1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007

1er curso Licenciatura de FARMACIA. Año académico: 2006-2007
Asignatura: FÃ SICA APLICADA Y FÃ SICO-QUÃ MICA
GUÃ AS DE ESTUDIO
TEMA II. MECÃσNICA DE FLUIDOS
à NDICE
• SÃ LIDOS Y FLUIDOS
• Sólidos, lÃ−quidos y gases
• Fuerzas intermoleculares
• Temperatura
• Densidad
• PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
• Presión: concepto y unidades
• Compresibilidad
• Dilatación térmica
• ESTÃσTICA DE FLUIDOS
• Ley fundamental de la Hidrostática
• Principio de Pascal
• Principio de ArquÃ−medes
• DINÃσMICA DE FLUIDOS IDEALES
• Flujo
• Ecuación de continuidad
• Ecuación de Bernouilli.
• Aplicaciones
• DINÃσMICA DE FLUIDOS REALES
• Viscosidad
• Ecuación de Poiseuille
• Turbulencia. Número de Reynolds
• Movimiento de sólidos en fluidos
• CUESTIONES Y PROBLEMAS
Objetivos
• Distinguir entre sólidos y fluidos revisando los conceptos de temperatura y densidad.
• Estudiar los efectos de las presiones y cambios de temperatura en fluidos.
• Estudiar la variación de presión en el seno de fluidos en reposo. Describir dispositivos para la medida de
presiones.
• Introducir el concepto de flujo y estudiar la dinámica de los fluidos en ausencia de fuerzas de rozamiento.
• Introducir el concepto de viscosidad en los fluidos reales y destacar su importancia en la circulación de
fluidos en conducciones y en el movimiento de sólidos en el seno de fluidos.
• Aplicar a sistemas biológicos los conceptos fÃ−sicos de hidrostática e hidrodinámica.
1
Contenido de las clases
• Sólidos y fluidos.
• Propiedades de los fluidos
• y 4. Estática de fluidos.
• y 6. Clases de problemas
• y 8. Dinámica de fluidos ideales.
• y 10. Dinámica de fluidos reales.
• y 12. Clases de problemas
BibliografÃ−a
• FÃ−sica (4ª ed. Vol. 1. Cap.13 ) - P. Tipler - Reverté 1999
• FÃ−sica (Cap. 4,5,6 y 10)- M. Ortuño, - CrÃ−tica-Grijalbo 1996
• FÃ−sica (Cap. 8,13,14 y 15) - J. W. Kane y M. M. Sternheim - Reverté 1998
• SÃ LIDOS Y FLUIDOS
• Sólidos, lÃ−quidos y gases
Los cuerpos, atendiendo al estado de la materia que los constituye, se clasifican en sólidos, lÃ−quidos y
gases. Se distinguen macroscópicamente porque los sólidos tienden a mantener su volumen y su forma
definidos, los lÃ−quidos mantienen definido el volumen pero adoptan la forma del recipiente que los contiene
y los gases no mantienen ni el uno ni la otra expandiéndose todo lo posible hasta adquirir el volumen y la
forma del recipiente que los contiene.
A pesar de las diferencias, los lÃ−quidos y los gases se agrupan bajo el término fluidos por la
caracterÃ−stica común que tienen ambos de fluir por una conducción.
Estos comportamientos son consecuencia de su estructura interna: A escala microscópica, la materia es
discontinua, siendo las moléculas las unidades más pequeñas que diferencian unas substancias de las
otras. Las moléculas a su vez están constituidas por uno o varios átomos y éstos por una serie de
partÃ−culas comunes a todos los átomos que son los protones, neutrones y electrones.
• Fuerzas intermoleculares
Entre cada par de moléculas aparecen fuerzas de origen eléctrico (Van der Waals y enlace de
hidrógeno) cuya intensidad depende de la distancia intermolecular que, en último término, determina el
estado de la materia. Si la distancia es muy pequeña (â 0,3 nm), las fuerzas son muy intensas y los
cuerpos son sólidos. En los lÃ−quidos la distancia es algo mayor, las fuerzas no son tan intensas y las
moléculas pueden resbalar unas sobre las otras. En los gases la distancia es aún mayor (> 0,5 nm) y apenas
si hay interacción entre las distintas moléculas (figuras 1 y 2). Los sólidos junto con los lÃ−quidos
conforman lo que se denomina materia condensada, con una densidad de ⠼1028 moléculas/m3, mientras
que en los gases es de ⠼1025 moléculas/m3, lo que implica sólo una pequeña interacción molecular.
En la aproximación que corresponde a lo que se llama gas ideal se desprecia esta interacción.
Fig. 1. La distancia intermolecular determina el estado de la materia
FIG. 2. Las fuerzas intermoleculares y distancia entre moléculas
• Temperatura
2
Las moléculas no están en reposo sino que vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. La
temperatura es la magnitud que a nivel microscópico está relacionada con el grado de agitación molecular.
