 0 ≤ x ≤ b
Evalúo la ecuación (1) para y = 0 :
ϕ( x ,0) = ( A cos 0 + Bsen0 )( C cos kx + Dsenkx ) = 0
En este caso, el primer factor debe ser igual a cero. Es decir:
∴
A(1) + B(0) = 0
A=0
Reemplazo las constantes A y C en la ecuación (1):
ϕ( x , y ) = ( Bsenhky )( Dsenkx )
Hacemos: B ⋅ D = E
Luego:
ϕ( x , y ) = E ( senhky )( senkx ) . . . (2)
3ra C.F.) Si x = b : ϕ(b , y ) = 0
para 0 ≤ y ≤ a
Evalúo la ecuación (2) para x = b :
ϕ(b , y ) = E ( senhky )( senkb ) = 0
senkb = 0 = sen(nπ ) ; ∀n ≥ 1
Luego:
k=
kb = nπ
nπ
; ∀n ≥ 1
b
Reemplazo en la ecuación (2):
nπ
⎛
ϕ( x , y ) = E ⎜ senh
b
⎝
nπ
⎞⎛
y ⎟ ⎜ sen
b
⎠⎝
⎞
x⎟
⎠
En general, tenemos:
∞
⎛
⎝
ϕ( x , y ) = ∑ En ⎜ senh
n =1
nπ ⎞ ⎛
nπ
y ⎟ ⎜ sen
b ⎠⎝
b
⎞
x ⎟ . . . (3)
⎠
⎛ 7π ⎞
x ⎟ para 0 ≤ x ≤ b
⎝ b ⎠
4ta C.F.) Si y = a : ϕ( x ,a ) = ϕ0 sen ⎜
Evalúo la ecuación (3) para y = a :
∞
⎛
⎝
ϕ( x ,a ) = ∑ En ⎜ senh
n =1
nπ a ⎞ ⎛
nπ
⎟ ⎜ sen
b ⎠⎝
b
⎞
⎛ 7π
x ⎟ = ϕ0 sen ⎜
⎠
⎝ b
⎞
x⎟
⎠
Desarrollando la serie tenemos:
π ⎞⎛
π
⎛
E1 ⎜ senh a ⎟ ⎜ sen
b ⎠⎝
b
⎝
7π
⎞
⎛
x ⎟ + .... + E7 ⎜ senh
b
⎠
⎝
7π
⎞⎛
a ⎟ ⎜ sen
b
⎠⎝
⎞
⎛ 7π
x ⎟ = ϕ0 sen ⎜
⎠
⎝ b
⎞
x⎟
⎠
Comparando ambos miembros de la ecuación obtenemos:
E7 =
Además: E1 = E2 = .... = En = 0
;
ϕ0
7π
⎛
⎜ senh
b
⎝
⎞
a⎟
⎠
∀n ≠ 7
Reemplazando E1 , E2 ,...., En en la ecuación (3) tenemos que la solución general es:
ϕ( x , y ) =
7π ⎞⎛
7π
y ⎟⎜ sen
b ⎠⎝
b
7π
senh
a
b
⎛
⎝
ϕ0 ⎜ senh
⎞
x⎟
⎠
Problema Nº 7
Una esfera conductora descargada de radio a se coloca en un campo eléctrico inicialmente
→
uniforme E0 (ver la figura). Calcule:
a) El potencial eléctrico en puntos exteriores a la esfera
b) La intensidad de campo eléctrico en puntos exteriores a la esfera
c) La densidad de carga resultante “ σ ” en la esfera.
Q=0
a
Esfera
conductora
→
E0
Resolución
Como la esfera conductora está descargada ( Q = 0 ), las líneas de fuerza del campo
eléctrico en las cercanías de la esfera se comportan en la forma mostrada a continuación.
Observe que estas líneas de fuerza ingresan (o salen) perpendicularmente a la superficie de
la esfera, la cual a su vez es una superficie equipotencial. En este caso, el potencial de la
esfera es igual a cero porque la carga de la esfera es cero.
