GRAVITACIÓN UNIVERSAL 1ª) HISTORIA DA GRAVITACIÓN: LEIS DE KEPLER

GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1ª) HISTORIA DA GRAVITACIÓN: LEIS DE KEPLER
Ao longo da historia xurdiron diversas teorías para explicar o funcionamento do Sistema Solar:
• Ptolomeo de Alexandría (100−170): o So, e os demáis planetas describen órbitas circulares aorredor
da Terra, que permañece fixa. Ésta é a teoría xeocéntrica
• Copérnico (1473−1543): os planetas xiran en torno ao Sol en órbitas circulares
• Tycho brahe (1546−1601): realizou un gran nº de medidas astronómicas, que evidenciaron que o
movemento dos planetas non era circular
• Kepler (1571−1630): fai un gran nº de medidas astronómicas, e aproveitando os datos de Tycho Brahe
enuncia as tres leis que explican a configuración do Sistema Solar:
• Tódolos planetas móvense en órbitas elípticas tendo ao Sol nun dos focos da elipse
• O radio vector que xungue ao centro do Sol co planeta varre áreas iguais en tempos iguais. Isto ven a dicir
que o planeta vai máis rápido cando está máis cerca do Sol (perihelio) que cando está máis lonxe (afelio)
• O cociente entre o cadrado do tempo de revolución en torno ao Sol dun planeta e o cubo do semieixo maior
da súa órbita é o mesmo para tódolos planetas (constante):
2ª) CAMPOS DE FORZAS CENTRAIS
a) Forzas centrais
Son aquelas forzas nas que a súa liña de acción pasa sempre por un mesmo ponto fixo, chamado centro. Así a
forza e o vector de posición teñen sempre a mesma dirección. Unexemplo de forza central é a debida ao
campo gravitatorio que sempre ten carácter atractivo. Outro exemplo serían as forzas debidas ao campo
eléctrico, que poden ser atractivas ou repulsivas:
m
mm
m
M é a masa central, m son as masas da periferia, é a forza central de interacción entre M e m, e é un vector
unitario de dirección radial. Como o vector e o vector son opostos, a súa relación matemática ten signo
negativo:
onde K é unha relación de proporcionalidade
b) Conservación do momento angular
Para unha partícula de masa m que se desplaza cunha velocidade debida a unha forza central , o momento
angular está dado pola seguinte expresión:
Onde é o vector de posición da partícula e é o momento liñal da partícula
z
1
y
x
m
Unha vez definido o momento angular , imos ver como varía co tempo.
• Primeiramente realizamos a súa derivada respecto ao tempo:
• Tendo en conta que: e que , podemos escribir que: , posto que se trata do producto vectorial de dous
vectores paralelos (sen90º = 0)
• Por outro lado podemos escribir que:
• Finalmente: , e o producto dunha forza polo vector de posición é o momento da forza:
• Como a forza é unha forza central, e teñen a mesma dirección (son paralelos), e o seu producto
vectorial é 0 (sen90º = 0):
Principio de conservación do momento angular
Aplicando éste principio ao movemento dun planeta en torno ao Sol, debido a un campo de forzas centrais,
dedúcense as seguintes consecuencuias:
• Dirección de constante: o planeta ten unha traxectoria plana, xa que se non fose así cambiaría de
dirección.
• Senso de constante: o planeta xira sempre no mesmo senso, xa que se cambiara de senso, tamén
cambiaría o senso de .
Deste principio de conservación dedúcese a 2ª lei de Kepler do movemento planetario: as áreas barridas polo
radio vector que xungue ao Sol co planeta son iguais en tempos iguais. Imos facer a súa demostración
matemática aplicada ao movemento dun planeta en torno ao Sol:
• Nun tempo dt, o vector varre a área dA, que aproximaremos á área do triángulo OAB:
B
ds
A
• Por outro lado, o módulo do momento angular é:
E usando a expresión anterior: , porque tanto L como m son constantes. é a velocidade areolar, que
representa a área que varre o vector nun tempo dado.
c) Carácter conservativo dunha forza central
Tódalas forzas centrais son conservativas, é decir, o traballo realizado por éstas forzas para desplazar a unha
partícula de masa m dende o ponto A ata o ponto B non depende do camiño percorrido, senón dos pontos
inicial e final.
Unha forza central exprésase como o gradiente dun campo escalar : ou
2
Ao realizar un traballo que vaia dende un poto inicial A ata un ponto final B e regrese ao ponto inicial
(traballo ao longo dunha liña pechada), teremos:
Posto que o traballo total realizado non depende do camiño percorrido senón dos pontos inicial e final, as
forzas son conservativas.