Cuando se calienta un cuerpo la energÃ−a cinética de las moléculas y su amplitud de vibración
aumentan.
La distancia intermolecular también aumenta con la temperatura de forma que calentando un cuerpo se
producen cambios de estado, de sólido a lÃ−quido y de lÃ−quido a gas. Precisamente la medida de la
temperatura con los termómetros convencionales de mercurio o alcohol está basada en la proporcionalidad
entre el volumen de un lÃ−quido y su temperatura. Para calibrar la escala de un termómetro se toman dos
temperaturas de referencia y se divide el intervalo entre ambas en un cierto número de divisiones iguales.
En el Sistema Internacional, la temperatura se mide en Kelvin (K) y en la práctica se utilizan también los
grados centÃ−grados o Celsius (ºC) que resultan de dividir el intervalo entre las temperaturas de
congelación (0ºC) y ebullición (100ºC) del agua en 100 partes iguales. La relación entre ambas
temperaturas es:
T (K) = T (ºC) + 273,15 (1)
• Densidad
Una de las magnitudes principales que se usa para caracterizar un material es la densidad de masa ρm definida
como su masa m por unidad de volumen V
(2)
En el Sistema Internacional de unidades esta densidad se mide en kg./m3. En la tabla 1 donde se indican las
densidades de masa de diversos materiales se puede observar que las densidades de los sólidos y los
lÃ−quidos son unas 103 veces mayores que las de los gases.
Esta densidad es una magnitud macroscópica que depende de la densidad molecular ρmolecular definida
como el número de moléculas N por unidad de volumen
(3)
Ambas se relacionan de la forma siguiente
(4)
En la segunda columna de la tabla 1 se incluye la densidad molecular.
Tabla 1. Densidades de masa y densidades moleculares tÃ−picas de los sólidos, lÃ−quidos y gases
ρm
Densidad molecular
(kg/m3)
(moléculas/m3)
Aluminio
2,7·103
6,0·1028
Agua
1,0·103
3,3·1028
Aire
1,3
2,7·1025
A veces se toma la densidad ρ0 de un material como referencia, el agua para los sólidos y lÃ−quidos y el
aire para los gases, y se utilizan valores relativos
(5)
3
que no tienen unidades.
Cuando el sistema se puede tratar como si tuviera una o dos dimensiones se utilizan la densidad lineal ïσ¬ o
superficial σ, respectivamente
; (6)
También usaremos en este curso el peso especÃ−fico, Pe, definido como el peso del cuerpo por unidad de
volumen. Se relaciona con la densidad como se muestra en la ecuación siguiente. El peso especÃ−fico
relativo es equivalente a la densidad relativa para la misma sustancia de referencia.
; (7)
Tabla 2. Resumen comparado de las caracterÃ−sticas de sólidos, lÃ−quidos y gases
Fuerzas
Intermolecular
Volumen
Forma
Densidad
Compresibilidad Concentración
~ Cte.
Sólidos rÃ−gidos + Fuertes
Fijo
Fija
Sólidos
elásticos
- Fuertes
Fijo
Variable
LÃ−quidos
Moderadas
Fijo
Indefinida
Gases
Débiles ó muy
Variable
débiles
áσ²á ¹
f(P,T)
~ Cte.
áσ² á ¹
f(P,T)
~ Cte.
áσ² á ¹
f(P,T)
Variable
Informe
â ¼Nula
â ¼1028
mole/m3
â ¼Nula
â ¼1028
mole/m3
Muy pequeña
â ¼1028
mole/m3
Grande
â ¼1025
mole/m3
áσ² = f(P,T)
• PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
• Presión: concepto y unidades
Los fluidos se caracterizan porque presentan una resistencia pequeña, a veces despreciable, a las tensiones
de corte (ver figura 3). En los lÃ−quidos esta pequeña resistencia al deslizamiento de unas capas sobre otras
se representa por la viscosidad que estudiaremos al final del tema. La resistencia a las deformaciones por
tracción y compresión, en cambio, es considerablemente mayor.
FIG. 3. La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo puede ser a) perpendicular [tracción y compresión] y b)
paralela [tensión de corte o cizalla] a la superficie sobre la que actúa.
Las tensiones en los fluidos, que como consecuencia de lo dicho en el párrafo previo corresponden a fuerzas
que actúan perpendicularmente a las superficies, se llaman presiones, p
(8)
y en el Sistema Internacional de unidades se miden en pascales (Pa = N/m2).
Tabla 3. Equivalencia entre unidades de presión
4
Unidad
S.I.:
1 Bar 1 Baria 1 milibar 1 mm Hg
Pascal
105
0,1
102
1,33 ·
102
1 Atm
1,013 · 105
Pa (N/m2)
Hay que señalar que la presión es una magnitud escalar. En la definición anterior, como la fuerza es un
vector, la superficie se representa por un vector perpendicular a dicha superficie y de módulo su valor en m2.
