Continuitat_i_discontinuitats.doc

Continuïtat d’una funció en un punt.
Es diu que una funció y  f (x)
és contínua en el punt “a” si es compleixen aquestes tres
condicions:
A. Està definida la imatge de “a”, f (a )
B. lim f ( x)  lim f ( x ) . En aquest cas aquests límits queden representats per lim f (x)
xa 
xa 
x a
C. lim f ( x)  f (a )
x a
Si una funció no és contínua en un punt, es diu que és discontínua en aquest punt.
Tipus de discontinuïtats.
1. No es compleix “A”, és a dir, no està definida la imatge de “a”, f (a )
1.1 Podem trobar aquest tipus de discontinuïtat en funcions racionals, quan el denominador
val zero per a x=a i el numerador no.
1
té una discontinuïtat d’aquest tipus a x=3.
x3
0
1.2 També les trobem si f (a ) és de la forma
i existeix lim f (x)
x a
0
x2  x  2
Exemple: f ( x) 
té una discontinuïtat d’aquest tipus a x=2.
x2
Exemple: f ( x ) 
2. No es compleix “B”: Els límits laterals con coincideixen: lim f ( x)  lim f ( x)
xa 
xa 
Poden aparèixer en funcions definides a trossos:
Exemple:
si x  3
x
té una discontinuïtat d’aquest tipus a x=3.
f ( x)  
 x  1 si x  3
3. No es compleix “C”: La funció no tendeix al valor en x=a: lim f ( x )  f ( a )
xa
Exemple:
2
f ( x)  
3
si x  5
té una discontinuïtat d’aquest tipus a x=5.
si x  5
Els casos 1.2 i 3 s’anomenen “discontinuïtats evitables”, perquè simplement modificant o
definint adequadament f (a ) obtenim una funció perfectament contínua en el punt “a”.
El cas 2 s’anomena “discontinuïtat de salt”.
El cas 1.1 s’anomena “discontinuïtat infinita o asimptòtica”.