Guías 1 y 2.

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MATH 340. Segundo semestre 2005. Juan Aparicio. Guías 1 y 2
Matemática Discreta. Guía 1.
1. ¿Cuáles de estas frases son proposiciones? ¿Cual es el valor de verdad de aquellas que
son proposiciones?
a) Boston es la capital de Massachusetts.
b) Buenos Aires es la capital de Argentina.
c) 2 + 3 = 5.
d) 5 + 7 = 10.
e) x + 2 = z.
t) Responde a esta pregunta.
g) x + y = y + x para todo par de números reales x e y.
2. ¿Cuáles de las siguientes son proposiciones? ¿Cual es el valor de verdad de aquellas
que son proposiciones?
a) No pasar.
b) ¿Que hora es?
c) No hay moscas en Maine.
d) 4 +x=5.
e) x + 1 = 5 si x = 1.
t) x + y = y + z si x = z.
3. ¿Cual es la negación de cada uno de estos enunciados?
a) Hoy es jueves.
b) No hay polución en Nueva Jersey.
c) 2 + 1 = 3.
d) El verano de Veracruz es calido y soleado.
4. Sean p y q los enunciados
p: Compre un billete de lotería esta semana.
q: Gane el bote de un millón de euros del viernes.
Expresa cada una de las siguientes f6rmulas en lenguaje natural.
a) ~p
b) p V q
h) ~p V (p /\ q)
c) p → q
d) p /\ q
e) p↔ ~ q
g) ~p /\ ~ q
5. Sean p y q los enunciados «Esta permitido nadar en la costa de Nueva Jersey» y «Se
han divisado tiburones cerca de la costa», respectivamente. Expresa cada una de las
siguientes fórmulas en lenguaje natural.
a) ~q
b) p/\q
c)~p v q
f) ~p→~q
g) p↔ ~q
h) ~p /\ (p V q)
d) p → ~q
e) ~q →p
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6. Sean p y q los enunciados «La elección se decide» y «Se han contado los votos»,
respectivamente. Expresa cada una de las siguientes f6rmulas en lenguaje natural.
a) ~p
b) p v q
c) ~p /\ q
d) q→p
d) ~q→~p
e) ~p→~q
f) p↔ q
7. Sean p y q los enunciados: p: Estamos bajo cero. q: Nieva.
Escribe los enunciados siguientes usando p, q y conectivos lógicos:
a) Estamos bajo cero y nieva.
b) Estamos bajo cero, pero no nieva.
c) No estamos bajo cero y no nieva.
d) Bien estamos bajo cero o bien nieva (o ambas cosas).
e) Si estamos bajo cero, entonces también nieva.
f) Estamos bajo cero 0 nieva, pero no nieva si estamos bajo cero.
g) Que estemos bajo cero es necesario y suficiente para que nieve.
8. Sean p y q los enunciados
p: Conduces a mas de 100 Km. por hora.
q: Te multan por exceso de velocidad.
Escribe los enunciados siguientes usando p, q y conectivos 1oogicos.
a) No conduces a mas de 100 Km. por hora.
b) Conduces a mas de 100 Km. por hora, pero no te multan por exceso de velocidad
c) Te multaran por exceso de velocidad si conduces a mas de 100 Km. por hora.
d) Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multaran por exceso de velocidad.
e) Conducir a mas de 100 Km. por hora es suficiente para que te multen por exceso de
velocidad.
f) Te multan por exceso de velocidad, pero no conduces a mas de 100 Km. por hora.
g) Siempre que te multan por exceso de velocidad conduces a mas de 100 Km. por hora.
9. Determina si estas bicondicionales son verdaderas o falsas.
a) 2 + 2 = 4 si, y solo si, 1 + 1 = 2.
b) 1 + 1 = 2 si, y solo si, 2 + 3 = 4.
c) Es invierno si, y solo si, no es primavera, verano u otoño.
d) 1 + 1 = 3 si, Y solo si, los cerdos vuelan.
e) 0> 1 si, y solo si, 2 > 1.
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10. Determina si estas implicaciones son verdaderas 0 falsas.
a) Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5.
b) Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4.
c) Si 1+ 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5.
d) Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.
e) Si 1 + 1 = 3, entonces Dios existe.
f) Si 1 + 1 = 3, entonces los cerdos vuelan.
g) Si 1 + 1 = 2, entonces los cerdos vuelan.
h) Si 2 + 2 = 4, entonces 1 + 2 = 3.
11. Determina en cada una de estas frases si el o es inc1usivo
o exc1usivo. Razona tu respuesta.
a) Se requiere experiencia con Java o C++.
b) La comida inc1uye ensalada o sopa.
c) Para entrar en este país necesitas pasaporte o tarjeta de votante.
e) Publica o perece.
12. Di que significan cada una de estas frases en los casos en que el o es inc1usivo (es
decir, una disyunción) o bien exc1usivo. ¿Cual crees que es el significado que se quiere
expresar realmente en cada caso?
a) Para matricularte en matemática discreta debes haber cursado una asignatura de
cálculo o alguna asignatura de informática.
b) Cuando te compras un vehiculo de marca Acme, te devuelven 2000 $ en efectivo o el
2% del préstamo solicitado.
c) La cena para dos inc1uye dos platos de la columna A o tres de la columna B.
d) El colegio se cierra si caen mas de 50 cm. de nieve o si el viento helado baja de -20°C.
