Números no racionales

Números no racionales. Notación científica.
Las raíces.
1.
Números no racionales. Aproximación
Hay algunos números que no pueden escribirse en forma de fracción. Estos
números se llaman irracionales, se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no
periódicas y se representan por la letra I .
Son números irracionales todas las raíces que no sean exactas como:
2 =1’414213562..., 3 =1’7320508... ; algunos números “famosos” como el número
3’141592654..., el
número
e=2´71828182....,
el
número
áureo

1 5
 1'618039... , etc.
2
Los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora N, Z, Q e I forman el
conjunto de los números reales R, y se contienen unos a otros según se recoge en el
cuadro adjunto.
Con frecuencia en los cálculos obtenemos más cifras decimales de las que
necesitamos. En estos casos sustituimos un número con varias cifras decimales por
otro con menor número de cifras decimales, a sabiendas de que no es el valor exacto,
sino que estamos tomando una aproximación. A esta operación se la conoce con el
nombre de redondeo, y al realizarla hemos de tener cuidado ya que, si la primera
cifra que despreciamos es igual o superior a 5, hay que añadir una unidad a la última
cifra con la que nos hemos quedado.
1.
Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes
números:
64 (c) –1’55... (d)  (e) 2’48 (f)
2
(g) 159 (h) –61 (i) 
3
(a) 1/4
(b)
71
2.
La notación científica.
Recuerda que para multiplicar un número por 10n, basta con desplazar la coma
n lugares hacia la derecha, mientras que para dividir un número por 10n, basta con
desplazar la coma n lugares hacia la izquierda, añadiendo o suprimiendo en ambos
casos los ceros necesarios.
Cuando trabajamos con números muy grandes o muy pequeños, resulta
sumamente ventajoso el empleo de la notación científica.
Un número está escrito en notación científica si adopta la siguiente forma:
bcde... · 10n , donde:



a’
“a” es la parte entera, que ha de tener solo una cifra.
“bcde...” es la parte decimal
La potencia entera de base 10, nos da idea de la magnitud del número
(exponente positivo para los números grandes y exponente negativo para los
números pequeños)
 Calculadora:
EXP
2.
Escribe en forma correcta los siguientes números dados en notación
científica:
(a) 256·108 (b) 389’4 · 10–5
(c) 0’84 · 107 (d) 0’0256 · 10–5
3.
Realiza las siguientes operaciones, usando la calculadora sólo para
comprobar el resultado:
(a) (2’4 · 10–5) · (5’5 · 1018) (b) (3’45 · 10–29) : (7’6 · 1024)
(c) (1’5 · 10–9) : (1’9 · 10–24)
4.
Pasa de notación científica a notación decimal las siguientes cantidades:
(a) Altura del monte Everest: 8’85 · 103 m.
(b) La masa de la tierra: 5’98·1021 toneladas.
(c) Espesor de una moneda de 100 ptas.: 3 · 10 –3 m.
(d) Área de una moneda de 100 ptas.: 4’67 · 10–4 m2.
5.
Pasa de notación decimal a notación científica las siguientes cantidades:
(a) Distancia media de la Tierra al Sol: 149.680.000 km.
(b) Diámetro en el ecuador del Sol: 1.391.980 km.
(c) Peso de un grano de arroz: 0’000 027 kg.
(d) Masa del electrón: 0’000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 g
6.
Un año–luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la
luz se desplaza en el vacío con una velocidad de 3 · 10 5 km/s, calcula a
cuantos km equivale un año luz.
7.
El cabello humano crece, más o menos, un centímetro en un mes.
¿Cuánto crecerá, aproximadamente, en una hora?
3.
Raíces. Operaciones con radicales.
Un radical es una expresión de la forma n a , donde al número que hay dentro
de la raíz (a) se le llama radicando y al que hay encima del símbolo (n), índice.
La raíz de un número es aquel número o números (puede tener varias soluciones)
que elevado al índice nos da el radicando.
Esto es:
8.
n
a  b sii a  b n .
Halla las siguientes raíces de forma exacta, comprobando que el
resultado, elevado al índice, nos da el radicando:
(a)
9 (b)
(f) 4 16 (g)
5
49 (c)
243
36 (d)
3
8 (e)
3
 125
Como hemos dicho, una raíz puede tener dos, una o ninguna solución,
dependiendo de que el radicando sea un número positivo o negativo y de que el índice
sea un número par o impar.
En concreto:

Radicand posit : 2 soluciones ...
Indice par 
N º soluciones
Radicand negat : 0 soluciones.

de una raiz 
Radicand posit :1 solución posit.
Indiceimpar 

Radicand negat :1 solución negat.

