Las muestras estadísticas

Unidad 11: LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS
11.1.- EL PAPEL DE LAS MUESTRAS
Frecuentemente encontramos en los medios de comunicación
referencias a resultados de encuestas de opinión relativas a
diversos aspectos de la actualidad política o sociológica:
“Valoración de diversos líderes políticos”, “Tipo de lectura
que se prefiere”…
Estas informaciones vienen acompañadas de la “ficha
técnica” de la encuesta correspondiente.
Ejemplos:
FICHA TÉCNICA DE UN SONDEO
Proyecto y dirección técnica: IMOP
Universo: Población española mayor de 18 años.
Muestra: 1278 individuos.
Tipo de muestreo: aleatorio, mediante entrevistas personales
siguiendo un método estratificado por regiones.
Límite máximo de error: ±3,1%
Nivel de confianza: 95%
Veamos otro ejemplo: la ficha técnica del sondeo que hizo el
periódico EL PAÍS en las últimas elecciones al Parlamento
Europeo.
http://www.elpais.com/articulo/espana/PP/aventaja/PSOE/37/punto
s/elpepunac/20090531elpepinac_1/Tes#despiece1
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En estos ejemplos se mencionan ciertos conceptos (universo,
muestra, tipo de muestreo, límite del error…) que iremos
analizando en esta unidad y la siguiente.
Población y muestra
Si estamos interesados en conocer lo que opinan los
electores sobre algunos líderes políticos, el colectivo que es
objeto de nuestro interés es el de todos los españoles que
pueden votar: los mayores de 18 años. Es la población o
universo.
No es posible preguntar a todos (sería muy caro y muy
lento), por lo que recurrimos a algunos de ellos: una muestra.
La opinión de unas personas nos sirve para hacernos una idea
de lo que opina la totalidad de la población.
Población o universo es el conjunto de todos los individuos
objeto de nuestro estudio.
Muestra es un subconjunto extraído de la población. Su
estudio sirve para inferir características de toda la
población.
¿Por qué se recurre a las muestras?
En la práctica, es muy frecuente tener que recurrir a una
muestra para inferir datos de una población por alguno de los
siguientes motivos:
• La población es excesivamente numerosa.
Por ejemplo, la totalidad de los españoles que pueden
votar.
• La población es muy difícil o imposible de controlar.
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Por ejemplo, la totalidad de las personas que entran en
unos grandes almacenes a lo largo de una semana.
• El proceso de medición es destructivo.
Por ejemplo, se desea conocer la duración media de las
bombillas que hay en un almacén. La forma de averiguar
la duración de una bombilla es dejarla encendida hasta
que se funda y cronometrar el tiempo. Es claro que sólo
podremos probar con algunas de ellas.
• Se desea conocer rápidamente ciertos datos de la
población y se tardaría demasiado en consultar a todos.
Por ejemplo, los sondeos electorales o de opinión.
11.2.- ¿CÓMO DEBEN SER LAS MUESTRAS?
Hay dos aspectos de las muestras a los que debemos prestar
mucha atención: su tamaño y cómo se realiza la selección
de los individuos que la forman.
Respecto al tamaño, es claro que si la muestra es demasiado
pequeña no podremos obtener de ella ninguna conclusión que
merezca la pena. Sin embargo, se consiguen imágenes
sorprendentemente buenas de la realidad con muestras
relativamente pequeñas. En la próxima unidad aprenderemos
a obtener con exactitud el tamaño (número de individuos)
que debe tener una muestra para conseguir lo que nos
proponemos.
Veamos a continuación, cómo se seleccionan los elementos
de la muestra.
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Muestreo
Al sustituir el estudio de la población por el de la muestra,
se cometen errores. Pero con ellos contamos de antemano y
pueden controlarse.
Sin embargo, si la muestra está mal elegida (no es
representativa),
se
producen
errores
adicionales
imprevistos e incontrolables (sesgos).
La elección de la muestra se llama muestreo. Veamos a
continuación cómo debe realizarse el muestreo para que nos
proporcione muestras representativas.
UNA ANÉCDOTA INTERESANTE
En las elecciones americanas de 1936, en las que ganó
Rooselvet, una revista hizo una encuesta de intención de voto a
más de cuatro millones de sus lectores y se equivocó en su
pronóstico.
Otra encuesta realizada solo a 4500 personas anunció el éxito
de Rooselvet con mucha exactitud.
La razón es que en el primer caso la muestra no era
representativa de la sociedad americana, pues todos eran
lectores de una misma revista, mientras que en las 4500
personas de la segunda estaban bien representados todos los
estamentos e ideologías de dicha sociedad.
Muestreo aleatorio
Una condición casi indispensable para que una muestra sea
representativa es que sus elementos se hayan elegido
aleatoriamente, al azar. Si la elección es subjetiva, los
prejuicios de quien hace la elección se proyectan en el
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resultado de la muestra que reflejará lo que esta persona
cree que es la realidad.
