MARCO DOBLEMENTE EMPOTRADO Se tiene el siguiente marco doblemente empotrado, con las medidas y la configuración de cargas indicada en la siguiente figura: Como vemos, en el sistema hay 6 reacciones, y solamente tenemos 3 ecuaciones, por lo que el sistema es hiperestático de grado 3. Para resolver la estructura, utilizaremos la siguiente base, un marco empotrado en un solo lado (obviamente ud. puede escoger cualquier otra, como por ejemplo un marco simplemente apoyado): Por lo tanto, el problema a resolver es el siguiente: , donde: M, V, N: P1, P2, P3: F, 2F: Reacciones Biacciones Fuerzas Externas El problema se reduce ahora entonces, a superponer las deformaciones causadas por las fuerzas externas y las biacciones en el punto en donde liberamos vínculos, e imponer la condición dada por punto, que en este caso es un apoyo empotrado en la estructura real, por lo tanto las deformaciones en ambos ejes debe ser nula, así como el giro. Como sabemos, para calcular las deformaciones debemos obtener los diagramas de momento, axial y corte de la estructura sometida a las cargas. Lo que obtenemos son los siguientes diagramas: Producidos por las cargas externas: , donde: X01 = Diagrama de Momento X02 = Diagrama de Corte X03 = Diagrama de Fuerza Axial Producidos por las biacciones: , donde: h1j = Diagrama Unitario de Momento para la Biacción “j” h2j = Diagrama Unitario de Corte para la Biacción “j” h3j = Diagrama Unitario de Fuerza Axial para la Biacción “j” Cada uno de estos diagramas, para el caso de este marco, está definido por partes, por lo que al hacer las integrales para calcular las deformaciones, se deberá integrar por partes para obtener la integral sobre toda la estructura. Representan el diagrama que genera una carga (o momento) unitaria (o) puesta en la dirección de cada biacción. Ya que estamos trabajando en pequeñas deformaciones, bajo condiciones de comportamiento elástico y con materiales isotrópicos, se puede aplicar el teorema de proporcionalidad y superposición de las fuerzas y las deformaciones. Por esta razón, para obtener los verdaderos diagramas y deformaciones causados por las biacciones, simplemente podemos multiplicar lo obtenido con cargas unitarias por la magnitud de cada biacción (proporcionalidad), que son las incógnitas en este caso. Ya que tenemos los diagramas y sus respectivas ecuaciones (son todas lineales, se pueden calcular fácilmente del gráfico), ahora podemos calcular las deformaciones que produce cada una de las fuerzas y aplicar la compatibilidad. En esta instancia es importante destacar que para toda la estructura (columnas y vigas), se tiene la misma inercia I y el mismo módulo de elasticidad E, o sea, tenemos la misma sección y los mismos materiales para todo el marco (si no, debería considerarse en las partes de las integrales). Las deformaciones producidas por las cargas externas son (considerando solamente flexión, suponiendo que las columnas y las vigas son largas): Con lo cual obtenemos: , donde: v0i: desplazamiento (o giro) causada (o) en la dirección de la biacción “i” debido las cargas externas Para las deformaciones causadas por las biacciones tenemos (aplicamos el teorema de Betty, para ahorrar cálculos, que dice que gij = gji): Con lo cual obtenemos: , donde: gij: desplazamiento (o giro) causada (o) en la dirección de la biacción “i” debido una fuerza (o momento) unitaria (o) en la dirección de la biacción “j” Finalmente, y para encontrar los verdaderos valores de las biacciones (que en definitiva son las reacciones en el apoyo derecho, por como las hemos elegido), debemos definir las ecuaciones de compatibilidad. Estas se obtienen imponiendo las condiciones del punto en que liberamos los vínculos. Como en este caso había un apoyo empotrado, la deformación en ambas direcciones y el giro deben ser iguales a cero. Por lo tanto: Para la deformación horizontal, la deformación causada por las cargas externas más la deformación causada por las biacciones (superposición) debe sumar cero: v01 + P1*g11 + P2*g12 + P3*g13 = 0 Para la deformación vertical, la deformación causada por las cargas externas más la deformación causada por las biacciones (superposición) debe sumar cero: v02 + P1*g21 + P2*g22 + P3*g23 = 0 Para el giro punto donde liberamos el vínculo, el giro causado por las cargas externas más el giro causada por las biacciones (superposición) debe sumar cero: v03 + P1*g31 + P2*g32 + P3*g33 = 0 Esto lo podemos escribir en forma matricial: Resolviendo ese sistema lineal de ecuaciones, obtenemos que: Con estos resultados, y aplicando los teoremas de superposición debido a las características supuestas en el problema (isotropismo, pequeñas deformaciones, condiciones elásticas), podemos obtener los diagramas de momento, corte y fuerza axial. Para obtener resultados más razonables, supongamos algunos valores: F = 1[Tf] L = 20 [m] H = 8 [m] Con estos valores, tenemos que las biacciones valen: P1 = 1,14118 [Tf] P2 = -0,760417 [Tf] P3 = 2,22059 [Tf*m] Utilizando estos valores, obtenemos los diagramas de esfuerzos que realmente hay en la estructura superponiendo los diagramas independientes de las cargas externas y las biacciones: Diagramas de las cargas externas: Diagramas de las biacciones: Si superponemos todos los diagramas, obtenemos: