CONECTIVAS EQUIVALENTES TABLAS y SIMBOLIZACIÓN

LÓGICA PROPOSICIONAL
Compilado por Lic. Graciela Hernández -- Cátedra Gentile
VOCABULARIO: Posee tres tipos de elementos:
1) SIGNOS VARIABLES llamados “variables proposicionales” o “letras
proposicionales”
VARIABLES O PROPOSICIONALES:
p; q; r; s; t; u
Constituyen el vocabulario del sistema.
Son signos que varían de una formula a la otra. Vale decir, el contenido
proposicional de cada letra puede cambiar de una formula a la otra.
POR ESTO SE LLAMAN “SIGNOS VARIABLES” .
2) SIGNOS CONSTANTES: su función no varia de una formula a otra.
Son aquellos que determinan el tipo de nexo o tipo de vinculo que se
dará entre las variables. También llamados “conectivas”.La mayoría
de ellos, une variables, salvo la“negación” que solo afectará a la
variable que antecede.
Daremos solo algunos de ellos:
CONECTIVAS
EQUIVALENTES
TABLAS
LINGÜÍSTICOS
DE VERDAD
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------“. ” CONJUNCIÓN
Y, pero, aún, más, también, La conjunción es Verdadera
(afirma que ocurren
Aunque, Sin embargo,
cuando el contenido de ambos
dos estados de cosas
Además, etc.
términos es verdadero.
a la vez)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------“ v “ DISYUNCIÓN
O, salvo que,
La disy.inc.es Verdadera
INCLUYENTE
Uno u otro o ambos
cuando el contenido
(indica una elección
de al menos uno de sus términos
entre dos opciones)
es verdadero
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------“w” DISYUNCIÓN O.....O.....; o bien......o bien..... La disy.excl. es Verdadera
EXCLUYENTE
Uno o lo otro, pero no ambos cuando posee uno de sus términos
(la elección no
verdadero y el otro falso.
permite ambos términos
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a la vez; hay que optar por uno de ellos)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------“ “ ; “→”CONDICIONAL Si.....entonces......
(establece una
Cuando......,...........
cierta condición; que
Siempre que......,.......
puede darse o no)
Es suficiente.......,......
No es una conectiva
........solo sí...........
Conmutativa.
.......es necesario para.....
El condicional solo es FALSO
cuando el contenido del antecedente es verdadero, mientras que
el del consecuente es falso. Y es
VERDADERO en todos los otros
casos.
Debemos identificar qué parte del texto a simbolizar es el antecedente del condicional y
colocarlo “delante” de la herradura “  “ o de la flecha “→”Luego, hacemos lo propio
con la parte del texto que hayamos identificado como “consecuente” y colocarlo a la
derecha de la herradura y/o flecha.
Debe quedar así: ANTECEDENTE  CONSECUENTE
ANTECEDENTE → CONSECUENTE
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------BICONDICIONAL
“ ≡ ; “↔ “
Si y solo si; es equivalente a; El “  “es verdadero cuando
O EQUIVALENCIA
Cuando y solo cuando;
el contenido de ambos
La condición que establece Es condición necesaria y
términos tiene el mismo
debe darse necesariamente. suficiente para....
valor de verdad (ambos VCada término es a la vez
ambos F)
Antecedente y Consecuente
del otro. (Es un condicional doble).
Es una conectiva conmutativa (el orden de los factores no altera el producto)
..............................................................................................................................................................
“ – “ NEGACIÓN
No; Nunca; No es cierto que
No une variables.
No es verdad que; la partícula
Solo afecta a la formula
“in”; “i”; dis, des, a, etc.
que antecede.
La “- “ invierte el valor de
de la formula que antecede.
Si la formula es V, la
Negación es falsa y
viceversa.
3) SIGNOS AUXILIARES
Podríamos asimilarlos a los signos de puntuación, utilizado en nuestro lenguaje
cotidiano, a saber: la coma, el punto y coma, el punto y aparte, etc.