 Calculadora:
9.
,
x1/y
,
x
Halla las soluciones de las siguientes raíces:
a) 81 b)3  64 c)3 125 d )  25 e)3 343
f )  121 g ) 169 h)3  729
10. Halla con tu calculadora las siguientes raíces, aproximando hasta las
centésimas:
a) 63 b)3 28 c)4 55 d )7 1.250.325 e)5 685
f ) 66
Este curso nos limitaremos al estudio de la raíz cuadrada
Operaciones aritméticas:

Para sumar o restar raíces cuadradas:
(1)
Los radicales han de ser iguales. Si no lo son, se intentará transformarlos
en radicales iguales, normalmente sacando números de la raíz. Si ésto no se
consigue, no se puede hacer la suma.
Si la suma se puede realizar, se suman los números de fuera dejando la
misma raíz.
(2)
Ejemplo:
2 3  7 2  5 3  2 2  (2  5) 3  (7  2) 2  7 3  5 2
18. Efectúa las siguientes sumas de radicales:
(a)
(b)
2 3 3 3 5 3
2 3 2 6 2 5 2  2
(b)
(c)
3  27  12
2  3 8  4 18  5 50
Para multiplicar o dividir raíces cuadradas:
Utilizando propiedades de potencias resulta que:
(1)
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:
(2)
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces
ab  a  b
a
a

b
b
(3)
Si hay números fuera de las raíces, se multiplican o dividen, por una parte
todos los números de fuera y por otra parte los radicandos de todas las
raíces.
Ejemplo:
2 12  5 3  (2  5) 12  3  10 36  10  6  60
19. Multiplica las siguientes expresiones y simplifica el resultado:
a) 8 • 18 b) 5 • 125
c)2 3 • 7 2
20. Efectúa las siguientes divisiones y simplifica el resultado:
a)
75
3
3
b)
3
45
5
c)
6 150
2 6
d) 3
8
8
Para extraer números que estén bajo el signo radical, conviene seguir el
siguiente procedimiento:
(1) Se descompone en factores primos el radicando.
(2) Se observan los exponentes que sean mayores que el índice de la raíz, y
se descomponen estas potencias en producto de potencias de la misma
base y con exponentes iguales (siempre que se pueda) al índice de la raíz.
(3) Se aplica que la raíz de un producto es igual al producto de las raíces.
(4) Se simplifican las raíces cuyo índice es igual al exponente del radicando.
(5) Se efectúan las multiplicaciones de los números que quedan fuera de la
raíz por una parte, y los que quedan dentro por otra.
Ejemplo:
216  33  23  32  3  22  2  32  3  22  2  3  3  2  2  6  6
Para Introducir números que estén multiplicando dentro del signo radical es
mucho más fácil: entran multiplicando al radicando como una potencia cuya base es
el número y cuyo exponente es igual al índice de la raíz.
Ejemplo:
6  7  62  7  252
21. Extrae todos los factores que sea posible de las siguientes expresiones
radicales:
a) 343 b) 405
c) 23 • 7 4 • 112
22. Introduce en el radical el número de fuera: i)
23. Efectúa las siguientes operaciones:
(a)
(c)
4.
3 2  4 5 · 5 2  3 5 
 3  2 · 3  2 
(b)
ii)
2 5
1  2 · 2
5 3

2 1
Representación de números reales sobre la recta real.