• Compresibilidad
En el interior de un lÃ−quido, cada porción está sometida a las fuerzas correspondientes a la presión del
lÃ−quido que le rodea (figura 4). Como consecuencia, se comprime disminuyendo su volumen. Se cumple
(9)
donde B se llama módulo de compresibilidad. El signo menos se debe a que un aumento de la presión
supone una disminución de volumen. Si un cuerpo sólido se sumerge en un fluido también está
sometido a fuerzas de este tipo que producen una disminución de su volumen. En la tabla 4 se indican los
módulos de compresibilidad de algunos materiales sólidos y lÃ−quidos.
Fig. 4. En el interior de un lÃ−quido cada porción está comprimida por las fuerzas ejercidas por el
lÃ−quido que le rodea. Lo mismo sucede cuando se introduce un sólido en un lÃ−quido
Tabla 4. Módulos de compresibilidad
B (1010 N/m2)
Acero
16
Aluminio
7,0
Agua
0,20
Los sólidos son muy poco compresibles y los lÃ−quidos lo son unas 10 veces más. Para los gases, sin
embargo, se encuentra experimentalmente
(10)
donde la constante de proporcionalidad depende del tipo de gas y de la rapidez con que se efectúa la
compresión. Como consecuencia un gas, por ejemplo el aire contenido en un neumático, se comprime
fácilmente al principio pero la compresibilidad disminuye a medida que aumenta la presión.
• Dilatación térmica
Las dimensiones de un cuerpo también dependen de la temperatura (apartado 1.3). En un cuerpo sólido la
variación de su tamaño con la temperatura es consecuencia de que las moléculas se separan o juntan
variando su distancia media y resultando a nivel macroscópico un alargamiento o un acortamiento de sus
dimensiones. En el caso lineal, la deformación relativa de la longitud del cuerpo es directamente
proporcional a la variación de su temperatura:
(11)
donde ïσ¡ es el coeficiente de dilatación lineal.
5
Si se considera el volumen del cuerpo, sea sólido o lÃ−quido, la ley se expresa por
(12)
donde ïσ¢ es el coeficiente de dilatación cúbica. El signo es positivo porque un aumento de temperatura
supone, en general, un aumento de volumen. El agua entre 0 y 4ºC es una excepción a esta regla ya que en
este intervalo el coeficiente de dilatación es negativo. Como consecuencia, su densidad es máxima a 4ºC
(1,00·103 kg/m3)
Para caracterizar los cuerpos sólidos se suele utilizar el coeficiente ïσ¡ mientras que si se trata de lÃ−quidos
se utiliza ïσ¢ (tabla 5)ïρ® Entre ambos se cumple la relación
(13)
Tabla 5. Coeficientes de dilatación térmica
Acero
Aluminio
Vidrio
ïσ¡ (10-6 K-1)
11
24
9
Agua (20ºC)
Alcohol
Mercurio
ïσ¢ (10-3 K-1)
0,21
1,1
0,18
Aparte del termómetro, otros instrumentos basados en la dilatación térmica son el microtomo y el
termostato. En el microtomo, aparato que proporciona cortes de tejidos muy delgados para la observación
con el microscopio, la muestra se monta en el extremo de una varilla metálica que mediante calor se dilata a
un ritmo constante y muy lento (puede llegar a ser del orden de 1Â ïσ−m/min). En el termostato se sueldan
longitudinalmente dos tiras metálicas de diferente coeficiente ïσ¡ïρ® Cuando se calienta, la diferente
dilatación hace que las tiras se doblen, lo que sirve para abrir o cerrar un circuito eléctrico.
• ESTÃσTICA DE FLUIDOS
• Ley fundamental de la Hidrostática
La presión en un punto de un lÃ−quido en reposo depende de su profundidad respecto a la superficie libre
del lÃ−quido. Cada porción de lÃ−quido soporta el peso de la columna de lÃ−quido que tiene encima (la
zona rayada en la figura 5). Si la presión en la superficie es p0, a una profundidad h se tiene
(14)
y en general, la diferencia de presión entre dos puntos cualquiera del seno de un lÃ−quido,
(15)
expresión que se conoce como ley fundamental de la Hidrostática.
Fig. 5. Variación de la presión con la profundidad.
La ecuación anterior es válida para lÃ−quidos ideales, es decir incompresibles, en los que la densidad no
varÃ−a con la presión y, por tanto, es la misma a cualquier profundidad. En los lÃ−quidos reales (Ïσ â
cte.) la expresión de la ley de la Hidrostática tiene en cuenta la variación de la densidad con la
profundidad, h, resultando
(16)
6
En los gases ideales a temperatura constante la ecuación es un poco más compleja pues la densidad se
relaciona con la presión a través de la ecuación de los gases perfectos tomando la forma
(17)
Aplicaciones prácticas de la Ley fundamental de la Hidrostática
Para medir la presión se puede utilizar el resultado de que la presión es proporcional a la profundidad. En el
manómetro de tubo abierto de la figura 6a, un extremo se encuentra a la presión que se quiere medir y el
otro a la presión atmosférica. En el aparato para medir la presión atmosférica llamado barómetro
(figura 6b) un extremo se encuentra a la presión atmosférica y el otro, que está cerrado y sometido al
vacÃ−o, a una presión igual a cero. En el primer caso,
(18)
siendo ph la presión manométrica. En el segundo caso,
(19)
Fig. 6. Esquemas de aparatos para medir la presión:
a) manómetro de tubo abierto,
b) barómetro
En ambos aparatos para que la altura de las columnas sea pequeña se utiliza mercurio cuya densidad
(13,6·103 kg/m3) es muy grande.
