funciones lineles y cudraticas

FUNCIONES LINEÁLES Y
CUÁDRATICAS
Y SU REPRESENTACIÓN EN EL
PLANO CARTESIANO
FUNCIÓN
EN MATEMÁTICA, UNA FUNCIÓN
(F) ES UNA RELACIÓN ENTRE UN
CONJUNTO
DADO X (LLAMADO DOMINIO) Y
OTRO CONJUNTO DE ELEMENTOS Y
LLAMADO
COTRADOMINIO) DE
FORMA
QUE
A
CADA
ELEMENTO
X
DEL
DOMINIO
LE
CORRESPONDE
UN
ÚNICO
ELEMENTO F(X) DEL CODOMINIO
(LOS
QUE
FORMAN
EL
RECORRIDO,
TAMBIÉN
LLAMADO RANGO O ÁMBITO).
RELACIÓN
SE ESTABLECE CUANDO DOS O
MÁS VARIABLES SIGUEN UNA
REGLA DE CORRESPONDENCIA O
ASOCIACIÓN. EN ELLA A CADA
ELEMENTO DEL DOMINIO SE LE
PUEDE ASIGNAR
UNO O MÁS
ELEMENTOS
DEL
CONTRADOMINIO.
“TODAS LAS FUNCIONES SON
RELACIONES…PERO NO TODAS
LAS RELACIONES SON FUNCIONES”
En una función los elementos del dominio no se pueden relacionar con más de un elemento del
contradominio, en una relación sí. Sin embargo en una función los elementos del contradomino
pueden tener correspondencia con más de un elemento del dominio.
PARTES DE UNA FUNCIÓN

DOMINIO: Es un conjunto de elementos (A). Son los valores que
puede tomar el termino independiente.

ARGUMENTOS: Son los elementos del dominio.

CONTRADOMINIO/CODOMINIO: Es un segundo conjunto de
elementos (B), que dependen del Dominio.

IMÁGENES: Son los elementos del codominio que están asociados
con algún argumento.

RANGO: Es el conjunto del codominio que contiene a todas las
imágenes de la función. Puede coincidir con el codominio.

REGLA DE CORRESPONDENCIA: Es la función que satisface la
relación de los dos conjuntos.
DESARROLLANDO FUNCIONES
fórmula de una función: y= f(x)

Dominio: x
Contradominio: y

Dominio= {-∞ - +∞}

Así que le daremos valores a X para encontrar
y.
•
Para el Dominio { 1,2,3,4,5 } que atiende la regla f(x)= 2x+3
Determina el codominio y rango
•
Para el dominio { 1, √3 , 4, √9, 16} que atiende a la regla f(x)=
x²+ 1 Determina el contradominio y el Rango.
•
Señala cuál es la regla de correspondencia, el dominio y el
rango de la siguiente relación. R= { (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) }
• Establece la regla de correspondencia para para la siguiente
función
CLASIFICACIÓN DE
FUNCIONES
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales,
cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica
es un polinomio de primer grado.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó
y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la
recta y b es el intercepto con el eje Y. Ambas son constantes.
ESTA ES LA GRÁFICA DE
LA FUNCIÓN LINEAL Y = 3X + 2
VEMOS QUE
M= 3 Y B = 2
(DE LA FORMA Y = MX + B)
ESTE NÚMERO M SE LLAMA
PENDIENTE DE LA RECTA Y ES
LA RELACIÓN ENTRE LA ALTURA
Y LA BASE, AQUÍ VEMOS QUE
POR CADA UNIDAD RECORRIDA
EN X LA RECTA SUBE 3 UNIDADES
EN Y POR LO QUE LA PENDIENTE
ES M = 3. B ES EL INTERCEPTO
DE LA RECTA CON EL EJE Y
(DONDE LA RECTA SE CRUZA
CON EL EJE Y)
Si el valor de la pendiente es
positivo
la
función
es
Creciente.
Si el valor de la pendiente
es negativo la función es
decreciente.
DETERMINA LA EXPRESIÓN DE LAS FUNCIONES CUYA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA ES LA SIGUIENTE.
FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí
puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

En la ecuación de segundo grado o cuadrática si tiene todos los términos se dice que es
un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice
que la ecuación es incompleta.
La representación gráfica de
una función cuadrática, es una curva
llamada parábola.
DICHA PARÁBOLA
CARACTERÍSTICAS O
ELEMENTOS:

ORIENTACIÓN O
CONCAVIDAD (RAMAS O
BRAZOS)

PUNTOS DE CORTE CON EL
EJE DE ABSCISAS (RAÍCES)

PUNTO DE CORTE CON EL
EJE DE ORDENADAS

EJE DE SIMETRÍA

VÉRTICE
Orientación o concavidad
La parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba
Una parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2).

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o
con puntas hacia arriba, como en
f(x) = 2x2 − 3x − 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o
con puntas hacia abajo, como en
f(x) = −3x2 + 2x + 3
cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones)
(eje de las X)
Los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de
x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo
mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer
grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones,
entonces, para resolverla usamos la fórmula
PROBLEMAS ALGEBRAICOS DE:

ECUACIONES LINEALES
f(x)= mx+b


ECUACIONES CUADRÁTICAS
f(x)= ax² + bx + c
En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto
vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado
Juan?, ¿cuántas ha fallado?
Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.
En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a
las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las
incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:
El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20
La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8
De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ;
sustituyendo en la primera:
2y + 8 + y = 20 ⇒ 3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ;
sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .
Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del
problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado
16 preguntas y ha fallado 4.
1. El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros
de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
*Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.
2. Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2?
*Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5. Según las condiciones: x+y =33.
3. Carmen tiene 16 años y sus dos hermanos pequeños tienen 2 y 3 años. ¿Cuántos años han de
pasar para que el doble de la suma de las edades de los hermanos de Carmen sea la misma que
la que tiene ella?
*Resuelve y grafica las siguientes expresiones lineales
* 2(2x-3)= 6+x
* 3x+2-(4x-1-9x)= 6x-1
* 2x+2+3x+5=3+2
* 4(x-10)= -6(2-x) .6x
Ecuaciones cuadráticas (de segundo grado)
POR MEDIO DE LA RAÍZ CUADRADA
POR MEDIO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA
1.El triple del cuadrado de un número aumentado en su duplo es 85.
¿Cuál es el número?
2. El área de un cuadrado de lado (4x-1) es 49. Determina el
perímetro del cuadrado.