Outro xeito de decir que unha forza é conservativa é que ao actuar sobor dun corpo de masa m a Enerxía
mecánica permañece constante. A enerxía mecánica é a suma das enerxías potencial e cinética que posee un
corpo, e ésta suma é constante:
Para demostrar isto, suporemos que un corpo se desplaza dende o ponto A ata o ponto B. Imos ver canto vale
o traballo aplicado sobor dese corpo:
• Igualando as expresións anteriores:
4ª) LEI DA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Baseándose nas leis de Kepler, Newton demostrou que a forza que rexe o movemento dos planetas é unha
forza central, á que chamou Forza Gravitatoria. Aplicando éstes conceptos ao movemento da Terra en torno
ao Sol nunha órbita circular (para simplificar cálculos), teremos:
• O movemento da Terra é circular e uniforme:
!
an é constante porque a velocidade v, e o radio de xiro r, tamén o son
• En base á 2ª lei da Dinámica, sempre que existe unha aceleración sobor dun corpo de masa m, será
debida á existencia dunha forza F: . Ésta forza está dirixida cara ao centro do Sol: FS−T, e tendo en
conta que nun movemento circular cúmplese que , podemos escribir o seguinte:
• Por outro lado, ao ser un movemento circular uniforme, existirá un periodo T de rotación:
Ao sustituir na expresión de FS−T, teremos:
• Multiplicando e dividindo por r2, e tendo en conta a terceira lei de Kepler :
• En base á 3ª lei da Dinámica (acción e reacción), se o Sol exerce unha forza sobor da Terra, ésta
exercerá outra forza sobor do Sol, igual pero de senso contrario:
• Como as forzas son iguais, podemos igualar ambas expresións:
• Ao sustituir a expresión anterior en F, teremos:
Onde G = 6,67.10−11 N.m2.Kg−2 (constante de gravitación universal)
• A expresión vectorial da forza é:
O signo menos é debido a que e teñen sensos contrarios.
Mm
3
5ª) CAMPO GRAVITATORIO
a) Intensidade de Campo Gravitatoiro
Sexa unha masa M e nas súas proximidades consideramos outra masa m. Ésta masa m é atraída pola masa M
cunha forza que ven dada pola expresión vista no apartado anterior. Ao alonxar á masa m da masa M a unha
distancia maior que a inicial disminue a forza con que a masa M a atrae. Chega un momento que ao alonxar
tanto a masa m a forza que exerce M sobor de m é nula: dícese entón que m está no infinito e á rexión do
espacio onde M manifesta os seus efectos chámaselle Campo Gravitatorio.
Todo Campo Gravitatorio está determiñado por tres elementos que o definen:
• A intensidade do Campo
• O potencial do campo
• As liñas de forza (que nos permiten visualizar ao Campo)
Defínese Intesidade de campo gravitatorio nun ponto, como a forza que exerce a masa que xenerou o
campo sobor da unidade de masa colocada nese ponto:
!
Tal e como se pode observar, é unha magnitude vectorial que posee a mesma dirección e senso que a forza
gravitatoria.
Se tivésemos varias masas que xeneren cada unha delas campos gravitatorios, o campo gravitatorio xeral será
a suma vectorial dos campos xerados por cada masa:
b) Campo Gravitatorio terrestre
Aplicando a expresión terrestre a un corpo situado na superficie da Terra, teremos:
c) Liñas de forza do Campo Gravitatorio
As liñas de forza do Campo gravitatorio xerado por unha masa M, representan o camiño percorrido por unha
partícula de masa m abandonada nese Campo gravitatorio. O Campo é radial dirixido sempre hacia M. O nº
de liñas de campo que atravesan unha superficie S van depender dunha serie de factores:
• Tamaño da superficie
• Nº de liñas de campo
• Posición da superficie: se a superficie é perpendicular ás liñas de campo, o nº de liñas de campo que
atravesan á superficie será máxima, e se é paralela será mínima
d) Fluxo do Campo Gravitatorio
Defínese unha nova magnitude chamada Fluxo do campo () como o nº de liñas de campo que atravesan
unha superficie dada S:
Se o campo non é uniforme, a intensidade en cada ponto da superficie varía, polo cal teremos que coller un
elemento dS de superficie:
Se a superficie é pechada, o fluxo total do Campo pode ser de dous tipos:
4
• Fluxo positivo se as liñas de campo saen fora da superficie
• Fluxo negativo se as liñas de campo entran na superficie
Para o Campo Gravitatorio, cúmplese que < 0 xa que as liñas de campo entran na superficie
6ª) ENERXÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Cando as forzas son conservativas, o traballo só depende da posición inicial e da posición final do corpo a
tratar, e a cada ponto da traxectoria seguida por ese corpo pódeselle asignar un escalar, chamado Enerxía
Potencial (EP).
