04-12-06 A.doc

Análisis Matemático II – Recuperatorio 2doparcial – 04/12/06
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Tema A
Apellido y Nombre:
JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS
x2  y2  2y
 ln( x  2  y )
y  x2  4
a) Halle su dominio D y grafíquelo.
b) Exprese ac(D ) y decida si D es cerrado. Si no, muestre un punto como justificación.
Exprese D 0 y decida si D es abierto. Si no, muestre un punto como justificación.
1. Sea f ( x , y ) 
f
( 0 ,0 )
y
f
( 0 ,0 )
x
Plano tangente a G f en (0,0, ln 2)
lim
( x , y )  (  2, 0 )
f ( x, y )
 ( x y  x) 2

2. Sean f ( x , y )   x 4  ( y  1) 2

A

c) Sin hacer cuentas y siendo G f la gráfica
de f , ¿de cuáles de las siguientes no tiene
sentido hablar? ¿Porqué?
si
y  1  x2, y  1  x2
si
y  1  x2  y  1  x2
a) Determine si existe el límite radial de f ( x , y ) para ( x , y )  (0,1)
Estudie luego el lim f ( x, g( x )) siendo g( x )  x 4  x 2  1
x 0
b) ¿Existe algún valor de la constante A de modo que f resulte continua en ( 0,1) ?
ey  ex
3. Dada f ( x , y ) 
ex
a) Determine imagen y curvas de nivel.

b) Demuestre que f es perpendicular a la curva de nivel f ( x , y )  2
c) Halle los puntos de la curva de nivel f ( x , y )  2 donde la máxima derivada direccional vale 3.
x y
4. Sea S : z  
Halle, si existen, los puntos (a , b, c )  S donde la recta normal a S es paralela
y x
2
 xz0
L:
 x  y  2z  0
5. Sea w  F ( x , y, z )  ln( y  x )  xz 3 e y
a) Si y  g ( x , z ) y se define la composición H ( x , z )  F ( x , g( x , z ), z ) , exprese H x '
a la recta
b) Si x  x (t ) , y  y(t ) , z  z (t ) , exprese
dw
dt
6.
a) Defina el concepto de diferenciabilidad de f ( x , y ) en Po ( x o , y o ) . Ejemplifique luego la def. para
f ( x , y )  x ( x  y ) en Po (1,2) . Finalmente compruebe la diferenciabilidad de alguna otra forma.


b) Sea f ( x , y )  ln( g ( x , y )) siendo g ( x , y )  0 . Demuestre que f y g son paralelos.