13. Enuncia la reciproca, contrarreciproca e inversa de cada una de estas implicaciones.
a) Si nieva hoy, esquiaré mañana.
b) Voy a c1ase siempre que vaya a haber un control.
c) Un entero positivo es primo si, y solo si, no tiene otros divisores mas que 1 y e1
mismo.
14. Enuncia la reciproca, contrarreciproca e inversa de cada una de estas implicaciones.
a) Si llueve esta noche, me quedaré en casa.
b) Voy a la playa siempre que el día amanezca soleado
e) Cuando me acuesto tarde, es necesario que duerma hasta mediodía.
15. Construye las tablas de verdad para cada una de estas formulas.
a) p /\ ~p
b) p V ~p
c) (p V~q) → q d) (p V q) → (p /\ q)
e) (p →q) ↔(~q→~q)
f) (p → q) → (q → p)
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16. Construye las tablas de verdad para cada una de estas formulas.
a) p →~p
b) p ↔ ~p
c) p  (p V q)
d) (p /\ q) ~ (p v q)
e) (q → ~p) ↔ (p ↔ q)
t) (p ↔ q)  (p ↔ ~q)
17. Construye las tablas de verdad de cada una de estas formulas.
a) (p v q) ~ (p  q)
b) (p  q) ~ (p /\q)
e) (p V q)  (p /\ q)
d) (p ↔ q)  (~p ↔ q)
e) (p ↔ q)  (~p ↔ ~r)
t) (P  q) ~ (P  ~q)
18. Construye las tablas de verdad para carla una de estas formulas.
a) p  p
b) P  ~p
e) p  ~q
d) ~p  ~q
e) (p  q) V (p  ~q) t) (p  q) /\ (p  ~q)
19. Construye las tablas de verdad para cada una de estas f6rmulas.
a) p ~ ~q
b) ~p ↔ q e) (p ~ q) v (~p ~ q)
d) (p ~ q) /\ (~p ~ q)
c) (p ↔ q) V (~p ↔ q)
f) (~p ↔ ~q) ↔ (p ↔ q)
20. Construye las tablas de verdad para cada una de estas f6rmulas.
a) (p V q) V r
e) (p /\ q) V r
e) (p V q) /\ ~r
b) (p V q) /\ r
d) (p /\ q) /\ r
f) (p/\ q)V~r
Matemática Discreta. Guía 2.
2. Demuestra que ~(~p) y p son lógicamente equivalentes.
3. Usa tablas de verdad para verificar las leyes conmutativas.
a) p V q≡q V p b) p Λ q≡q Λ p
4. Utiliza tablas de verdad para verificar las leyes asociativas.
a) (p V q) V r ≡ p V (q V r)
b) (p Λ q) Λ r≡p Λ (q Λ r)
5. Usa una tabla de verdad para verificar la ley distributiva.
p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
6. Usa una tabla de verdad para verificar la equivalencia.
~(p Λ q) ≡~p V ~q
7. Demuestra, empleando tablas de verdad, que cada una de estas implicaciones es una
tautología.
a) (p Λ q) → p
b) p→ (p V q)
c) ~p → (p → q)
d) (p /\ q) → (p→ q)
e) ~(p → q) →p
f) ~(p→q) →~q
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8. Demuestra, empleando tablas de verdad, que cada una de estas implicaciones es una
tautología.
a) [~p Λ (p V q)] →q
b) [(p → q) /\ (q → r)] → (p → r)
c) [p /\ (p → q)] → q
d) [(P V q) /\ (p → r) /\ (q → r)]→ r
9. Demuestra, sin utilizar tablas de verdad, que cada una de las implicaciones del
Problema 7 es una tautología.
10. Demuestra, sin utilizar tablas de verdad, que cada una de las implicaciones del
Problema 8 es una tautología.
11. Demuestra que p→q y (p Λ q) V (-p /\~) son equivalentes.
12. Demuestra que (p→q) ~ r y p ~ (q→r) no son equivalentes.
13. Demuestra que p→q y ~ q→ -p son lógicamente equivalentes.
14. Demuestra que -p ↔ q y P ↔ ~ son lógicamente equivalentes.
15. Demuestra que ~(p  q) y p↔ q son lógicamente equivalentes.
16. Demuestra que ...,(p ↔ q) Y P ↔ q son lógicamente equivalentes.
17. Demuestra que (p → q) Λ (p→ r) y p → (q Λ r) son lógicamente equivalentes.
18. Demuestra que (p→r) Λ (q→r) y (p v q) → r son lógicamente equivalentes.
19. Demuestra que (p→q) v (p→r) y p → (q v r) son lógicamente equivalentes.
20. Demuestra que (p→r) v (q→r) y (p Λ q) → r son lógicamente equivalentes.
21. Demuestra que -p → (q→r) y q → (p v r) son lógicamente equivalentes.
22. Demuestra que p↔ q y (p→q) Λ (q →p) son lógicamente equivalentes.
23. Demuestra que p ↔ q y ~p ↔ ~q son lógicamente equivalentes.