ECUACIONES LINEALES.
ECUACIÓN: Es una igualdad entre cantidades conocidas
y otras desconocidas llamadas incógnitas.
NOTA: Se llama solución de una ecuación al valor o
conjunto de valores que sustituidos en lugar de las
incógnitas transforman a las ecuaciones en identidades.
COMPATIBLES: Si admiten alguna
solución. Existen dos tipos:
a) Determinadas.- Si admiten un número
limitado de soluciones.
b) Indeterminadas.- Si admiten un
número ilimitado de soluciones.
IMCOMPATIBLES:
Son
aquellas
ecuaciones que no admiten soluciones y
entre estos se encuentran las ecuaciones
absurdas.
II)
ECUACIONES EQUIVALENTES: Reciben este
nombre las ecuaciones que tienen las mismas
soluciones. Se dice parcialmente equivalentes si y
sólo si tienen algunas soluciones comunes.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCOGNITA
Sea:
b
ax + b = 0 x =
a
Sí: a b y b = 0. la raíz es nula
Si: a = 0 y b 0. la solución es
incompatible
Si a = 0 y b = 0, la raíz se hace
indeterminada.
Suma de raíces: x 1 x 2
b
a
2.
Producto de raíces:
x 1 .x 2
c
a
3.
Diferencia de raíces:
x1 x 2
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN
LA NATURALEZA DE SUS RAICES
I)
1.
b 2 4ac
a
5.
x1 x 2 0
Di las raíces son recíprocas x1 .x 2 1
6.
Si las ecuaciones:
Si las raíces son simétricas
4.
ax 2 bx c 0
tienen las mismas raíces
7.
8.
Si:
Sí:
mx 2 nx p 0
a b c
m n p
b 2 4ac 0
b 2 4ac 0
X1 , X2 R
X1 X2
X1 , X2 R
X1 = X 2
9. Si:
b 2 4ac 0
X1 , X2 son complejos
y conjugados.
X1 X2
10.
x 2 x1 x 2 x x1 .x 2 0
DESIGUALDADES E INECUACIONES
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general:
ax 2 bx c 0
x
x1
b b 2 4ac
2a
b b 2 4ac
2a
x2
b b 2 4ac
2a
Son sus posibles raíces.
Propiedades:
DESIGUALDAD: Es aquella relaciön que se
establece entre 2 números reales y que nos
indica que tienen diferente valor.
PROPIEDADES
1.- Si a > b y m > 0 a.m > b.m
a
b
>
b
m
2.- si a > b y m < 0 a.m < b.m
a
b
y
<
m
m
y
3.-
Si a b
1 1
, etc.
a b
Inecuaciones: Son desigualdades que se
verifican para ciertos valores de sus variables.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Forma general:
ax + b > 0
ó
ax + b < 0
Para resolver una inecuacion lineal se
transforma para todos los terminos que
contiene a la variable “x” al primer miembro y
las constantes al segundo miembro y luego en
la recta numerica se identifica el intervalo al
cual pertenece la variable.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general: ax2+bx+c>0
ó
ax2+bx+c<0
CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER
ESTE TIPO DE INECUACIONES
1.- El coeficiente principal debe ser positivo y
la inecuacion debe estar reducida de modo que
el segundo miembro figure el cero.
2.- La expresion debe estar factorizada para
luego igualar cada factor a cero.
3.- Se ubican dichos valores sobre la recta
numerica(puntos criticos).
4.- Se empieza por asignar el signo (+) en el
ultimo intervalo y luego en los demas
intervalos de variacion se alternan los signos (), (+), (-), (+),.... de derecha a izquerda.
5.- La solucion de la inecuacion estara dada
por las zonas positivas si el sentido de la
desigualdad es (>) o por las zonas negativas si
el sentido de la desigualdad es (<).
Recordar:
signo
(+)
>
(–)
<
2
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número
real “x” denotado por |x| ; se define de la
siguiente manera:
x; si : x 0
| x | 0; si : x 0
x; si : x 0
EJEMPLOS: |3| = 3; |–5| = – (–5) 5
Conclusión: El valor absoluto de un número
real cualquiera será siempre positivo ó cero.
PROPIEDADES:
1. |x| 0
xR
2.
|x|2 = x2
= x
2
x2;
R
3. |x| = |–x|
R
4.
|x.y| = |x|.|y|
5.
x
x
y
y
x
x
x,y R
x,y R y 0
6. | x y | | x | | y | Desigualdad
triangular.
7. a b b a
8.
x2 x
3
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
1. | x | = 0
x=0
2. | x | = a
a 0
x a y x a
NOTA: Si: |x| = –a; la ecuación es
incompatible, es decir no tiene solución.
3. Si: |x| = |y|
x=y
ó x = –y
INECUACIONES
ABSOLUTO
1. |x| y
y 0
y x y]
2. |x| y
ó x –y
3. |x| |y|
(x+y)(x–y) 0
4. |x| |y|
(x+y)(x–y) 0
CON
VALOR
[–
x y
0