Por ejemplo, imagina que en un centro escolar se desea saber
el tiempo que dedican a estudiar, por término medio, los
1300 alumnos y alumnas y para ello se extrae una muestra de
100 de ellos.
a) Si fuera el director o una comisión de profesores
quienes eligieran a los alumnos, procurando que
hubiera alumnos “buenos”, “medianos”, “flojos”… la
muestra sería sesgada, pues no reflejaría la realidad
sino lo que el director o los profesores creyeran ver
de la realidad.
b) Si se eligieran los 100 primeros alumnos y alumnas
que lleguen al centro un cierto día, también la
muestra estaría contaminada, porque es posible que
el llegar pronto al centro tenga que ver con el grado
de responsabilidad de dichos alumnos y, por tanto,
con su dedicación al estudio.
c) Si se seleccionan mediante sorteo (se eligen al azar)
los 100 individuos de la muestra, sí será
representativa. Este muestreo se llama aleatorio.
Se dice que un muestreo es aleatorio cuando todos los
individuos de la muestra se eligen al azar, de modo que todos
los individuos de la población tienen, a priori, la misma
probabilidad de ser elegidos.
En el apartado siguiente veremos distintos tipos de
muestreos aleatorios.
Ejercicios: 1, 2 y 3 pág. 272
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11.3.- TIPOS DE MUESTREOS ALEATORIOS
Muestreo aleatorio simple
Es el tipo de muestreo aleatorio más sencillo y en él se basan
todos los demás. Para obtener una muestra, se numeran los
elementos de la población y se seleccionan al azar los n
elementos que debe contener la muestra. Si los individuos
son, por ejemplo, tornillos contenidos en un cajón, para
obtener la muestra basta tomar n de ellos por simple
extracción.
Muestreo aleatorio sistemático
Se numeran los individuos y, a partir de uno de ellos elegidos
al azar, se toman los siguientes mediante “saltos” numéricos
iguales. Por ejemplo, si el primero es el 5º y el salto es de 13,
se elegirán 5º, 18º, 31º, 44º, …
El “salto” se llama coeficiente de elevación, h, y se obtiene
mediante el cociente entero entre el número de individuos
de la población, N, y el número de individuos de la muestra,
n:
h=
N
n
El primer elemento, llamado origen, se elige al azar entre los
números 1, 2, 3, …, h.
Una vez numerados los N individuos de la población y
sabiendo que la muestra ha de ser de tamaño n, el proceso
que se sigue es:
- Se calcula el coeficiente de elevación h, dividiendo N
entre n.
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- Se averigua el primer elemento de la muestra, a1,
obteniéndolo aleatoriamente de entre los h primeros.
- Se obtienen los restantes elementos de la muestra:
a2 = a1 + h, a3 = a2 + h, a4 = a3 + h, …
Esta forma de muestreo sólo es válida si el criterio por el
que se han numerado los individuos de la población no tiene
nada que ver con la característica que se quiere estudiar a
partir de la muestra.
Ejercicio resuelto 1 (pág. 266)
En un centro escolar hay 1300 alumnos. Explicar cómo se
elige una muestra de tamaño 100:
a) Mediante muestreo aleatorio simple.
b) Mediante muestreo aleatorio sistemático.
a) Se sortean 100 números de entre los 1300. La muestra
estará formada por los 100 alumnos a los que
correspondan esos números.
b) Coeficiente de elevación: h =
1300
= 13
100
- Se sortea un número del 1 al 13. Supongamos que sale el
5.
- Los alumnos seleccionados para la muestra son los que
corresponden a los números 5, 18, 31, 44, 57, …, 1292.
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Muestreo aleatorio estratificado
Si la población puede dividirse en estratos (por ejemplo, por
edades: menores de 18 años; de 18 a 50; más de 50), a veces
conviene elegir la muestra fijando de antemano el número de
individuos de cada estrato. Cuando estos números son
proporcionales a los tamaños de los estratos, se dice que el
muestreo es estratificado con reparto proporcional.
ESTRATOS
Nº de individuos en la población
Nº de individuos en la muestra
F1
N1
n1
F2
N2
n2
F3 TOTAL
N3
N
n3
n
n n1
n
n
=
= 2 = 3
N N1 N2 N3
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En cada estrato, los ni individuos de la muestra se eligen
aleatoriamente.
Se procede a un muestreo aleatorio estratificado cuando se
supone que la pertenencia a uno u otro estrato influye en la
variable que estamos analizando. Por ejemplo:
- Se puede suponer que los alumnos de cursos superiores
estudian más que los demás.
- La edad influye en las opiniones sobre aspectos
sociológicos.
- La pertenencia a una u otra comunidad autónoma puede
influir en la “renta per cápita”, en la “tasa de paro”, en
el precio de la vivienda, …
Ejercicio resuelto 1 (pág. 267)
Los 1300 alumnos de un centro escolar se reparten así:
1º
2º
3º
4º
5º
426
359
267
133
115
¿Cómo se elegirá una muestra de 100 alumnos mediante
muestreo estratificado con reparto proporcional?