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NOS INDICARAN EL ALCANCE DE LA CONECTIVA QUE ESTEMOS USANDO.
ELLOS SON: ( ) ; [ ]; { }
Usaremos para representar a las letras del sistema: A, B y C para ejemplificar el uso de
signos auxiliares.
Aclaramos que A; B; C no pertenecen al sistema, pero las usamos para representar a las
letras del sistema. Vale decir, cada una de ellas (A ó B ó C) representarán indistintamente
a “p, q, r, s, t, u” etc.
Ejemplos:
- ( A ) ; - ( A . B) ;
[ (A ) → - ( A )] ;
- [ ( A w B) . (B w C)] ; etc.
# Reglas de formación
(Las formulas que “armemos” deben respetar estas reglas)
Usaremos –como ya se indicó- para representar a las letras del sistema: A, B y C.
A; B; C no pertenecen al sistema, pero las usamos para representar a las letras del
sistema. Vale decir, cada una de ellas ( A ó B ó C) representaran indistintamente
a “p, q, r, s, t, u” etc.
Serán considerados formulas bien formadas (FBF) del sistema:
(1) “A” ES FORMULA BIEN FORMADA (FBF) Cada una de las variables o letras
proposicionales del sistema individualmente considerada. Así por ejemplo tanto ‘p’,
como ‘q’, como ‘r’, son FBF del sistema.
(2) SI “A” ES FBF DEL SISTEMA, “–A” ES FBF DEL SISTEMA. El resultado de
anteponerle el signo de negación a una FBF de la Regla (1) se considera formula bien
formada. Dicho con más precisión: Si A es FBF, ¬A es FBF,
(3) Si A y B son dos FBF cualesquiera del Sistema, el resultado de colocar el símbolo
conector diádico (conectivas) entre dos FBF, da como resultado otra FBF del Sistema.
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Vale decir: A . B; A v B; A w B; A  B; A ≡ B; etc.
(4)Estas tres reglas caracterizan con precisión los enunciados correctos del sistema
--------------------------------------------------------------------ALGUNAS ACLARACIONES:
CONECTIVAS
(definidas al comienzo del apunte).
PUEDEN SER:
MONADICAS:
“NEGACIÓN”
NO UNEN LETRAS O VARIABLES PROPOSICIONALES, SOLO AFECTAN
AQUELLA LETRA O FORMULA BIEN FORMADA A LA CUAL ANTECEDAN.
DIÁDICAS
“.”; ”v”; “w”; “ “ ; “ ≡ “ ;
CUMPLEN LA FUNCIÓN DE “CONECTAR” O RELACIONAR
VARIABLES O LETRAS PROPOSICIONALES.
SIMBOLIZACIÓN DE ENUNCIADOS:
SUPONGAMOS QUE DEBEMOS SIMBOLIZAR EL SIGUIENTE PARRAFO:
(“traducir”del lenguaje cotidiano a formulas de la lógica proposicional)
Si aumenta la demanda exterior, aumentarán las exportaciones,
y se alterara el consumo interno .
1RO.) NOS OLVIDAMOS DE LOS SIGNIFICADOS,
SI QUEDAN CORTADAS LAS ORACIONES, ETC. Y DIVIDIMOS EL TEXTO POR LOS
EQUIVALENTES DE CONECTIVAS.
Ej.:
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Si aumenta la demanda exterior, aumentarán las exportaciones,
y se alterara el consumo interno.
Queda:
-aumenta la demanda exterior (ahí cortamos porque hay un equivalente
de condicional)
-aumentarán las exportaciones (cortamos porque hay “ , ” seguida de un
equivalente de conjunción)
- se alterara el consumo interno.
2do. paso) ARMAMOS EL CÒDIGO
( en esta instancia restituimos el significado o sentido)
Debemos construir proposiciones ( afirmaciones de cuyo contenido cualquiera pueda determinar si
es verdadero o falso. Una proposición es una unidad de significado que posee valor veritativo y
cumple con la función informativa).