• Principio de Pascal
De la ley fundamental de la Hidrostática se deduce que la presión correspondiente a todos los puntos que se
encuentren al mismo nivel (altura o profundidad) en el seno de un fluido es la misma. La ecuación
fundamental aplicada a los puntos a, b, c de la figura 7 nos da
;; (20)
como están los tres a la misma profundidad, los segundos términos de cada una de las igualdades son
idénticos y resulta que las presiones en los tres puntos son iguales.
Una consecuencia práctica de lo anterior es que cuando sobre la superficie o cualquier otro punto de un
lÃ−quido incompresible se ejerce una cierta presión, ésta se transmite por igual a todos los puntos de su
masa lÃ−quida. Este postulado se conoce como el Principio de Pascal.
FIG.7. Principio de Pascal
Aplicaciones: Prensa Hidráulica
En la prensa hidráulica (figura 8) se utiliza la transmisión de las variaciones de presión en el seno de un
lÃ−quido para amplificar una fuerza relativamente pequeña. Consiste básicamente en dos cilindros de
secciones muy diferentes (S1 << S2) que comunican entre sÃ−; el conjunto está lleno de lÃ−quido. La
fuerza F1 que se ejerce sobre el émbolo 1 se convierte en la fuerza F2 sobre el émbolo 2. Por el Pº de
Pascal: P1 = P2 â â
7
FIG.8. Prensa hidráulica
• Principio de ArquÃ−medes
Cuando un cuerpo sólido se sumerge en un lÃ−quido la presión en la parte inferior es algo mayor que la de
la parte superior que está a menor profundidad por lo que resulta una fuerza neta vertical y hacia arriba que
se llama empuje. Considerando la figura 9 se tiene
(21)
donde mlÃ−quido es la masa de lÃ−quido que desaloja el cuerpo sólido. Este resultado se conoce como
principio de ArquÃ−medes: un cuerpo sólido sumergido, total o parcialmente, en un lÃ−quido experimenta
un empuje vertical ascendente igual al peso del volumen de lÃ−quido que desaloja.
Fig. 9. Principio de ArquÃ−medes
Las consideraciones anteriores se aplican también a los gases aunque al ser sus densidades 103 veces
menores que las de los lÃ−quidos se necesitan columnas de gas 103 veces mayores para producir los mismos
efectos. La presión atmosférica es la correspondiente al aire que rodea la Tierra. Obviamente, la presión
atmosférica disminuye con la altura respecto al nivel del mar donde a 0ºC es pat =1,01·105 Pa. Los
valores de los empujes que experimentan los cuerpos sólidos en los gases son también unas 103 veces
menores que en los lÃ−quidos.
Flotabilidad
El Pº de ArquÃ−medes permite determinar la flotabilidad de cuerpos en fluidos. Para ello se compara el
peso del cuerpo con el empuje que experimenta cuando se sumerge en el fluido. AsÃ−, encontramos tres
situaciones posibles:
Ahora bien, sólo el volumen sumergido contribuye al empuje, de manera que si un cuerpo flota, el peso de
todo el cuerpo estará compensado (será igual) al empuje correspondiente al volumen de la parte del cuerpo
sumergido, esto es al volumen desalojado por el cuerpo. Entonces podemos escribir
Empuje = Peso fluido desalojado por el cuerpo = m fluido d. c. · g = áσ² fluido ·V fluido d. c. · g
Peso cuerpo = m cuerpo · g = áσ²cuerpo · Vcuerpo · g
(22)
En el caso particular en que todo el cuerpo esté sumergido, Vcuerpo = V fluido desalojado , entonces
(23)
y en ese caso:
a) Si áσ²fluido > áσ²cuerpo á
flota
b) Si áσ²fluido = áσ²cuerpo á
en equilibrio
c) Si áσ²fluido < áσ²cuerpo á
se hunde
8
• DINÃσMICA DE FLUIDOS IDEALES
• Flujo
Para cuantificar la cantidad de fluido que circula por un conducto se define la magnitud fÃ−sica llamada flujo
de masa, Im, como la masa que circula a través de una sección transversal del tubo por unidad de tiempo
(24)
que se mide en kg/s
Cuando la densidad del fluido permanece constante, se suele utilizar el flujo de volumen o caudal IV ó Q
(25)
que se mide en m3/s. El caudal se puede expresar en función de la velocidad con que se desplaza el
lÃ−quido por el conducto. Con ayuda de la figura 10 se deduce que el volumen del lÃ−quido de densidad
constante que atraviesa una sección del conducto en la unidad de tiempo es igual al producto del área de la
sección S por la velocidad v
(26)
Fig. 10. El volumen de lÃ−quido incompresible que circula por unidad de tiempo por una conducción es
igual al producto del área del conducto por la velocidad del lÃ−quido.