Q=0
•P
r
θ
r cos θ
z
a
a) Cálculo del potencial eléctrico “ ϕ( r ,θ ) ” en puntos exteriores a la esfera
Si el potencial “ ϕ ” depende sólo de las coordenadas r y θ , la solución a la ecuación de
Laplace son los armónicos esféricos. Es decir:
∞
ϕ( r ,θ ) = ∑ ⎡⎣ An r n + Cn r − ( n+1) ⎤⎦Pn (θ )
n =0
Desarrollando la ecuación anterior tenemos:
ϕ( r ,θ ) = A0 +
C0
C
C
1
+ A1r cos θ + 21 cos θ + A2 r 2 ⋅ ( 3cos 2 θ − 1) + .... + n +n1 Pn (θ ) . . . (1)
2
r
r
r
Hallamos las constantes A0, A1 ,...., An y
C0,C1 ,...., C n , aplicando las condiciones de
frontera (C.F.) siguientes:
1ra C.F.) Si r → ∞ (puntos lejanos de la esfera):
→
E ( r ,θ )
→
r →∞
= E0
Luego:
ϕ ( r ,θ )
ϕ( r ,θ )
→
r →∞
r →∞
→
→
→
∧
= − ∫ E ⋅ d r ; donde: E
= E0 = E0 az
y
→
= − E0 z + cte = − E0 r cos θ + cte . . . (2)
Igualamos las ecuaciones (1) y (2), y las evalúo para r → ∞ .
− E0 r cos θ + cte = A0 +
→
d r = dz az
C0
C
+ A1r cos θ + 21 cos θ + ....
r
r
Comparando ambos miembros de la ecuación obtenemos:
A0 = cte ; A1 = − E0
Además, todas las A a partir de A2 son iguales a cero. Es decir:
A2 = A3 = .... = An = 0 ;
∀n ≥ 2
Reemplazamos en la ecuación (1):
ϕ( r ,θ ) = A0 +
C0
C
C
− Er r cos θ + 21 cos θ + .... + n +n1 Pn (θ ) . . . (3)
r
r
r
2da C.F.) La esfera está descargada, es decir su carga es igual a cero
Si Q=0, entonces el término C0 / r es igual a cero, por lo tanto la constante C0 es
igual a cero ( C0 = 0 ).
* Recuerde que el potencial de una esfera de radio r y carga Q, viene dado por
Q / 4πε 0 r .
Reemplazo en (3):
ϕ( r ,θ ) = A0 − E0 r cos θ +
C
C1
cos θ + .... + n +n1 Pn (θ ) . . . (4)
2
r
r
3ra C.F.) Si r = a : ϕ( a ,θ ) = 0 (potencial propio de la esfera)
Evaluando la ecuación (4) para r = a obtenemos: C1 = a 3 E0
Además: Cn = 0 ∀n ≥ 2
Reemplazando en la ecuación (4) tenemos:
ϕ( r ,θ )
O también:
ϕ( r ,θ )
a 3ε 0
= A0 − E0 r cos θ + 2 cos θ
r
⎛ a3 ⎞
= A0 − E0 r cos θ ⎜1 − 3 ⎟
⎝ r ⎠
→
b) Cálculo de E en puntos exteriores a la esfera
→
La intensidad de campo eléctrico E lo hallamos aplicando gradiente de potencial, es
decir:
→
E ( r ,θ ) = −∇ϕ( r ,θ )
Hallando el gradiente del potencial en coordenadas esféricas, tenemos:
→
E ( r ,θ )
⎛ 2a 3 ⎞ ∧
⎛ a3 ⎞ ∧
= E0 cos θ ⎜1 + 3 ⎟ ar + E0 senθ ⎜ 3 − 1⎟ aθ
r ⎠
⎝
⎝r
⎠
c) Cálculo de σ de la esfera
→ ∧
Se cumple: σ = ε 0 E ⋅ n
∧
∧
En nuestro caso: r = a y n = ar .
