1.- CALCULO DE DEFORMACIONES 1.1 CINEMATICA

1.- CALCULO DE DEFORMACIONES
1.1 CINEMATICA
Sea la estructura isostática de la figura 1.1.
Supongamos que se impone un giro ΔθE en la barra AB en la sección que está en E, a tres
cuartos de la altura. La estructura deforma como mecanismo, tomando la deformada mostrada en la
figura 1.2.
La posición desplazada de la estructura se puede describir mediante los desplazamientos y
giros de algunos de sus secciones. En este caso se eligió el desplazamiento lateral de la sección B, el
vertical en el centro de la viga, el desplazamiento lateral del apoyo en D y el giro en A. Estos
desplazamientos se pueden expresar geométricamente en función del giro en E que los provocó.
1.2 ESTATICA
Supongamos que se aplican las cargas (λ1, λ2, λ3 y λ4), consistentes con los desplazamientos
calculados. Esto quiere decir, que si en B se calculó el desplazamiento lateral debido a un giro E, en
la estructura isostática se pone una carga horizontal λ1 en la dirección de δ1 del desplazamiento
elegido. Lo mismo para los otros desplazamientos. En la figura 1.3 se muestra la convención de
signos adoptada para los esfuerzos y en la figura 1.4 los diagramas de momentos para estas fuerzas.
Como las fuerzas son consistentes con los desplazamientos, y como los desplazamientos fueron
provocados por un giro en la sección E, entonces se puede analizar la relación entre la fuerza, consistente con
el desplazamiento, con el momento en E, consistente con el giro en E.
Se encuentra que:
, nótese que se cumple q1i = ri1.
Los términos ri1 son las relaciones entre un giro aplicado en alguna sección y el desplazamiento δi que
produce en alguna sección. Se pueden interpretar como los desplazamientos en esos puntos debidos a giros
unitarios aplicados en la sección correspondiente.
Los términos q1i son los diagramas de momentos debido a fuerzas unitarias donde actúan las fuerzas
λi.
1.3 PRINCIPIO DE DUALIDAD ESTATICA-CINEMATICA
Si ∆θ se aplica en cualquier punto, entonces los ri1 son funciones.
, y se verifica que:
r11 = q11
r21 = q12
r31 = q13
r41 = q14
Los q1i son los diagramas de momentos producidos por las cargas unitarias consistentes con
los desplazamientos que se quiere calcular.
El cumplimiento de la igualdad ri1 = q1i da origen al denominado Principio de Dualidad
Estática-Cinemática. Estas relaciones se cumplen para cualquier punto de la estructura.
1.4 CALCULO DE DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
El desplazamiento lateral Δδi en i debido a un giro es entonces Δδi = ri1∆θ.
Si en lugar del giro se conoce la curvatura que existe en un elemento de largo Δs, entonces se
puede escribir:
, donde ψ es la curvatura en una sección dada.
Si la curvatura es una función distribuida sobre la estructura, el desplazamiento en i debido al
aporte de todas las secciones de la estructura es:
Si ψ proviene de esfuerzos, se requiere conocer la relación momento-curvatura para obtener
el momento en función de la curvatura. De la resistencia de materiales se tiene que:
ψ = f11M, donde f11 es la flexibilidad, y para un material elástico, lineal, homogéneo,
isotrópico y para pequeñas deformaciones, sabemos que:
Por lo tanto:
, donde q1i es el diagrama de momentos debido a una carga unitaria en i.
En general:
, donde M es el diagrama de momentos de la estructura debido a las cargas.
1.5 DEFORMACIONES DEBIDO AL CORTE
En el análisis de estructuras con barras esbeltas se suele considerar solamente el efecto de los
giros debido a la flexión para el cálculo de los desplazamientos. Si la sección transversal tiene una
altura del orden del largo de la barra, como en vigas altas o en muros, el efecto del corte en las
deformaciones debe considerarse. En estructuras enrejadas, es la deformación axial la que interesa.
Si la deformación impuesta en “E” es debido a corte, la estructura deforma como se muestra en la
figura 1.6.