ADEMÁS INDICAMOS QUÉ PROPOSICIÓN VAMOS A SIMBOLIZAR CON CADA LETRA O
VARIABLE PROPOSICIONAL.
p : aumenta la demanda exterior ( será el antecedente de la formula )
q: aumentarán las exportaciones (será el consecuente de la formula)
r: se alterara el consumo interno. (será el 2do.componente del consecuente)
3ER PASO: ARMAMOS LA FORMULA
( VOLVEMOS AL TEXTO Y REEMPLAZAMOS)
p  ( q . r ) Para indicar que el consecuente de la formula es compuesto usamos ( )
RAZONAMIENTOS
Los razonamientos poseen una estructura que consta de una o más premisas de las cuales
se deriva una conclusión. Vale decir, que las premisas tendrán TODOS los argumentos
para llegar “necesariamente” a esa conclusión. Siempre que el razonamiento sea DEDUCTIVO
las premisas deberán implicar a la conclusión y ésta debe deducirse de las premisas
de este modo, LA CONCLUSIÓN NO PODRÁ AGREGAR NINGÚN TIPO DE INFORMACIÓN MÁS
QUE AQUELLA QUE FIGURA EN LAS PREMISAS.
SI LA CONCLUSIÓN AGREGA DATOS QUE NO ESTÁN CONTENIDOS
EN LAS PREMISAS, NO SE TRATA DE UN RAZONAMIENTO DEDUCTIVO.
Para determinar qué parte del texto es “premisa” y cuál es “conclusión” nos valemos
de INDICADORES DE PREMISA e INDICADORES DE CONCLUSIÓN
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DE PREMISA:
PUES; PUESTO QUE; YA QUE; DADO QUE, PORQUE;
punto seguido de un equivalente de conjunción,
------------ DE CONCLUSIÓN:
POR CONSIGUIENTE; LUEGO; POR ENDE; INFERIMOS QUE;
DE AQUÍ SE SIGUE; DE MODO QUE; ASÍ QUE; POR LO TANTO;
DE AHÍ QUE; EN CONSECUENCIA;
Supongamos que debemos simbolizar el siguiente párrafo:
Si es inteligente, entonces aceptará el error cometido. De ahí que no es
inteligente, ya que no admitió el error.
PRIMERO: dividimos el texto por los indicadores:
Si es inteligente, entonces aceptará el error cometido. De ahí que (indica
conclusión) no es inteligente, ya que (indica premisa) no admitió el error.
SEGUNDO: dividimos el texto por los equivalentes lingüísticos de
las conectivas:
Si es inteligente, entonces aceptará el error cometido
no admitió el error
-----------------------------------------------------------------------no es inteligente
(RECUERDEN QUE LA NEGACIÓN NO UNE NI TAMPOCO
DIVIDE EL TEXTO, COMO EN ESTE PÁRRAFO UNA PREMISA Y
LA CONCLUSIÓN COMIENZAN CON UNA NEGACIÓN, PODRÍA
GENERARSE LA CONFUSIÓN DE QUE ESTA DIVIDIENDO, PERO LO
QUE DIVIDIÓ EL PÁRRAFO FUERON LOS INDICADORES)
TERCERO:
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ARMAMOS EL CÓDIGO ( qué parte del texto vamos a simbolizar con cada letra o
variable proposicional)
p: es inteligente
q: aceptará el error cometido
CUARTO:
ARMAMOS LA FORMULA (volvemos al texto ordenado en premisas
conclusión y siguiéndolo literalmente armamos la formula)
FORMULA
p  q
-q
--------------------p
Es una “forma de razonamiento”
O BIEN lo transformamos en “forma de enunciado”
A esta técnica se la denomina “método del condicional asociado” y consiste en
transformar una forma de razonamiento en forma de enunciado para poder aplicarle
tablas de verdad. Las premisas se unen siempre con una conjunción y el nexo derivativo
(la raya que anuncia la conclusión) se reemplaza siempre por un condicional. Luego para
indicar qué parte es premisa y cuál es conclusión, usamos los signos auxiliares
(paréntesis, corchete, o llave) según corresponda.