Representación gráfica de números irracionales de la forma
n con nN:
Actividades.
1.
Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:
(a) 1,7 (b)–28 (c) 0’0505...
(h) –685.526 (i) 5/4
(d)
23 (e) 15/5 (f) 0 (g) 169
2.
Redondea los siguientes números con dos cifras significativas, y calcula el error absoluto y
relativo que se comete en cada caso:
(a) Distancia media a la Luna: 384.400 km.
(b) Diámetro ecuatorial: 12.756 km.
(c) Fosa oceánica más profunda: 10’924 km.
3.
Realiza las siguientes operaciones, usando la calculadora solo para comprobar el resultado
y dando el resultado en notación científica :
(a) 2,4·10–5 · 5,5·1018
(b) 34,57·10–29 · 16·1024
(c) 12,56·1020 : 3,6·1013
(d) 3,86·1011 : 1,2·10–7
4.
Escribe en notación científica:
(a) Número de granos de arroz en un kilo: 36.000
(b) Número de moléculas en un gramo de hidrógeno: 301.000.000.000.000.000.000.000
(c) El diámetro del núcleo de un átomo: 0’000 000 000 000 01 m
(d) Volumen de una moneda de una peseta: 0’ 000 000 412 m 3
5.
Escribe en notación no científica :
(a) El precio de una casa: 1’85·107 ptas.
(b) Años que han pasado desde el final de la última glaciación: 1’5 · 104
(c) El paso de un tornillo de reloj: 1’5·10–2 cm.
(d) Volumen de un balón de fútbol: 6 · 10–4 m3.
6.
Sabiendo que la luz recorre 3·108 metros en un segundo,
(a) ¿Cuántos kilómetros recorrerá la luz en un cuarto de hora?
(b) ¿Cuántos segundos tardaría un rayo de luz en recorrer el ecuador, 1’28 · 104 km.?
7.
Nuestra galaxia, la Vía Láctea, tiene un diámetro de cien mil años–luz. El Sol dista del
centro de la galaxia treinta y dos mil años–luz. Andrómeda, la galaxia más cercana a la
Tierra, está a dos millones ciento diez mil años–luz de la Tierra. La distancia del Sol a la
Tierra es de ciento cincuenta millones de kilómetros y los quásares, primeros objetos que
se formaron tras el Big Bang, más próximos están a más de trece mil millones de años–
luz. ¿Cuál de estas distancias es la más próxima a 2·1017 km.?
8.
Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que
tiene unos 4.500.000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.
Calcula la longitud que ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila, si su diámetro, por
término medio, es de unos 8·10–3 mm. Compara esa longitud con la del ecuador terrestre,
que mide unos 40.000 km.
9.
Efectúa y simplifica: (a)
15·3 5 (b) 15 : (3 5) (c)
10. Escribe todas las expresiones siguientes como potencias.
a) 3
5
b) 5
3• 2
c) 3
8
d)
30
11. Extrae factores fuera del signo radical:
(a)
24
(b)
72 (c)
18a 5
(d)
12. Introduce dentro del radical todos los factores:
2000
2 6
4 3
(a)
4 2
(b)
3a 2b
(c)
3a ·3 a 2b
13. Efectúa las sumas:
a) 20  125  45 b) 50  2 18  32 c)3 20  4 45  2 125
14. Efectúa las sumas:
48  12  2 27  3 75 (b) 3 432  3 250  3 16
2
3
3
3
3
(c) 3 128  2 2  5 16  33 54
(a)
9
15. Racionaliza las siguientes expresiones:
3
6
(a)
5
125
(b)
(c)
2
3 2
(d)
1 2
2
(e)
2 5 3 3
2 3
16. Racionaliza las siguientes expresiones:
1 2 5
(c)
1 5
2 33
3 5 2
(d)
(e)
3 3
2 5 2
(a)
2
2 23
(b)
2 3
2 3
Actividades de repaso.
1.
Calcula las siguientes raíces, aproximando el resultado hasta las centésimas:
(a)
4
3
(b)
5
6
(c)
4
(d)
3
5
2.
Cambia de notación científica a notación ordinaria y viceversa:
(a) 3’215 · 1011 (b) 4’56 · 10–9
(c) 1 230 000 000 000 000 (d) 0’000 000 000 001 230
3.
Las distancias de la Tierra a la Luna y al Sol son, en un momento dado, 4·10 5 y 1’5·108
km. respectivamente. ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que la
distancia de la Tierra a la Luna? (Utiliza tu calculadora científica sólo para comprobar el
resultado)
4.
Efectúa usando tu calculadora sólo para comprobar:
5.
Efectúa:
6.
(a) Introduce en número de fuera:
6'25·10 ·5'16·10 
21
7.
(a)
6 7 ·5 3 · 11 (b)
5 50
15 10
6 7
(b) Extrae todos los factores posibles: 3 36000
Efectúa la suma:
24  5 6  486
Actividades de ampliación.
1.
Efectúa las siguientes operaciones con radicales:
2'1·106
4
4
(a)
3
5· 2·4 6 (b)
(d) 23 81 
4
12
64
(c)
x 2 ·3 x · x 3
x ·4 x 2
13
2
3  3 24
3
5
Ampliacion de la Unidad Didactica:

Construcción de un rectángulo áureo:
Partiendo de un cuadrado ABCD hacemos la siguiente construcción:
5l
2
x
y
AG 1  5


2
AB
Además, el rectángulo DCHG vuelve a ser un rectángulo dorado.
En la estrella de cinco puntas, que
constituyó el símbolo de la escuela
pitagórica, puede encontrarse el número
áureo  así como la serie infinita de estrellas
y pentágonos regulares.
Concrétamente:

AC Diagonal


Lado
AB
Toda expresión radical se puede escribir como potencia de exponente
fraccionario de la forma:
n
a a
1
n
Esta igualdad nos permite aplicar a las expresiones radicales todas las propiedades
que hemos estudiado para las potencias. Conviene tener en cuenta, por sus
aplicaciones, las siguientes:
n
am  a
n m
Esquema:
m
n
a  n m a
n p
a m p  n a m
 a
n
m
 n am