Luego, la densidad de carga superficial σ de la esfera es:
σ = 3ε 0 E0 cos θ
Problema Nº 8
Los conductores de un cable coaxial muy largo tienen radios a y b (a < b). El conductor
interior se halla a un potencial φ y el conductor exterior se halla conectado a tierra. Si la
región a < ρ < c se llena con un dieléctrico de permitividad ε1, y la región c < ρ < b con un
dieléctrico de permitividad ε2. Calcular:
→
→
a) El potencial eléctrico φ, el campo eléctrico E , la densidad de flujo eléctrico D y la
→
polarización P en cualquier punto de la región a < ρ < b.
b) La densidad superficial de carga libre en cada superficie conductora.
c) Las densidades de polarización presentes
Resolución
Según el enunciado la figura correspondiente es:
(2)
(1)
b
c
a
ϕ
Sabemos que un cable coaxial está constituido por dos conductores y uno o más materiales
dieléctricos entre ellos. Además, en el enunciado nos dan los potenciales de estos
conductores (condiciones de frontera), por lo tanto el problema se resuelve aplicando la
ecuación de Laplace.
De la figura observamos que hay dos regiones, las cuales denominaremos: región (1) y
región (2).
→
→
→
a) Cálculo de ϕ , E , D y P para puntos a < ρ < b
Según el enunciado, el potencial eléctrico “ ϕ ” depende sólo de la coordenada ρ , por lo
tanto la solución a la ecuación de Laplace a utilizar es:
ϕ ( ρ ) = A Ln ρ + B
Como en la región entre los conductores hay dos materiales dieléctricos, entonces esta
ecuación se aplica para cada región, por lo tanto tenemos:
Para la región (1) a < ρ < c :
ϕ 1( ρ ) = A1 Ln ρ + B1
. . . (1)
Para la región (2) c < ρ < b :
ϕ 2 ( ρ ) = A2 Ln ρ + B 2
. . . (2)
Las constantes A1, A2, B1 y B2 se hallan aplicando las condiciones de frontera (C.F.)
siguientes:
1ra C.F.: Si ρ = b
ϕ2( ρ =b ) = 0
Evaluando la ecuación (2) para ρ = b tenemos:
0 = A2 Lnb + B2
B2 = − A2 Lnb
2da C.F.: Si ρ = a
. . . (3)
ϕ1( ρ = a ) = ϕ
Evaluando la ecuación (1) para ρ = a tenemos:
ϕ = A1 Lna + B1
B1 = ϕ − A1 Lna
3ra C.F.: Si ρ = c (interfaz dieléctrico-dieléctrico)
. . . (4)
ϕ1( ρ = c ) = ϕ 2( ρ = c )
Igualamos las ecuaciones (1) y (2) evaluando para ρ = c
A1 Lnc + B1 = A2 Lnc + B2 . . . (5)
4ta C.F.: Si ρ = c (interfaz dieléctrico-dieléctrico) :
D2 n = D1n ( siempre que σ = 0)
Luego, se cumple que: ε 2 E2 n = ε1 E1n
En esta igualdad hallo E2 n y E1n utilizando gradiente de potencial. Finalmente
obtengo:
A2 =
ε1
A1
ε2
. . . (6)
Reemplazando las ecuaciones (3), (4), (6) en (5) obtenemos:
A1 =
ϕ
ε1
Ln(c / b) − Ln(c / a )
ε2
B1 = ϕ −
ϕ Ln a
ε1
Ln(c / b) − Ln(c / a)
ε2
ϕ
ε
Ln(c / b) − 2 Ln(c / a)
ε1
;
A2 =
;
B2 = −
ϕ Ln b
ε
Ln(c / b) − 2 Ln(c / a)
ε1
Finalmente reemplazo estas constantes en las ecuaciones (1) y (2) y obtengo
la función potencial para cada región.