• A forza gravitatoria é unha forza central , e polo tanto, será conservativa, Ao desprazar a unha
partícula de masa m dende o ponto B ata o A, teremos que o traballo realizado será:
• Por outro lado, o traballo defínese como:
• Comparando ambas expresión, podemos escribir o seguinte:
• Finalmente, a enerxía potencial graviatoria defínese como:
• O signo menos significa o seguinte: se a enerxía potencial a unha distancia infinita é cero, a medida
que nos imos aproximando ao centro do campo, a enerxía disminue (aumenta en valor negativo, o que
sognifica que é unha enerxía desprendida).
A pequenas alturas sobor do chan, a Enerxía potencial gravitatoria pode expresarse do seguinte xeito:
A enerxía potencial pode ser positiva ou negativa, dependendo da orixe do sistema de referencia que se
considere.
• Se usamos a expresión para pontos situados na superficie da Terra, a enerxía potencial ten valor
positivo.
• Se usamos a expresión , suponse a orixe nun ponto inifitamente afastado da Terra. Así o signo da
enerxía potencial será negativo
7ª) POTENCIAL GRAVITATORIO
Defínese o potencial gravitatorio V, á enerxía potencial gravitatoria por unidade de masa en cada ponto do
campo gravitatorio.
!
O Potencial gravitatorio nun ponto equivale ao traballo que temos que facer para levar (con velocidade
constante) á unidade de masa dende o infinito ata ese ponto.
O lugar xeométrico dos pontos do espacio que poseen o mesmo valor do Potencial gravitatorio chámase
superficie equipotencial:
• Son superficies concéntricas e perpendiculares ás liñas de campo
• En cada superficie, o valor de V permañece constante, é decir, o traballo realizado para desplazar a
unha masa por esa superficie é nulo
Resumindo, nun campo gravitatorio aparecen dúas funcións:
5
• Unha función vectorial: vector campo
• Unha función escalar: potencial
8ª) SATÉLITES ARTIFICIAIS
a) Velocidade de escape.
Para lanzar fora do Campo Gravitatorio terrestre un satélite, é necesario aplicarlle unha velocidade mínima
chamada velocidade de escape. Ésta velocidade mínima significa unha enerxía mínima igual ao traballo
necesario para levar ao satélite de masa m dende a superficie da Terra ata o infinito.
Como a Enerxía mecánica permañece constante, aplicamos o principio de conservación da enerxía mecánica a
dous pontos: o ponto 1, situado na superficie da Terra, e o ponto 2, situado a unha distancia infinita da
superficie terrestre:
Da expresión anterior despexo v1 e obtemos:
Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:
Para o caso da Terra, g = 9,81 m/s2 e RT = 6378 Km, e sustituindo:
b) Velocidade orbital
É a velocidade que debe ter un satélite para manterse xirando nunha órbita circular estacionaria a unha altura
h sobor da superficie da Terra.
A forza con que a Terra atrae ao satélite vale:
Por outro lado, ao rotar o satélite posee unha forza centrípeta:
Posto que o movemento é uniforme, v = cte. (at = 0) e aplicando a 2ª lei de Newton:
Para que isto sexa así as dúas forzas anteriores serán iguais:
, e despexando o valor de v, teremos.
Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:
c) Periodo de revolución dun satélite
É o tempo que tarda o satélite en percorrer unha órbita completa. Aplicando as expresións do movemento
circular uniforme:
Tendo en conta que: , podemos escribir o seguinte:
CUESTIONS SELECTIVO. GRAVITACIÓN UNIVERSAL
• (Setembro − 2000). Dadas dúas masas m e 2m separadas unha distancia d, xustifica se hai algún ponto
intermedio da recta de unión que cumpra:
• Campo nulo e potencial positivo
• Campo nulo e potencial negativo
• Campo e potencial positivos
6
• (Setembro − 99). A ingravidez de dous astronautas dentro dunha nave espacial débese a:
• Que non hai gravedade
• Que a nave e o astronauta son atraídos pola Terra coa mesma aceleración
• Que non hai atmósfera
• (Xuño − 99). Cando un satélite que está xirando aorredor da Terra perde parte da súa enerxía por fricción, o
radio da súa órbita é:
• Maior
• Menor
• Mantense constante
• (Setembro − 98). Un satélite de masa m describe unha traxectoria circular de radio r ao xirar aorredor dun
planeta de masa M. A enerxía mecánica do satélite é numericamente:
• Igual á metade da súa enerxía potencial
• Igual á súa enerxía potencial
• Igual ao dobre da súa enerxía potencial
• (Xuño − 98). Unha masa desprázase nun campo gravitatorio dende un lugar no que a súa enerxía potencial
vale −200 J ata outro onde vale −400 J. ¿Cal é o traballo realizado por ou contra o campo?:
• −200 J
• 200 J
• −600 J
• (Setembro − 97). Cando sobor dun corpo actúa unha forza, a aceleración que adquire é:
• Proporcional á masa
• Inversamente proporcional á masa
• Só depende da forza
• (Xuño − 97). Un móvil describe un movemento circular plano, co módulo da súa velocidade constante.