• Ecuación de continuidad
Suponemos que el fluido se mueve en régimen estacionario lo que significa que la velocidad del fluido en
cada punto de la conducción no varÃ−a con el tiempo (aunque puede ser distinta en distintos puntos).
La ley fÃ−sica de conservación de la masa exige en régimen estacionario que el flujo de masa sea el
mismo en toda la conducción y si la densidad permanece constante, lo que se cumple muy bien en los
lÃ−quidos, que el caudal también permanezca constante. Considerando la figura 11 y la ecuación 26, se
escribe
(27)
Fig. 11. La conservación de la masa de fluido determina que el producto de la sección de la tuberÃ−a por la
velocidad se mantenga constante
Esta ley de conservación expresada de esta manera se llama ecuación de continuidad. Consecuencia de la
ley es que si la conducción se bifurca en dos como se muestra en la figura 12 el caudal de entrada es la suma
de los caudales de salida
(28)
Fig. 12. En una bifurcación el caudal de entrada es la suma de los caudales de salida
• Ecuación de Bernouilli
La segunda ley fÃ−sica que determina el movimiento de un fluido por una conducción es la de la
conservación de la energÃ−a.
9
En la figura 13a se muestra una porción de fluido limitada por las secciones (1) y (2). Sobre estas secciones
actúan las fuerzas F1 y F2 (F1>F2) que representan los efectos del resto del fluido. Transcurrido un corto
intervalo de tiempo esta porción de fluido pasa a estar limitada por las secciones (1´) y (2´) como se
muestra en la figura 13b. El análisis se realiza considerando que lo que ha ocurrido desde el punto de vista
energético es equivalente a que la porción de fluido comprendida entre las secciones (1) y (1´) se ha
trasladado hasta ocupar la porción de tuberÃ−a comprendida entre las secciones (2) y (2´).
Fig. 13. El movimiento de la porción de fluido comprendido entre las secciones (1) y (2) de la figura a) hasta
situarse entre las secciones (1') y (2´) de la figura b) equivale a trasladar la porción comprendida entre (1) y
(1') a la posición comprendida entre (2) y (2')
Si el fluido no presenta ninguna resistencia a las tensiones de corte, es decir, si se desprecia el rozamiento
entre las moléculas al moverse por la tuberÃ−a, el trabajo de las fuerzas que impulsan una porción de
lÃ−quido a través de la conducción,
(29)
es igual a la suma de las variaciones de energÃ−a cinética y potencial gravitatoria de este trozo de fluido.
(30)
(31)
Por tanto:
(32)
ó, reordenando los términos:
(33)
Es decir, en el movimiento de un fluido incompresible y sin rozamiento a través de una conducción, la
suma de la presión hidrostática y la debida a la velocidad (presión cinética) es constante en todos los
puntos de la corriente fluida. Esta ley de conservación expresada de esta manera (ec. 33) se llama Ecuación
o Teorema de Bernoulli.
• Aplicaciones
A) La ecuación fundamental de la Hidrostática (ec. 15) es el Tª de Bernouilli (ec. 33) cuando v = 0 ó v =
cte. (lÃ−quido en reposo o que se mueve con velocidad constante)
(34)
B) Si se puede despreciar la variación de energÃ−a potencial (movimiento horizontal) la ecuación de
Bernouilli se convierte en
(35)
En términos prácticos, cuando un lÃ−quido (o un gas) aumenta su velocidad sin variar de nivel, su
presión disminuye. Es el conocido Efecto Venturi en que se basan multitud de dispositivos. Por ejemplo, el
pulverizador (figura 14a) y la trompa de vacÃ−o (figura 14b).
10
Fig. 14. a) Pulverizador y b) trompa de vacÃ−o
C) VenturÃ−metro o tubo de Venturi. Es un dispositivo que permite medir velocidades de fluidos que circulan
por conductos horizontales. Se basa en intercalar un pequeño tramo angosto en la conducción. En el
ejemplo de la figura 15, se muestra un venturÃ−metro para determinar velocidades de lÃ−quidos. En él
observamos adosados dos tubos verticales, sección normal y estrechamiento, que funcionan como
manómetros y señalan la presión estática en los puntos 1 y 2.