ϕ1( ρ ) =
ϕ Lnρ
ε1
Ln(c / b) − Ln(c / a)
ε2
+ϕ −
ϕ Lna
ε1
Ln(c / b) − Ln(c / a )
ε2
;
a<ρ <c
ϕ2( ρ ) =
ϕ Ln ρ
ϕ Lnb
−
ε2
ε
Ln(c / b) − Ln(c / a ) Ln(c / b) − 2 Ln(c / a )
ε1
ε1
c< ρ <b
;
→
Hallo E aplicando gradiente de potencial
→
Se sabe que: E = −∇ϕ
Luego:
→
E1 ( ρ ) = −∇ϕ1 ( ρ )
→
E2 ( ρ ) = −∇ϕ 2 ( ρ )
ϕ
→
E1 ( ρ ) =
∧
⎛ε
⎞
ρ ⎜⎜ 1 Ln(b / c) + Ln(c / a) ⎟⎟
⎝ ε2
⎠
ϕ
→
E2 ( ρ ) =
⎛
ρ ⎜⎜ Ln(b / c) +
⎝
→
→
Hallo D utilizando la relación:
aρ ;
a<ρ <c
∧
⎞
ε2
Ln(c / a ) ⎟⎟
ε1
⎠
aρ ; c < ρ < b
→
D =ε E
Luego:
→
D1( ρ ) =
→
D 2( ρ ) =
ε1 ϕ
⎛ε
⎞
ρ ⎜ 1 Ln(b / c) + Ln(c / a) ⎟
⎝ ε2
⎠
∧
ε2 ϕ
aρ
⎛
⎞
ε
ρ ⎜ Ln(b / c) + 2 Ln(c / a) ⎟
ε1
⎝
⎠
→
→
→
P 2( ρ ) =
;
a<ρ <c
;
c<ρ <b
→
Hallo P utilizando la relación:
P1( ρ ) =
∧
aρ
→
P = (ε − ε 0 ) E
(ε1 − ε 0 ) ϕ
⎛ε
⎞
ρ ⎜ 1 Ln(b / c) + Ln(c / a) ⎟
⎝ ε2
⎠
(ε 2 − ε 0 ) ϕ
⎛
⎞
ε
ρ ⎜ Ln(b / c) + 2 Ln(c / a) ⎟
ε1
⎝
⎠
∧
aρ
∧
aρ
;
a<ρ <c
;
c< ρ <b
En las figuras mostradas a continuación se observa porciones de material
dieléctrico polarizado, de las regiones (1) y (2), y los correspondientes
vectores polarización.
Cargas de polarización
en el dieléctrico de
permitividad ε1 .
ε1
-
Cargas de polarización
en el dieléctrico de
permitividad ε 2 .
+
ε2
+
-
-
+
- →
- P1 +
+
a
-
c
-
c
+
-
+
+
+
- →
- P2 +
+
b
+
b) Cálculo de “ σ ” para cada superficie conductora
→ ∧
Sabemos: σ = ε 0 E ⋅ n
∧
∧
Para la superficie de radio ρ = a : n = + aρ
σ ( ρ =a ) = +
ε1ϕ
⎛ε
⎞
a ⎜ 1 Ln ( b / c ) + Ln ( c / a ) ⎟
⎝ ε2
⎠
∧
∧
Para la superficie de radio ρ = b : n = − aρ
σ ( ρ =b ) = −
ε 2ϕ
⎛
⎞
ε
b ⎜ Ln ( b / c ) + 2 Ln ( c / a ) ⎟
ε1
⎝
⎠
c) Cálculo de σ Pol y ρ Pol
→ ∧
Hallo σ Pol aplicando la ecuación: σ pol = P⋅ n
Luego:
∧
∧
Si ρ = a : n = − aρ
∧
∧
Si ρ = b : n = + aρ
σ Pol ( ρ = a ) = −
σ Pol ( ρ =b ) = +
( ε1 − ε 0 ) ϕ
⎛ε
⎞
a ⎜ 1 Ln ( b / c ) + Ln ( c / a ) ⎟
⎝ ε2
⎠
(ε 2 − ε 0 )ϕ
⎛
⎞
ε
b ⎜ Ln ( b / c ) + 2 Ln ( c / a ) ⎟
ε1
⎝
⎠
→
Para hallar ρ Pol utilizo la ecuación: ρ pòl = −∇ ⋅ P
→
Al hallar la divergencia del vector polarización P se obtiene como resultado cero, por lo
tanto la densidad de carga volumétrica de polarización también es cero. Es decir:
ρ Pol = 0
Problema Nº 9
Sea un hilo muy largo con densidad de carga lineal + λ situado a una distancia h de un
plano conductor puesto a tierra, tal como se observa en la figura. Determine la intensidad de
campo eléctrico y el potencial eléctrico en el punto P (x, y, z). Calcule asimismo la carga
superficial inducida en el plano conductor.
