Variable aleatoria

Variable aleatoria
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio
muestral E de un experimento aleatorio un número real.
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.
Ejemplos: Las preguntas acertadas en un test, la puntuación obtenida al lanzar un dado.
Variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores
posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Ejemplos: el tiempo empleado por un vehículo en hacer un recorrido,la altura de los
alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.
Distribuciones discretas de probabilidad
Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación
que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi.
0 ≤ pi ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ pi = 1
Ejemplo: Calcular la distribución de probabilidad de la variable aleatoria
‘puntuaciones obtenidas al lanzar un dado’.
Valor x
Prob p
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
Representación: La representación de una distribución discreta de probabilidad es
un diagrama de barras.
Función de distribución de probabilidad de una
variable aleatoria.
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a
mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la
función
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la
probabilidad acumulada hasta ese valor.
Ejemplo:alcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones
obtenidas al lanzar un dado.
Valor x
<1
1≤ x < 2
2≤ x < 3
Prob p
0
1/6
2/6
3≤ x <
4
3/6
4≤ x < 5
6≤ x < 6
6≤ x
4/6
5/6
1
Representación
La representación de un función de distribución de probabilidad es una gráfica
escalonada.
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Esperanza matemática o media
Desviación típica
Ejemplo
Calcular la esperanza matemática, la varianza, y la desviación típica, de la
distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
x
pi
x 2 ·pi
x· p i
1
2
3
4
5
6
1
6
Ejemplo
Sea la v.a discreta teórica que tiene como función de probabilidad la siguiente tabla:
X=xi
-1
0
1
2
f(xi)=P(xi)
0,1
0,3
0,2
0,4
Para calcular su función de distribución F(xi) =P(X≤ xi) :
0
0,1