En este caso las relaciones entre la distorsión de corte producida en la sección E y los
desplazamientos son:
El principio de dualidad estática-cinemática se sigue cumpliendo, basta con observar los
diagramas de corte a cargas unitarias donde actúan los λi consistentes con los Δδi de la figura 1.7.
Si ∆ω se aplica en cualquier punto, entonces los ri2 son funciones. Δδi = ri2∆ω.
Los q2i son los diagramas de corte producidos por las cargas unitarias consistentes con los
desplazamientos que se quiere calcular.
Los desplazamientos se pueden
escribir en función del ángulo γ que
representa el desplazamiento que
produce el corte.
Si γ proviene de los esfuerzos internos de corte, de la resistencia de materiales se tiene que: γ
= f22V, donde f22 para un material elástico, lineal, homogéneo, isotrópico y para pequeñas
deformaciones, vale:
, donde K es un factor de forma (K = 1,2 en sección rectangular,
Por lo tanto:
K
= 1,5 en sección circular).
, donde q2i es el diagrama de corte debido a una carga unitaria en i.
En general, tomando en cuenta corte y flexión, para un conjunto de puntos de análisis:
1.6 DEFORMACIONES DEBIDO AL ESFUERZO AXIAL
De manera análoga se pueden deducir las expresiones entre los desplazamientos en algún
punto de la estructura y un alargamiento impuesto a la estructura en alguna sección “E”
determinada.
Se pueden comprobar en los diagramas de fuerza axial de la figura 1.10 que el principio de
dualidad estática-cinemática se sigue cumpliendo.
Si Δu se aplica en cualquier punto, entonces los ri3 son funciones y ∆δi = ri3∆u.
Los q3i son los diagramas de fuerza axial producidos por las cargas unitarias consistentes con
el desplazamiento que se quiere calcular.
Si ε proviene de esfuerzos, entonces ε = f33N, donde para un material elástico, lineal,
homogéneo y para pequeñas deformaciones, tenemos que:
Y en general:
, donde q3i es el diagrama de fuerza axial debido a una carga unitaria en i.
1.7 DEFORMACIONES DEBIDO AL CORTE
En general, tomando en cuenta flexión, corte y axial:
Si en lugar de los esfuerzos internos se conocen las deformaciones unitarias, estos es:
curvatura, desangulación debida al corte y alargamiento unitario, entonces:
Agrupando las deformaciones unitarias en un vector ε y los esfuerzos internos en un vector x,
puede escribirse:
Las relaciones entre deformaciones unitarias y esfuerzos se pueden agrupar escribiéndolas
matricialmente como:
Por lo tanto:
Si las deformaciones ε por temperatura, retracción y además se aplica un Δub en puntos
discretos b, se tiene que:
En esta expresión, rb es la matriz r evaluada en cada punto b, y Δub es el vector que agrupa el
giro, la distorsión angular y el alargamiento aplicados en cada punto b.
1.8 ESTRUCTURAS CON RESORTES
Si en E se introduce un resorte al giro que tiene una relación giro-momento conocida (como
se muestra en la figura 1.11b), se puede tener la siguiente relación:
, donde f11 es un dato que se obtiene experimentalmente. Si existe un momento ME actuando
donde está el resorte en E, entonces la deformación debido al giro en el resorte es:
ME es el momento en E y se puede deber a fuerzas que actúan sobre la estructura. Si además
hay esfuerzos debido a fuerzas externas λ:
En general, pueden existir también resortes que permiten deslizamientos de corte y también
alargamientos.
En este caso, la expresión general queda como:
, donde f11E, f22E, f33E, son las flexibilidades de los resortes existentes en la sección E, a la
rotación, al deslizamiento y al alargamiento, respectivamente.
En general, en la realidad las estructuras se consideran apoyadas sobre resortes, pues no
existe ningún apoyo infinitamente rígido. Por ejemplo, un volado empotrado en la base,
generalmente está sobre una fundación que puede girar, y el giro que se produce depende del
momento que actúa en la base.
En los puentes, y en estructuras aisladas en la base, se usan elastómeros o apoyos de
materiales diversos, que tienen propiedades conocidas.
En estructuras isostáticas, obviamente la existencia de resortes en los apoyos no modifica los
esfuerzos internos, pero sí la deformada.