2º Bach B - IES Guadalquivir

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.
Septiembre 2012.
1 
x
1. Dadas las matrices A  

 1 x  1
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Lora del Río.
 0 1
B 
 Encontrar el valor de x que hace que
 1 1
se cumpla A  I  B 1
2.Determinar la
 1 0  1


A  0  1 0 


0
1 1
matriz
X que
 2 1 0


B   0 1 1


 1 3 1
verifica
la
ecuación
B t  AX  A
siendo

 1 0

2 X  Y  
  1 1

3. Resuelve: 
1 3 

X

Y




 5  4

4.
Dadas
las
matrices
 1 2 3
A 

 2 1 1
1 0 


B  2
2


  1  1
 1  1
C 

1 0 
1
1
halla: C  AB, C 1   AB ,  C  AB
2 
 2
 B  1  1 . Explicar qué dimensión u orden
5. Dadas las matrices A  
  5  4
debe tener la matriz X para que se verifique X  A  2B  1 0 y averiguar X.
x  y  5

6.Maximizar f x, y   3x  2 y en la región 2 x  y  3
 x  0, y  0

x  y  0

7.Maximizar f x, y   x  2 y en la región  x  y  3
 x  0, y  0

2 x  y  20

8. Calcula los puntos del recinto 2 x  y  20 que hacen mínima la función z  2 x  y
0  y  20

9. Un autobús Madrid París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y
para no fumadores a 60 euros. Al no fumador se le permite llevar 50 Kg de peso y al no
fumador 20 Kg . Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 300 Kg
¿cuál deberá ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio?
10. Para abonar una parcela se necesitan, por lo menos, 8 Kg de nitrógeno y 12 de
fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros el kilo y contiene 10%
de nitrógeno y 30% de fósforo y de otro Producto N cuyo precio es de 4 euros el kilo y
contiene 20% de nitrógeno y 20% de fósforo. ¿ Qué cantidades se deben tomar de M y
N para abonar la parcela con el menor gasto posible?
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11.Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no
debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B.
Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P
contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada
píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8
céntimos de euro.
Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diario?
12.Dada la siguiente función:
 2x  3
si x  0

f x    x  1
estudia su derivabilidad y continuidad.
2

 x  2 x  3 si x  0
13.Calcula los siguientes límites:
e) lim e x 1 
x3  x 2  2x  2
x 
a) lim 3

x 1 x  x 2  x  1
f ) lim logx  5 
x 
3x  5
b) lim 2

g ) lim log x  5 
x   2 x  9
x 
7x  1
c) lim 3

x   4 x  9
x 2  2x
h) lim

x 2  x 2  3 x  2
5x 2  9x  3
d ) lim

x  
7x2 1
14. Calcula los valores a y b que hacen continuas las siguientes funciones:
x  2
 e ax
 3x  1 si
si
x0