FIG. 15. VenturÃ−metro para la determinación de velocidades de lÃ−quidos
Aplicando el Tª de Bernouilli entre los puntos 1 y 2 se obtiene ;
como también se cumple la ecuación de continuidad, , se puede escribir que
(36)
lo que permite calcular la velocidad en el punto 1 conociendo las secciones de la conducción y la diferencia
de presión estática en los puntos 1 y 2. à sta última se obtiene de la lectura de la diferencia de alturas
entre los dos tubos verticales:
D) Fórmula de Torricelli
Para calcular la velocidad de salida de un lÃ−quido por un orificio practicado en la pared del recipiente que lo
contiene, consideremos la figura 16. Podemos ahora aplicar el Tª de Bernouilli entre un punto de la
superficie, A, y el orificio de salida, B. Tendremos en cuenta que en ambos puntos actúa la Patm y que, si el
recipiente es suficientemente ancho con respecto al orificio de salida, la velocidad de las partÃ−culas
lÃ−quidas en la superficie es prácticamente nula: SA>> SB ; SA· vA = SB· vB ; vA = (SB/SA) vB â 0
FIG 16.Teorema de Torricelli
Llamando h a la diferencia de alturas entre los puntos A y B y vB a la velocidad de salida del lÃ−quido por el
orificio B, el Tª de Bernouilli puede escribirse como
(37)
con lo que
(38)
es decir, el lÃ−quido sale con una velocidad que es igual a la que tendrÃ−a un cuerpo que cayese libremente
desde la altura h. Este es el Tª de Torricelli.
• DINÃσMICA DE FLUIDOS REALES
• Viscosidad
En el movimiento de un fluido real, siempre se produce un pequeño rozamiento entre las distintas capas de
fluido y especialmente entre éstas y las paredes de la conducción. Las pérdidas por rozamiento se
traducen en una pérdida de presión a lo largo de una tuberÃ−a (horizontal) como se muestra en la figura
17.
Fig. 17. El movimiento del lÃ−quido produce una pérdida de presión, constante si el fluido es ideal y que
aumenta linealmente a lo largo de la tuberÃ−a si el fluido es real.
11
En el llamado régimen laminar (velocidades bajas) las capas de fluido se deslizan unas sobre las otras sin
entremezclarse. Para hacer cálculos se supone que las moléculas próximas a las paredes permanecen en
reposo y la velocidad es máxima en el centro de la tuberÃ−a (figura 18). La velocidad media que se
calcula para un fluido que circula por una tuberÃ−a cilÃ−ndrica de radio R y longitud L es
(39)
donde ïσ p representa la diferencia de presión en los extremos de la tuberÃ−a y ïσ¨ es un coeficiente
caracterÃ−stico del fluido llamado viscosidad. La unidad en el S.I. es el Pa·s (Decapoise) (1poise = dina/s2).
La viscosidad del agua, que se toma muchas veces como referencia, es
ηagua = 1 centipoise = 10-3 Pa·s
Fig. 18. Como consecuencia del rozamiento entre las moléculas cada capa cilÃ−ndrica de fluido avanza
con distinta velocidad
• Ecuación de Poiseuille
La magnitud de interés es el caudal. Puede deducirse que para un fluido en régimen de circulación
laminar viscoso (figura 15), el caudal total se puede calcular como
(40)
Esta fórmula llamada Ley de Poiseuille es similar a la ley de Ohm correspondiente a la circulación de
cargas por un conductor eléctrico. La diferencia de presión y la viscosidad juegan aquÃ− un papel similar
al de la diferencia de potencial y resistividad, respectivamente, en electricidad (Î V=I·R â Î p = Q·Rh ).
La resistencia hidrodinámica puede expresarse como
(41)
En la tabla 6 se agrupan las viscosidades de algunos fluidos. La viscosidad de los lÃ−quidos disminuye con la
temperatura ya que al separarse las moléculas su interacción es menor. En cambio, la de los gases
aumenta. Esta dependencia es considerable por lo que es necesario especificar la temperatura a la que se ha
medido la viscosidad. En el laboratorio la viscosidad relativa se mide con un aparato llamado viscosÃ−metro
a partir del tiempo que tarda en atravesar un capilar un mismo volumen de un lÃ−quido problema y de agua
que se toma como referencia.
Tabla 6. Viscosidades de algunos fluidos
T (ºC)
0
Agua
20
60
Sangre
37
Glicerina
20
Aire
20
• Turbulencia
ïσ¨ (mPa·s)
1,79
1,00
0,47
2,08
1410
0,0181
Si se aumenta la diferencia de presión en los extremos de la conducción la velocidad del fluido aumenta.
Por encima de un cierto valor las capas del fluido se entremezclan formándose remolinos (régimen
turbulento), las pérdidas de energÃ−a aumentan y el caudal es menor que el predicho por la ley de
12
Poiseuille (figura 19)
Fig. 19. Cuando el régimen es turbulento el caudal es menor que el predicho por la ley de Poiseuille
Existe una magnitud adimensional denominada Número de Reynolds, Re, que sirve para caracterizar el tipo
de flujo. Su expresión matemática es:
(42)
donde D es el diámetro de la conducción. Una vez calculado el número de Reynolds se compara con un
valor crÃ−tico empÃ−rico (2400) para determinar el régimen de circulación, según se muestra en la
tabla 7.