F ( x)  0,4
0,6


1
xi
f(xi)=Pi
Xi. f(xi)
Xi2 . f(xi)
-1
0,1
-0,1
0,1
0
0,3
0
0
1
0,2
0,2
0,2
2
0,4
0,8
1,6
1
0,9
1,9
si
x  1
∑
si
1  x  0
si
0  x 1
si
1 x  2
Estos parámetros se pueden
calcular más fácilmente organizando
los datos en forma de tabla
si
x2
n
E ( X )     xi . f ( xi )  (1).0,1  0.0,3  1.0,2  2.0,4  0,9
i 1
V [ X ]   2   xi f ( xi )   2  (1)2 .0,1  02.0,3  12.0,2  220,4  (0,9)2  1,9  0,81  1,09
2
  1,09  1,04
ACTIVIDAD.
En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0 y 5
bolas con el número -1. Extraemos dos bolas al azar con reemplazamiento y hallamos su
producto. Considera la variable aleatoria X = ‘resultado del producto’
a)
b)
c)
d)
¿Es discreta o continua?
Calcula su función de probabilidad.
Calcula su función de distribución.
Determina la esperanza matemática y la desviación típica.
Distribución binomial o de Bernoulli
Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito)
y su contrario
.
2.La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a
otra. Se representa por p.
3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
Variable aleatoria binomial
Para un experimento que sigue el modelo binomial se define la variable aleatoria X que
expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento. A esa variable
se la denomina variable aleatoria binomial.
La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar
los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Ejemplo:Lanzamos una moneda 10 veces. El experimento se ajusta al modelo
binomial. La variable aleatoria “número de caras” es una variable aleaoria binomial que
puede tomar los valores 0,1,2,3,4,….,10.
Distribución binomial
Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por B(n, p),
donde n es el número de pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad
del suceso A (éxito).La probabilidad de
es 1− p, y la representamos por q.
Función de probabilidad de una variable aleatoria
binomial
La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada
función de la distribución de Bernoulli, es:
n es el número de pruebas. k es el número de éxitos.
q es la probabilidad de fracaso.
p es la probabilidad de éxito.
Ejemplo:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n=4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.2)
2.¿Y al menos 2?
Media y varianza de la distribución binomial
Media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo :La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso
es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el
número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
Ejemplo 4:Supongamos el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de
cuatro monedas trucadas con triple de probabilidad de obtener cara que cruz.
Consideramos el suceso A= {obtener cara} con el siguiente espacio muestral.
1ª moneda 2ª moneda
3ª moneda
4ªmoneda
Resultado
nª caras
C
CCCC
4c
x
c
cccx
ccxc
3c
3c
x
ccxx
2c
c
cxcc
3c
x
cxcx
2c
c
cxxc
2c
x
c
cxxx
xccc
1c
3c
x
c
xccx
xcxc
2c
2c
x
c
xcxx
xxcc
1c
2c
x
c
xxcx
xxxc
1c
1c
x
xxxx
0c
c
c
x
c
c
x
x
c
c
x
x
c
x
x
Definimos la variable X = nº de caras obtenido en cada lanzamiento.
El lanzamiento de cuatro monedas:
- El experimento consiste en cuatro lanzamientos iguales n= 4
- Cada lanzamiento sólo tiene dos resultados posibles: A= obtener cara y A c= no
obtener cara = obtener cruz.
- La probabilidad p de obtener cara no varía de una moneda a otra: p= 0,75, y por
tanto q = 1-p= 0,25 tampoco.
- El resultado de cada lanzamiento es independiente de los resultados obtenidos en
los lanzamientos anteriores.
Por tanto, se trata de un experimento binomial y X es una V. a. discreta que sigue una
distribución B(4, 0,75) y por lo tanto su función de probabilidad es
 4
f ( x)  P( X  x)   .0,75x. 0,254  x con
 x
X= 0, 1, 2 , 3 y 4 viene dada en la tabla:
xi
0
1
2
3
4
f(xi)=pi
 4 0,750 0, 254
0
 4 0,7510, 253
1
 4 0,752 0, 252
2
 4 0,7530, 251
3
 4 0,754 0, 250
4
El número de caras que por término medio esperamos obtener es:
E[X] = µ = n . p = 4 . 0,75 = 3 caras con una desviación de
v[ X ]    npq  4.0,75.0,25  0,8660
Ejercicios de distribución binomial
En cada uno de los siguientes ejercicios indica porqué el
experimento descrito sigue el modelo binomial y resuelve la
cuestión que se plantea.
1Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras
que cruces.
2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan
de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30
años, vivan:
1. Las cinco personas.
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
4La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la
probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se
anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y
la desviación típica.
Considera las siguientes situaciones.
A.-En una urna tenemos 6 bolas marcadas con el número +1, seis bolas con el número 0
y 5 bolas con el número -1. Extraemos tres bolas al azar sin reemplazamiento y
contamos el número de bolas con signo positivo.
B.-2 de los 12 jugadores de un equipo de baloncesto han tomado sustancias prohibidas.
Al finalizar el encuentro se seleccionan a tres al azar para hacer un control antidopaje.
¿Por qué no siguen el modelo binomial?
LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON.
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la
probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos
ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último
evento.La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840)
Función de probabilidad: Si el número esperado de ocurrencias de un determinado
fenómeno en un intervalo (espacial o temporal, según sea el caso) es λ, entonces la
probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un entero no negativo, k
= 0, 1, 2, ...) es igual a:
Dónde: e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...), k! es el factorial de k, k es el
número de ocurrencias de un evento, y λ es un número real positivo, equivalente al
número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos
ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos
ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de
Poisson con λ = 2.5.
Generalmente para pequeños valores de λ la distribución no es simétrica. La
distribución se hace más simétrica cuando la media es más grande. Una propiedad de
esta distribución es que la media es igual a la varianza: ambas toman el valor de λ.
Ejemplo: El 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación
defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller
tengan encuadernaciones defectuosas. Haciendo
La distribución de Poisson puede ser vista como un caso limite de la distribución
binomial, es decir, que una distribución binomial en la que
y
se puede
aproximar por una distribución de Poisson de valor