Una vez hecho esto, aplicamos tablas de verdad. Primero se resuelven los paréntesis,
luego los corchetes y finalmente las llaves.
El condicional asociado permite determinar, en forma segura, si la formula corresponde
o no a un razonamiento deductivo.
VEAMOS:
[( p
v
f
v
f

v
v
f
v
q ) . –q]  -p (encerramos la 1ra.premisa entre ( ); la unimos
v f f v f
a la segunda premisa con una conjunción. Y
v f f v v
colocamos un [ ] para indicar que hasta ahí
f f vv f
llegan las premisas. La conclusión se indica
f v v v v
con un condicional.
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Da TAUTOLOGÍA, o sea: el condicional dio verdadero en todas las filas. Esto significa
que el RAZONAMIENTO ES DEDUCTIVO.
Los otros resultados posibles son:
**CONTINGENCIA da verdadero en algunas filas, pero hay algunas filas donde da falso
o al menos, una de las filas da falso. Esto significa que el RAZONAMIENTO NO ES
DEDUCTIVO.
*** CONTRADICCIÓN: da falso en todas las filas. Esto significa que el
RAZONAMIENTO NO ES DEDUCTIVO.
CÓMO ARMAR LA TABLA DE VERDAD:
La formula es 2n
2 son las posibilidades veritativas de cada letra; significa que podemos encontrar
contenido o bien verdadero o bien falso.
“n” se reemplaza por la cantidad de letras no repetidas de la formula.
Aplicando esta formula quedan representadas todas las combinaciones de los valores
de verdad de esa estructura.
Por ejemplo: 1) (p w –p) → p
Otra:
a) (p ≡ q) . p
Es una sola letra, sería 21 ═ 2 filas
En ambas a) y b), son dos letras, sería 2 2 ═ 4 filas
b) { [(p → q) . –q ] → p}
Otra:
{ [(p → q) . (q →r)] → (p → r) }} Son 3 letras, sería: 23 ═ 8 filas
LUEGO se arma la tabla:
(p w –p) → p
Se alternan los valores V/F de uno en uno. Si la letra esta negada
se comienza por F, si esta afirmada se comienza por V
(p w –p) → p
v
f
v
Luego se resuelve: primero el ( ) usando la tabla de verdad de
la disyunción excluyente. Después se resuelve el → Y este será
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f
v
f
el resultado que corresponde a esta formula
-------------------------------------------------
{[(p → q) . –q ] → p}
2 2 ═ 4 filas
A la primera letra de la formula, le alternamos V/F de Uno en uno. A la segunda letra
le asignamos V/F alternando de dos en dos (dos v, dos f). Si la letra esta negada,
comenzamos por F, en lugar de V. Y si vuelve a aparecer la letra en esa formula, le
repetimos la alternancia como lo hicimos antes.
VEAMOS:
{[(p → q) . –q ] → p} 1RO. RESOLVEMOS EL CONDICIONAL DEL PARÉNTESIS,
V V F
V CON ESE RESULTADO Y LOS VALORES DE “q” SE
F V F
F RESUELVE LA CONJUNCIÓN QUE UNE LAS PREMISAS.
V F V
V CON EL RESULTADO DE LA CONJUNCIÓN TENEMOS LO
F F V
F QUE SERÁ EL ANTECEDENTE DEL ULTIMO
CONDICIONAL DE LA FORMULA, MIENTRAS LOS VALORES DE “p” SERÁN EL
CONSECUENTE DE ESTA PARTE FINAL.
Para una formula de tres letras, se alternan los valores de cuatro en cuatro. O sea:
cuatro verdaderos, cuatro falsos.
Si la formula fuese de cuatro letras, se alternan los valores de ocho en ocho.
Etc, la progresión es geométrica ( de 2 en 2: de 4 en 4; de 8 en 8; etc)
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