z
· P (x, y, z)
• λ
ϕ=0
h
O
Resolución
Si la carga + λ está ubicada en x = 0 , z = h , su imagen − λ
está ubicada en x = 0 ,
z = − h , de manera que las dos son paralelas al eje y .
z
· P (x, y, z)
z
· P (x, y, z)
• λ
•λ
ϕ=0
ϕ=0
h
O
O
• −λ
CÁLCULO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO EN EL PUNTO P
→
Para calcular la intensidad de campo eléctrico en el punto P ( EP ) se utiliza el principio de
→
superposición aplicado a los campos eléctricos. Esto significa que EP es igual a la suma de
las intensidades de campo eléctrico debido a la carga lineal + λ y a su carga imagen − λ .
Es decir:
→
→
→
EP = E P ( + λ ) + E P ( − λ )
→
Como se trata de un hilo muy largo (hilo infinito), la magnitud de E es conocida, por lo tanto
la ecuación anterior queda:
∧
λ ∧
λ
ar +
(− ar ) . . . (1)
2πε 0 r1
2πε 0 r2
→
E( P ) =
1
2
De la figura:
→
r1 = ( x; y; z ) − (0; y; h) = ( x; 0; z − h)
→
r2 = ( x; y; z ) − (0; y; − h) = ( x; 0; z + h)
r1 =
x 2 + ( z − h) 2
r2 =
x 2 + ( z + h) 2
Asimismo:
∧
ar1 =
∧
ar2 =
( x; 0; z − h)
x 2 + ( z − h) 2
( x; 0; z + h)
x 2 + ( z + h) 2
∧
∧
=
x a x + ( z − h) a z
=
x a x + ( z + h) a z
x 2 + ( z − h) 2
∧
∧
x 2 + ( z + h) 2
Reemplazando en la ecuación (1) y simplificando obtenemos:
∧
∧
∧
∧
λ
[ x a2x + ( z − h) a2 z − x a2x + ( z + h) a2 z
EP =
2πε 0
x + ( z − h)
x + ( z + h)
→
]
CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL PUNTO P
El potencial eléctrico en el punto P ( ϕ P ) lo hallo también aplicando el principio de
superposición. Es decir:
ϕP = ϕP(+λ ) + ϕP(−λ )
Reemplazando los potenciales en el punto P, debido a las cargas lineales + λ
simplificando, la ecuación anterior queda:
ϕP = −
⎛r ⎞
λ
Ln⎜⎜ 1 ⎟⎟
2πε 0 ⎝ r2 ⎠
y −λ, y
Reemplazando r1 y r2 obtenemos:
1/ 2
⎛ x 2 + ( z − h) 2 ⎞
λ
⎟
ϕP = −
Ln⎜
2πε 0 ⎜⎝ x 2 + ( z + h) 2 ⎟⎠
,
para
z≥0
CÁLCULO DE LA CARGA SUPERFICIAL INDUCIDA EN EL PLANO CONDUCTOR
La carga superficial inducida en el plano conductor se halla evaluando el campo eléctrico
→
E P en z = 0 . Es decir:
σ = ε 0 Ez
σ =−
z =0
λh
π ( x2 + h2 )
Nota.- se comprueba también que la carga inducida por unidad de longitud en el plano
conductor es igual a − λ .