• Existe necesariamente unha aceleración
• Existe só se o plano non é horizontal
• Non existe por ser v constante
• (Setembro − 96). Considérese un corpo sobor da superficie terrestre:
• A súa masa e o seu peso son os mesmos en tódolos pontos da superficie
• A súa masa, pero non o seu peso, é a mesma en tódolos pontos da superficie
• O seu peso, non a súa masa, é o mesmo en tódolos pontos da superficie
• (Xuño − 96). O traballo realizado por unha forza depende só dos pontos inicial e final da traxectoria:
• Se as forzas son conservativas
• Independentemente do tipo de forza
• Cando non existen forzas de tipo electromagnético
SOLUCIÓNS CUESTIONS SELECTIVO. GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1ª) A resposta correcta é a a
• Campo gravitatorio: ao ser o campo gravitatorio un campo vectorial central dirixido cara hacia cada
masa, os dous campos producidos polas masas m e 2m teñen a mesma dirección pero sensos
contrarios, polo que hai un ponto intermedio (x) entre as dúas masas nas que o Campo gravitatorio
central é nulo:
g1 g2
xd−x
!
Quedándonos co valor positivo de x, teremos: . A ésta distancia de m, o campo total é nulo
7
• Potencial gravitatorio: o Potencial gravitatorio é un campo escalar polo que o potencial total nese
ponto x calculado anteriormente, será a suma escalar dos potenciais xerados polas masas m e 2m
Posto que , entón . É decir, o anterior cociente é positivo, polo tanto, o Potencial gravitatorio nese ponto x é
positivo
2ª) A solución correcta é a b posto que a nave e os astronautas son atraídos pola Tera coa mesma aceleración,
e ambos están en caída libre. A celeración que sofren ambos está dada pola seguinte expresión:
Ésta expresión non depende para nada das masas dos astronautas e da nave espacial. Así ambos sofren a
mesma aceleración e polo tanto, ambos teñen a mesma velocidade de caída
3ª) A solución correcta é a b posto que ao reducir a súa enerxía debido á fricción coa atmósfera terrestre,
perde velocidade, é decir, perde Enerxía cinética. Como a enerxía mecánica permañece constante, ao
disminuir a EC, ten que aumentar a EP, e polo tanto disminúe o valor do radio de xiro:
4ª) A solución correcta é a a
!
Tendo en conta que a velocidade orbital está dada pola seguinte expresión:
A forza con que o planeta de masa M atrae ao satélite de masa m vale:
Por outro lado, ao rotar o satélite posee unha forza centrípeta:
Posto que o movemento é uniforme, v = cte. (at = 0) e aplicando a 2ª lei de Newton:
Para que isto sexa así as dúas forzas anteriores serán iguais:
, e despexando o valor de v, teremos.
Sustitúo ésta expresión na expresión da Enerxía mecánica:
é decir, a metade da Enerxía Potencial
5ª) A solución correcta é a a
6ª) A solución correcta é a b:
Segundo a 2ª lei de Newton: ! , é decir, a aceleración dun corpo é inversamente proporcional á súa masa. A
maior masa menor aceleración adquirida por unha mesma forza apricada
7ª) A solución correcta é a a:
En todo movemento circular uniforme cúmprese que:
• v é constante e proporcional ao radio de xiro:
• a aceleración ten dúas compoñentes: unha compoñente tanxencial (at) e unha compoñente normal
(an). No movemento circular uniforme cúmprese que at = 0 e an " 0
• a aceleración normal está dada pola seguinte expresión:
8
8ª) A resposta correcta é a b:
• a masa dun corpo é sempre constante, posto que é unha propiedade extensiva do corpo
• o peso é unha propiedade dun corpo que varía posto que depende da forza con que é atraído por outro
corpo. No caso de que sexa un corpo de masa m atraído pola gravedade terrestre na súa superficie, a
expresión do seu peso é:
9ª) A resposta correcta é a a:
Tódalas forzas centrais son conservativas, é decir, o traballo realizado por éstas forzas para desplazar a unha
partícula de masa m dende o ponto A ata o ponto B non depende do camiño percorrido, senón dos pontos
inicial e final.
Unha forza central exprésase como o gradiente dun campo escalar : ou
Ao realizar un traballo que vaia dende un poto inicial A ata un ponto final B e regrese ao ponto inicial
(traballo ao longo dunha liña pechada), teremos:
12
M
O
d
Sol
T
M
m
B
A
M
V1
V2
M
S
dS
RT
9
MT
h
m
2m
10