a) f x    ax  5 si  2  x  2
b) f x    x  2a si 0  x  2
 x 2  b si
 x  b si
x2
x2


0

15. Considera la función: f  x    x 2
x

si
x0
si 0  x  1
si
x 1
a) Estudia su continuidad.
b) Estudia su derivabilidad.
16.Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una
determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos
15000 t  10000
años, por la función f t  
siendo t el número de años transcurridos.
2t  2
Se pide:
a) Tamaño inicial de la población.
b) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿ se estabilizaría el tamaño de la
población? Justifica la respuesta.
17. Estudia el crecimiento y determina los extremos relativos de:
x2
b) f  x   2
a) f x  x 3  3x .
x 1
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18.Un club deportivo cuenta con un número de socios que viene dado ( en miles de
personas ) por la función sx  2x 3  15x 2  24x  26. donde x indica el número de años
desde la última remodelación.
a) ¿ Qué número de socios hay nada más hacer la remodelación?
b) Halla el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios.
c) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indica razonadamente si esta
remodelación tuvo éxito o no.
19.Estudia la curvatura de la función y establece sus puntos de
inflexión f x  x 3  3x 2 .
20.Una franquicia de tiendas de mda ha estimado que sus beneficios semanales ( en
miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento ( n ) de
acuerdo con la expresión Bn  8n 3  60n 2  96n
Determina razonadamente;
a) El número máximo de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios
semanales.
b) El valor de dichos beneficios máximos.
21. Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones con los ejes:
b) f x  x 3  4x 2  x  4 c) f x  x 4  8x 2  7
x 2  81
a) f x  
x7
22.Representa las siguientes funciones:
a) f x  x 3  4x 2  x  4 b) f x  x 3  3x
23.Halla las asíntotas y las ramas asintóticas de las siguientes funciones:
1
x 1
3x 2
b) f  x   2
a) f x  
c) f  x   2
x  2x  3
x 1
x 1
24.Dada la función f x  3x 2  6x  a . Calcula a para que el mínimo de la función sea
5.
25.Halla a y b para que la tangente a la gráfica de f x  ax2  b en el punto ( 1, 5) sea
y  3x  2
26.Halla a y b para que f x  ax3  3x 2  5x  b pasa por el punto ( 1, -3 ) y tenga un
punto de inflexión en x = -1.
27..Dada f x   ax3  bx calcula a y b sabiendo que su gráfica pasa por (1,1) y que en
ese punto la pendiente de la recta tangente es -3.
28.Se sabe que P A  0.4, PB  0.6 y P A  B  0.2 . Calcula P A  B, PAc , PB c 
29.En una clase en la que todos practican algún deporte, el 65% de los alumnos juega
al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Además un 60% que no
juega al fútbol. Halla la probabilidad de que, escogido un alumno de la clase al azar:
a) Juegue sólo al fútbol.
b) Juegue sólo al baloncesto.
c) No practica ninguno de los dos deportes.
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30En una clase hay 11 chicos y 14 chicas. De los estudiantes, 7 chicos y 10 chicas
utilizaban habitualmente Internet. Si escogemos un estudiante al azar, calcula las
probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Ser chica sabiendo que utiliza Internet.
b) No utilizar Internet, sabiendo que es chico.
31. Un turista que realiza un crucero tiene un 50% de probabilidad de visitar Cádiz, un
40% de visitar Sevilla y un 30% de visitar ambas ciudades. Calcula la probabilidad de
que:
a) Visite al menos una de las dos ciudades.
b) Visite Cádiz pero no Sevilla.
c) Visite Sevilla sabiendo que ha visitado Cádiz.
d) No visite las dos ciudades.
32.En un centro escolar, los alumnos de 2º de bachillerato pueden cursar, como
asignaturas optativas, Estadística o Diseño Asistido por Ordenador (DAO ) . El 70% de
los alumnos estudia Estadística y el resto DAO. Además, el 60% de los alumnos que
estudia Estadística son mujeres y de los alumnos que estudia DAO el 70% son
hombres.
a) Elegido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre.
b) Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, calcula la probabilidad de que estudie
Estadística.
33.En una empresa de auditorías se ha contratado a tres personas para inspeccionar
a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorías. La primera de
ellas se encarga de inspeccionar al 30%, la segunda al 45% y la tercera al 25%
restante. Se ha comprobado que de las inspecciones realizadas por la primera persona
, el 1% son erróneas; la segunda comete errores en 3% de los casos y la tercera en el
2% de los casos. Al elegir una inspección correcta, ¿ cuál es la probabilidad de que la
haya realizado la segunda persona?
34. Los gerentes de unos grandes almacenes han comprobado que el 40% de los
clientes paga sus compras con tarjeta de crédito y el 60% restante lo hace en efectivo.
Ahora bien, si el importe de la compra es superior a 100 euros la probabilidad de
pagar con tarjeta pasa a ser 0.6. Si además sabemos que en el 30% de las compras el
importe es superior a 100 euros, calcula:
a) La probabilidad de que un importe sea superior a 100 euros y sea abonado con
tarjeta.
b)La probabilidad de que un importe sea superior a 100 euros, sabiendo que fue
abonado en efectivo.
c) La probabilidad de que el importe no sea superior a 100 euros ni abonado con
tarjeta.
35. Sea la población {1,2,3,4}.
a) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo
aleatorio simple.
b)Calcule la varianza de las medias muestrales
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36.El tiempo ( en horas ) que permanecen los coches en un determinado taller de
reparación es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 4
horas.
a) Se eligieron al azar 16 coches del taller y se comprobó que, entre todos, estuvieron
136 horas en reparación. Determine un intervalo de confianza, al 98.5%, para la media
del tiempo que permanecen los coches en ese taller.
b) Determine el tamaño mínimo muestral que permita estimar la media del tiempo que
permanecen en reparación los coches en ese taller con un error en la estimación no
superior a una hora y media y con el mismo nivel de confianza del apartado anterior.
37. Se sabe que las puntuaciones de un test siguen una ley normal de media 36 y
desviación típica 4.8.
a)Si se toma una muestra aleatoria de 16 individuos, ¿ cuál es la probabilidad de que la
media de esta muestra sea superior a 35 puntos?
b) ¿ Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 tiene una media muestral comprendida
entre 34 y 36?
38. El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley
Normal de media μ días y desviación típica 3 días.
a) Determine un intervalo de confianza para estimar μ, a un nivel confianza del 97%,
con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 días.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder
estimar μ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92%?
39.En un estudio de mercado del automóvil en una ciudad se ha tomado una muestra
aleatoria de 300 turismos y se ha encontrado que 75 de ellos tienen motor diésel. Para
un nivel de confianza del 94%:
a) Determina un intervalo de confianza de la proporción de turismos que tienen motor
diésel en esa ciudad.
b) ¿ Cuál es el error máximo de la estimación de la proporción?
40. a)Los valores:52, 61, 58, 49, 53, 60, 68, 50, 53
constituyen una muestra aleatoria de una variable aleatoria Normal, con desviación
típica 6. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel
de confianza del 92 %.
b) El peso de los alumnos de un instituto sigue una normal de media 65 Kg y
desviación típica 1.2. Si el 98.25 % de los estudiantes del centro no sobrepasan un
cierto peso averigua dicho peso.
41.Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es
2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven
etos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con
un nivel de confianza del 95%?
42.Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de
abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar
una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían
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dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir
el pronóstico.
43.Un fabricante de electrodomésticos asegura que el precio medio de sus lavadoras
es de 275 euros con una desviación típica de 10. Para comprobarlo, de una muestra de
320 lavadoras obtenemos que el precio medio es de 285 euros. ¿ Podemos aceptar la
afirmación del fabricante con un nivel de significación del 1%?
44.En un servicio de atención al cliente, la empresa asegura que el tiempo medio de
espera para recibir atención no supera los 6 minutos, con una desviación típica de 2.
En una muestra de 30llamadas, el tiempo medio de espera ha sido de 8
minutos.Plantea un contraste de hipótesis con nivel de significación del 5% para decidir
si el tiempo medio de espera es superior al que indica la empresa.
45.Un fabricante asegura que la duración media de las baterías de un modelo de
telefonía móvil es de 400 horas, con una desviación típica de 50. Para comprobarlo, de
una muestra de 170 baterías ha resultado que su duración media ha sido de 340 horas.
¿ Podemos aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de significación del 10%?¿
Y si el nivel de significación es del 1%?
46.Una empresa dedica a la fabricación de tornillos asegura que solo el 1 % de su
producción es defectuossa. Se selecciona una muestra de 150 tornillos y se observa
que 3 de ellos son defectuosos.¿Podemos aceptar la hipótesis del fabricante con nivel
de significación del 1%?
47.Un profesor de Educación Física afirma que el porcentaje de alumnos de
Bachillerato que juegan al baloncesto es del 15%. Si de una muestra de 60 alumnos,
14 de ellos juegan al baloncesto, ¿ podemos aceptar la afirmación del profesor con un
nivel de significación de 0.05?
48.Una empresa dedicada a la fabricación de bombillas asegura que, como máximo,
un 2% de su producción es defectuosa. Se selecciona una muestra de 300 bombillas y
se observa que 8 de ellas son defectuosas. ¿ Podemos aceptar la hipótesis del
fabricante con nivel de significación del 5%?
49.Los profesores de una academia de idiomas aseguran que el porcentaje de
alumnos que estudian inglés en su centro es como mínimo, del 58%. Si de una
muestra de 40m alumnos, 23 de ellos estudian inglés, ¿podemos aceptar la afirmación
de los profesores con nivel de significación de 0.01?
50.Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100
ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se
toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. ¿Se
puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?