Tabla 7. Número de Reynolds y tipo de flujo
Re < 2400
Régimen laminar
Re > 2400
Régimen turbulento
• Movimiento de sólidos en fluidos
El movimiento de sólidos en fluidos es, en general, complicado. Sin embargo, cuando el régimen del
fluido es laminar se obtiene que la fuerza de rozamiento (resistencia al avance del sólido en el fluido) es
proporcional a la velocidad relativa del sólido en el fluido. Para una esfera de radio R se cumple la ley de
Stokes
(43)
Para una esfera que cae en el campo gravitatorio esta fuerza de rozamiento más el empuje igualan pronto su
peso cuando éste es pequeño y desde ese instante el cuerpo cae con una velocidad constante llamada
velocidad lÃ−mite. La caÃ−da de las gotas de lluvia y la de las pequeñas partÃ−culas en una disolución
(precipitación) se comportan de esta manera. En el laboratorio determinamos la viscosidad de un lÃ−quido a
partir de la medida de la velocidad lÃ−mite de caÃ−da de una bolita en dicho lÃ−quido.
6. CUESTIONES Y PROBLEMAS
1. Una pieza de cobre cuya masa es 84,3 g se introduce en una probeta que marca 60 mL de agua. La nueva
lectura es 69 mL. a) Calcular la densidad del cobre y comprobar que el cuerpo se hunde. b) Calcular el error
cometido al determinar la densidad.
Sol: 9 g/cm3
2. Suponiendo que el aire contiene el 20% de oxÃ−geno y el 80% de nitrógeno y que ambos tienen
moléculas con dos átomos cada una, calcula en condiciones normales de presión y temperatura a) la
densidad del aire, b) la masa de una molécula de aire y c) el número de moléculas en un litro de aire.
OxÃ−geno
Nitrógeno
Densidad (kg/m3)
1,43
1,25
Masa atómica (uma)*
16,0
14,0
Datos del oxÃ−geno y nitrógeno en condiciones normales:
13
* 1 uma = 1,66·10â
27 kg
Sol: a) 1,29 kg/m3, b) 4,8·10â
26 kg, c) 2,7·1022 moléculas
3. A profundidades oceánicas de unos 10 km, la presión se eleva, aproximadamente a 108 Pa. a) Calcula la
variación relativa de densidad de un trozo de acero hundido a esa profundidad. b) ¿Cuál es la densidad
del agua del mar a esa profundidad si en la superficie es 1,04 g/cm3? Datos: los módulos de compresibilidad
del acero y del agua son 16·1010 y 0,20·1010 Pa, respectivamente.
Sol: a) 0,06 % b) 1,1 g/cm3
4. Un bloque de un material desconocido pesa 5,00 N en el aire y 4,55 N si está sumergido en el agua.
Calcula su densidad.
Sol: 11,1 g/cm3
5. Estima la corrección que es necesario hacer al pesar con una balanza un bloque de madera de 20 g a causa
del empuje del aire. Supón que las pesas son de latón de densidad 8,7 g/cm3, que la densidad de la madera
es de 0,40 g/cm3 y la del aire 1,3·10−−â 3 g/cm3. Sol: Î m = 0,06 g.
6. Dos lÃ−quidos no miscibles, aceite y agua, se vierten en un tubo en forma de U como se indica en la figura.
Calcula la densidad del aceite si el nivel del agua está por debajo del nivel del aceite de forma que h1 = 24
cm y h2 = 19 cm. Sol: 0,79·103 kg/m3
7. Una corriente de agua con un caudal de 2,8 L/s fluye a través de una tuberÃ−a de sección circular de
2,0 cm de diámetro. a) ¿Cuál es la velocidad de la corriente de agua?. Si la tuberÃ−a se estrecha hasta
que su diámetro se reduce a la mitad, b) ¿cuánto ha variado su velocidad?
Sol: a) 8,9 m/s, b) se ha hecho 4 veces mayor
8. Por una tuberÃ−a inclinada 30º respecto a la horizontal circula agua en sentido ascendente. La tuberÃ−a
presenta dos secciones de doble diámetr4o la primera que la segunda. Calcular la variación de la velocidad
del agua al pasar de la primera a la segunda sección si un manómetro señala una diferencia de presión de
10 cm de Hg entre dos puntos situados 1m antes y después del estrechamiento.
Sol: 11,8 m/s
9. a) Obtener las dimensiones de la viscosidad. b) Comprobar que el número de Reynolds es adimensional.
Sol: a) Lâ
1 M Tâ
1
10. La sangre tarda aproximadamente 1 s en fluir por un capilar del sistema circulatorio humano de 1 mm de
longitud. Si el diámetro del capilar es de 7 ïσ−m y la caÃ−da de presión 2,6 kPa, estima la viscosidad de la
sangre.
