Funciones racionales y potenciales. Asíntotas

Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.
• Funciones racionales.
Una función racional es de la forma f(x)=p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)"0.
El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.
Ejemplos de funciones racionales:
•
•
• Funciones potenciales.
Una función potencial es de la forma f(x)=axn, donde a y n pueden ser cualquier par de números reales.
2.1 Funciones potenciales pares.
Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural par.
Propiedades:
• El dominio de la función es la recta real !
• El recorrido de la función es el intervalo [0,"), ya que la potencia par de un número es siempre
positivo.
• La función es simétrica respecto del eje Y, ya que f(x)=f(−x).
• La función es continua en todo su dominio.
• La función es creciente para x<0 y creciente para x>0.
Ejemplos:
2.2 Funciones potenciales impares.
Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural impar.
Propiedades:
• El dominio de la función es la recta real !
1
• El recorrido de la función es. la recta real !
• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(−x)=−f(x).
• La función es continua en todo su dominio.
• La función es siempre creciente.
Ejemplos:
3. Asíntotas.
3.1 Asíntotas horizontales.
Una recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de una función f(x) si:
Ejemplo:
Al tender x a +" o a −" la función se aproxima a −2, ya que:
Se dice entonces que la recta y=−2 es una asíntota horizontal.
OBSERVACIONES:
• Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales: cuando x!+" o cuando x!−".
• La gráfica de una función puede cortar a su asíntota horizontal.
Ejemplo de una función cuya gráfica corta a su asíntota horizontal
Ejercicio resuelto:
Hallar las asíntotas horizontales de la función:
• Para hallar las asíntotas horizontales calculamos el límite de la función cuando x tiende a +" y −".
Por tanto y=0 es una asíntota horizontal
Ejercicio:
• Hallar las asíntotas horizontales de la función:
3.2 Asíntotas verticales:
Ejemplo:
Cuando x se aproxima a 0, la función tiende a +".
Se dice que la recta x=0 es una asíntota vertical de la función.
OBSERVACIONES:
2
• Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales.
• La gráfica de una función racional no corta a sus asíntotas verticales.
• Las asíntotas verticales de las funciones racionales se obtienen para los valores de x que anulan
al denominador pero no al numerador.
Ejercicio resuelto:
Dada la función
Hallar sus asíntotas verticales.
La función tiende a ±" cuando el denominador se anula; por tanto, x2+6x−7=0, de donde x=1 y x=−7 son las
asíntotas verticales.
Ejercicios:
a) Dada la función:
Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.
• Dada la función:
Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.
• Asíntotas oblicuas.
Limitamos el estudio de estas asíntotas al caso de las funciones racionales.
OBSERVACIONES:
• La gráfica de una función puede cortar a su asíntota oblicua.
• Si una función racional tiene una asíntota oblicua no puede tener asíntota horizontal, y
recíprocamente.
Ejercicio resuelto:
Dada la función:
Hallar, si las hay, sus asíntotas oblicuas.
Dividiendo el numerador entre el denominador resulta
A medida que x tiende a ±" se verifica que 1/x tiende a 0, y en consecuencia la función:
Se aproxima a la recta y=x−1.
Se dice que la recta y=x−1 es una asíntota oblicua.
Ejercicios:
Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:
3
a)
b)
c)
d)
3
4