Ha de cumplirse:
Hallamos n1 :
n
100
n
n
n
n
= 1 = 2 = 3 = 4 = 5
1300 426 359 267 133 115
100
n
100
= 1 → n1 =
⋅ 426 = 32, 77
1300 426
1300
Análogamente se obtienen los demás:
n2 = 27, 62 ; n3 = 20, 54 ; n4 = 10,23 ; n5 = 8, 85
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La parte entera de estos números suma:
32 + 27 + 10 + 20 + 8 = 97
Faltan 3 para llegar a 100. Aumentaremos una unidad a los
tres cocientes cuya parte decimal sea mayor: n1, n2 y n5. Por
tanto, los cien individuos de la muestra se obtienen eligiendo
aleatoriamente los siguientes alumnos:
33 de 1º, 28 de 2º, 20 de 3º, 10 de 4º y 9 de 5º
Para que sea razonable haber recurrido al muestreo
estratificado con reparto proporcional, la característica que
se analiza debe depender, en alguna medida, del curso en el
que se encuentra el alumno. Por ejemplo, la estatura, o bien
el número de horas semanales de estudio u otra.
11.4.- TÉCNICAS PARA OBTENER UNA MUESTRA
ALEATORIA DE UNA POBLACIÓN FINITA
Ya hemos dicho en los apartados anteriores que para
obtener una muestra aleatoria se “sortean” los individuos de
la población para decidir al azar cuáles de ellos forman parte
de la muestra. El “sorteo” puede realizarse de diversas
formas:
Elección mediante extracción
En una caja se introducen tantas bolas o papeletas
numeradas como individuos hay en la población (N). Estos han
sido previamente numerados (1, 2, 3, …, N). Se escogen al
azar tantas papeletas como individuos ha de tener la
muestra (n). Esta operación puede realizarse de dos formas
distintas:
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- Sin reemplazamiento: se eligen simultáneamente, o bien
una a una, las n papeletas.
- Con reemplazamiento: se eligen una a una n papeletas
pero, después de cada extracción, la papeleta elegida (y
anotada) se devuelve a la caja.
Con ambos métodos se consigue una muestra aleatoria, pues
todos los elementos de la población tienen, a priori, la misma
probabilidad de ser elegidos. Sin embargo, si la extracción
se realiza con reemplazamiento, podríamos obtener algún
individuo repetido que habría que desechar y realizar otra
extracción. Por eso, cuando se procede por extracción, se
debe realizar sin reemplazamiento, pues, además, el proceso
es más cómodo.
El sorteo por extracción se denomina también, sorteo por
insaculación. Literalmente, insaculación significa meter en un
saco. Alude al procedimiento de introducir los números o
papeletas en una bolsa o caja.
Obtención de números aleatorios
Las calculadoras tienen una tecla
, que se llama
generadora de números aleatorios, con lo cual se obtiene al
azar un número decimal comprendido entre 0,000 y 0,999.
Por ejemplo:
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Si multiplicamos uno de estos números por N (número de
elementos de la población), obtenemos un número decimal
cuya parte entera está comprendida entre 0 y N-1. Por
tanto, si tomamos la parte entera del número obtenido
mediante la secuencia
número elegido al azar entre 1 y N.
, obtenemos un
Por ejemplo, para N = 45:
Hemos obtenido, así, dos números (32 y 6) elegidos al azar
entre 1 y 45.
Obtención de una muestra mediante números aleatorios
Si repetimos n veces el proceso descrito anteriormente,
obtendremos una muestra de n elementos similar a la que se
obtendría mediante una extracción con reemplazamiento.
Tendríamos que completar la operación suprimiendo los
elementos repetidos (que acaso haya) y obteniendo nuevos
elementos que los reemplacen.
Para poblaciones numerosas este es, evidentemente, el
método más cómodo, pues no hay que andar preparando
papeletas en grandes cantidades. Si la población tuviera más
de 1000 elementos, habría que obtener los números
aleatorios con ordenador, pues necesitaremos que tengan
más de tres cifras decimales para poder “separar” todos los
elementos de la población.
Resumiendo:
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- Si se obtiene la muestra por insaculación (extracción de
papeletas), debe realizarse sin reemplazamiento.
- Si se recurre a los números aleatorios, se consigue una
muestra como si fuera con reemplazamiento. Puede
haber elementos repetidos que deben suprimirse y ser
sustituidos por otros, también elegidos aleatoriamente.
Ejercicio resuelto 1 (pág. 269)
De una población de 423 individuos, queremos extraer una
muestra de tamaño 5. Describir el proceso para obtenerla
mediante números aleatorios.
Para multiplicar por 423 cualquier número que aparezca en
pantalla, procedemos así:
(factor constante)
Ahora recurrimos a los números aleatorios:
Los individuos con esta numeración son los que forman la
muestra.
Ejercicios: 4 y 5 pág. 272, 8 pág. 273.
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