Sol: 4·10â
3 Pa·s
11. Los pulmones pueden ejercer una presión negativa máxima de 80 mmHg cuando absorben. ¿Desde
qué altura, por encima de la superficie de un lÃ−quido, puede absorberse éste con una caña?
Sol: h = 1,045â
104/Ïσ m.
14
12. Una aorta posee un radio de 0,9 cm y la velocidad media de la sangre que la atraviesa es de 0,23 m/s.
Después, la sangre se distribuye por 100 arteriolas similares de 3 mm de radio. Calcular: a) el caudal total;
b) la velocidad de la sangre en las arteriolas; c) la diferencia de presión debida al término cinético entre
la aorta y las arteriolas. Sol: a) 5,85â 10-5 m3/s; b) 0,02 m/s; c) 26,3 Pa.
• Un anemómetro como el de la figura muestra una diferencia de altura entre el lÃ−quido de los conductos
de 1,5 cm. El fluido que lo atraviesa es un plasma con una densidad de 1,03 kg/L. El radio de la parte ancha
es de 1 cm y el de la parte estrecha de 0,4 cm. ¿Cuál es la velocidad del plasma? Sol: v−−2 = 0,6 m/s; v1
= 0,1 m/s.
• Una plataforma flotante de área A, espesor h y masa 600 kg flota en agua tranquila con una inmersión de
7 cm. Cuando una persona sube a la plataforma, la inmersión es de 8,4 cm. ¿Cuál es la masa de esta
persona?
Sol.: 120 kg.
• Una fuente diseñada para lanzar una columna vertical de agua de 12 m de altura sobre el nivel del suelo,
tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del
nivel del suelo. La tuberÃ−a que conecta la bomba a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la
presión que debe suministrar la bomba.
Sol.: 241 kPa.
• Suponiendo que la presión sanguÃ−nea del corazón es ~100 mmHg, a) ¿cuál será la presión en el
cerebro de una persona si la distancia de la cabeza al corazón es de unos 50 cm? b) ¿Cuál será la
presión en los pies si la distancia al corazón es de aproximadamente 100 cm? c) La altura del corazón a
la cabeza de las jirafas es de 340 cm, ¿cuál será la presión media del corazón en las jirafas para
bombear sangre hasta esa altura?
Sol.: a) 8184 Pa b) 23619 Pa c) 7â
104 Pa.
• De un depósito muy grande A sale agua continuamente a través de otro depósito menor B el cual, a su
vez, desagua por un orificio lateral, C.
El nivel del agua en A se supone cte. y a una altura H = 12 m; la altura del orificio C de h = 1,2 m. Las
secciones del orificio C y del depósito B son respectivamente 225 cm2 y 450 cm2.
Calcular:
• la velocidad del agua y la presión absoluta en el depósito B.
• El caudal que circula en L/s.
Sol.: a) 7,25 m/s. b) 326,3 L/s.
• Se tiene un vaso sanguÃ−neo de radio R1 que se ramifica en n vasos iguales de radio R2. Calcular el valor
de R2 en función de R1 y n para que la caÃ−da de presión por unidad de longitud antes y después de
la ramificación (en cualquiera de los n vasos ) sea la misma.
Sol.:
• Una esferita de acero de r = 3 mm parte del reposo y cae en un depósito de glicerina. ¿Cuál es la
velocidad lÃ−mite de la esferita en ese lÃ−quido? Datos: ρacero = 8 â 103 kg/m3; ρglicerina = 1300
kg/m3; ïσ¨glicerina = 830 cp. Sol.: 0,16 m/s.
15
• Sobre un tubo capilar de 10 cm de largo y 0,6 mm de diámetro interno se aplica una diferencia de
presión de 75 mm Hg para mover agua en su interior. a) ¿Qué volumen de agua saldrá del tubo en
20 s? b) Comprobar que el régimen de movimiento es laminar. Sol.: 8â 10-6 m3; Re = 1048 < 2400.
Departamento de FÃ−sica y ATC
DIVISIÃ N DE FÃ SICA APLICADA
1
Versión 20/07/2011
8
FAFQ. Tema II. Mecánica de Fluidos
División de FÃ−sica Aplicada
Versión 20/07/2011
Hundimiento
Empuje < Pesocuerpo
Equilibrio
Empuje = Pesocuerpo
c
h
a
h
2
F
1
F
b)
a)
at
p
16
0
p=
p
0
p
b
h
at
p
x
p
h
Q
1
Q3
2
Q
v3
v2
v1
R
L
p
1
p
2
17
v
max
v
min
=0
v
media
=
v
max
/2
Q
1·
ïσ
p
Régimen turbulento
Régimen laminar
·
2
·
2
h
S
S2
S1
F2
18
1
2
F1
lÃ−quido
Flotabilidad
Empuje > Pesocuerpo
B
Patm
SA
h
A
SB
Patm
0
C
A
B
19