ECUACIONES LINEALES.

ECUACIONES LINEALES.
ECUACIÓN: Es una igualdad entre cantidades conocidas
y otras desconocidas llamadas incógnitas.
NOTA: Se llama solución de una ecuación al valor o
conjunto de valores que sustituidos en lugar de las
incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades.
COMPATIBLES: Si admiten alguna
solución. Existen dos tipos:
a) Determinadas.- Si admiten un número
limitado de soluciones.
b) Indeterminadas.- Si admiten un
número ilimitado de soluciones.
IMCOMPATIBLES:
Son
aquellas
ecuaciones que no admiten soluciones y
entre estos se encuentran las ecuaciones
absurdas.
II)
ECUACIONES EQUIVALENTES: Reciben este
nombre las ecuaciones que tienen las mismas
soluciones. Se dice parcialmente equivalentes si y
sólo si tienen algunas soluciones comunes.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCOGNITA
Sea:
b
ax + b = 0  x = 
a
 Sí: a  b y b = 0. la raíz es nula
 Si: a = 0 y b  0. la solución es
incompatible
 Si a = 0 y b = 0, la raíz se hace
indeterminada.
Suma de raíces: x 1  x 2  
b
a
2.
Producto de raíces:
x 1 .x 2 
c
a
3.
Diferencia de raíces:
x1  x 2 
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN
LA NATURALEZA DE SUS RAICES
I)
1.
b 2  4ac
a
5.
x1  x 2  0
Di las raíces son recíprocas  x1 .x 2  1
6.
Si las ecuaciones:
Si las raíces son simétricas 
4.
ax 2  bx  c  0
tienen las mismas raíces 
7.
8.
Si:
Sí:
mx 2  nx  p  0
a b c
 
m n p
b 2  4ac  0 
b 2  4ac  0 
X1 , X2  R
X1  X2
X1 , X2  R
X1 = X 2
9. Si:
b 2  4ac  0 
X1 , X2 son complejos
y conjugados.
X1  X2
10.


x 2  x1  x 2 x  x1 .x 2  0
DESIGUALDADES E INECUACIONES
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general:
ax 2  bx  c  0
x
x1 
 b  b 2  4ac
2a
 b  b 2  4ac
2a
x2 
 b  b 2  4ac
2a
Son sus posibles raíces.
Propiedades:
DESIGUALDAD: Es aquella relaciön que se
establece entre 2 números reales y que nos
indica que tienen diferente valor.
PROPIEDADES
1.- Si a > b y m > 0  a.m > b.m
a
b
>
b
m
2.- si a > b y m < 0  a.m < b.m
a
b
y
<
m
m
y
3.-
Si a  b

1 1
 , etc.
a b
Inecuaciones: Son desigualdades que se
verifican para ciertos valores de sus variables.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Forma general:
ax + b > 0
ó
ax + b < 0
Para resolver una inecuacion lineal se
transforma para todos los terminos que
contiene a la variable “x” al primer miembro y
las constantes al segundo miembro y luego en
la recta numerica se identifica el intervalo al
cual pertenece la variable.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general: ax2+bx+c>0
ó
ax2+bx+c<0
CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER
ESTE TIPO DE INECUACIONES
1.- El coeficiente principal debe ser positivo y
la inecuacion debe estar reducida de modo que
el segundo miembro figure el cero.
2.- La expresion debe estar factorizada para
luego igualar cada factor a cero.
3.- Se ubican dichos valores sobre la recta
numerica(puntos criticos).
4.- Se empieza por asignar el signo (+) en el
ultimo intervalo y luego en los demas
intervalos de variacion se alternan los signos (), (+), (-), (+),.... de derecha a izquerda.
5.- La solucion de la inecuacion estara dada
por las zonas positivas si el sentido de la
desigualdad es (>) o por las zonas negativas si
el sentido de la desigualdad es (<).
Recordar:
signo


(+)
>

(–)
<

2
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número
real “x” denotado por |x| ; se define de la
siguiente manera:
 x; si : x  0

| x |  0; si : x  0
 x; si : x  0

EJEMPLOS: |3| = 3; |–5| = – (–5)  5
Conclusión: El valor absoluto de un número
real cualquiera será siempre positivo ó cero.
PROPIEDADES:
1. |x|  0
xR
2.
|x|2 = x2
= x
2
 x2;
R
3. |x| = |–x|
R
4.
|x.y| = |x|.|y|
5.
x
x

y
y
 x
 x
 x,y  R

x,y  R y  0
6. | x  y |  | x |  | y | Desigualdad
triangular.
7. a  b  b  a
8.
x2  x
3
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
1. | x | = 0

x=0
2. | x | = a

a  0 

 x  a y x  a
NOTA: Si: |x| = –a; la ecuación es
incompatible, es decir no tiene solución.
3. Si: |x| = |y|

x=y
ó x = –y
INECUACIONES
ABSOLUTO
1. |x|  y
y 0
y  x  y]
2. |x|  y
ó x  –y
3. |x|  |y|
(x+y)(x–y)  0
4. |x|  |y|
(x+y)(x–y)  0
CON
VALOR


[–

x y

