Movimiento de cuerpo rígido

Javier W. Lau
jwlsMovimiento
58
de un cuerpo rígido.
En todo lo visto anteriormente, los análisis que se han hecho, no se han considerado
ni la forma ni el tamaño de los objetos, es decir se han hecho consideraciones de
todos los objetos como partículas.
En muchas ocasiones es importante considerar, tanto el tamaño como la forma de
estos objetos. Por ejemplo, en las colisiones el comportamiento de objetos como
partículas solo se da aproximadamente, cuando los objetos son esferas del mismo
tamaño y las colisiones son centrales. En el caso del juego de billar, las esferas no
son partículas, pues además del impulso que se les puede proporcionar, se pueden
hacer girar las esferas. Una diferencia notable en todos los casos entre las partículas
y los cuerpos rígidos, es que los cuerpos rígidos pueden girar alrededor de cualquier
eje que pase por su por su propio cuerpo, mientras que una partícula no, ya que la
consideramos como un punto .
Un cuerpo rígido está formado por una colección de partículas que siempre guardan
la misma distancia entre sí.
Mientras que en el movimiento de una sola partícula, ésta solo puede trasladarse, en
el movimiento de un cuerpo rígido una partícula se traslada y además puede girar
respecto de un eje.
jwls
Javier W. Lau
59
Traslación
Traslación y rotación
Rodamiento
Figura 85
En la figura 85 se muestran las trayectorias de dos cuerpos rígidos, en la
traslación, las partículas tienen la misma trayectoria, desplazamiento,
velocidad y aceleración. En la gráfica de traslación y rotación se muestran
las trayectorias de tres puntos, uno de ellos es la esquina superior
derecha, el otro es el centro geométrico y el tercero es la esquina inferior
izquierda. Este movimiento de traslación y rotación es semejante al
movimiento de una hélice de helicóptero que tiene una trayectoria
rectilínea. Si se observan las trayectorias, las de las esquinas del cuerpo
Javier W. Lau
60
rígido son curvilíneas, mientras que la del centro geométrico es rectilínea
En este caso anterior, la trayectoria, desplazamiento, velocidad y
aceleración es diferente para cada partícula. De manera semejante en el
rodamiento se puede observar la trayectoria de dos puntos, uno en la
periferia del cilindro y otro en el centro geométrico. Si observamos el
rodamiento, la trayectoria de un punto en la periferia es curvilínea,
mientras que la del centro geométrico es rectilínea, aquí también la
trayectoria, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de cada
partícula que conforma el cuerpo rígido es diferente.
En la figura 86 se han representado las
velocidades de tres puntos en un
movimiento de rodadura, en el punto más
bajo que es el punto de apoyo la
velocidad es cero, mientras que en el
punto más alto la rapidez es del doble de
la del centro geométrico.
Este movimiento de rodadura de la figura 86,
lo podemos analizar a partir de la suma de
dos movimientos como se muestra en la figura 87.
Traslación
Figura 86
Rotación alrededor
del centro
Rodadura
Figura 87
Energía cinética rotacional
1
mv 2 , y solo era
2
energía traslacional. Ahora que analizamos un cuerpo rígido v es diferente para cada
partícula, como puede observarse en las figuras 85 , 86 y 87 cuando los movimientos
son de traslación y rotación. La figura 87 muestra que cualquier partícula tiene una
velocidad dada por la suma vectorial del movimiento de traslación mas el movimiento
de rotación. También la energía cinética de cada partícula que conforma el cuerpo rígido
será la suma de las energías debido al movimiento de traslación, más la energía cinética
debido al movimiento de rotación.Todas las partículas del cuerpo rígido de la figura 87,
tienen la misma energía cinética traslacional, pues tienen la misma rapidez de traslación,
Cuando analizamos la energía cinética de una partícula, ésta era
Javier W. Lau
61
pero cada partícula tiene una energía cinética rotacional diferente, la rapidez de una
partícula vi debido a la rotación esta dada por
Entonces para una partícula de masa mi
vi  ω ri
y su energía cinética será
v  ωr
como se vio en la página 21
1
1
1
m i v i2  m i (ω ri ) 2  ω 2 (m i ri2 )
2
2
2
Esta es la energía de una sola partícula, si queremos tener la energía cinética debido a la
rotación de todas las partículas, entonces tendremos que sumar todas las energías
individuales.
1 2
K

i 2  mi ri2
Sumando las energías cinéticas rotacionales de cada partícula R
Como omega, la frecuencia angular es la misma para todas las partículas KR se puede
1 2
K

  mi ri 2 , de esta expresión
R
escribir como
2
i
m r
2
i i
es conocida como
i
el momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje de rotación y se denota como I,
utilizando esta simbología
KR 
1 2
I
2
que es la energía cinética rotacional de un
cuerpo rígido. En esta ecuación el momento de inercia I , es el momento de inercia con
respecto al centro de masas. Este concepto de centro de masas lo revisaremos a
posteriormente.
Momento de inercia
El momento de inercia de un cuerpo depende tanto de su forma, su tamaño, su masa y
del eje alrededor del cual rote el objeto.
Un mismo objeto puede tener muchos momentos de inercia, tantos como ejes de
rotación pueda tener.
Cuando hablamos del momento de inercia alrededor de un eje y lo expresamos
como
m r
2
i i
ésta expresión debe tener el límite cuando mi tienda a cero, o bien
i
expresarse como
r
2
dm , sin embargo si se toman un número adecuado de elementos
de masa, el cálculo puede ser bastante aproximado.
Veamos un ejemplo, calculando el momento de inercia de una varilla que gira por un
extremo.
La varilla tiene una longitud L y masa M, si dividimos
Eje de rotación
esta varilla en cinco elementos de masa y luego
L
realizamos los productos mi ri2
Figura 88
Javier W. Lau
62
ML
 
5  10 
El primer producto será
2
L
El segundo producto será
M
5
2
 3L 
  ...
 10 
10
3L
10
Sumando todos los productos
2
2
2
2
2
M  3L 
M  5L 
M  7L 
M  9L 
L
             
5  10 
5  10 
5  10 
5  10 
 10 
2
2
2
2
2
2
M L
9M L
25M L
49M L
81M L
165M L
I





 0.33ML2
5 100
5 100
5 100
5 100
5 100
5 100
M
I
5
El resultado utilizando integración es
1
I  ML2
3
5
L
12
Ahora calculemos el momento de
inercia de la misma varilla con
respecto al centro de la misma, en la
figura 89, se muestra la varilla,
dividida en 6 partes.
2
2
Figura 89
2
2
2
ML
M  3L 
M  5L 
M L
M  3L 
M  5L 
I
  
         
 


6  12 
6  12 
6  12 
6  12 
6  12 
6  12 
2
2
70ML
 0.081ML2
864
El resultado utilizando la integración es I = 0.0833 ML2
I
De esta manera puede observarse la aproximación utilizando
m r
i i
i
para el calculo del momento de inercia.
Chequemos estos resultados utilizando
2
 r dm
el diferencial de masa puede calcularse como dm = dV
y el diferencial de volumen dV= A dx
x
Figura 90
2
,
Javier W. Lau
63
en donde A es el área transversal de la varilla, entonces sustituyendo estos resultados en
la integral,  r 2 dm , queda
L
L
L3
 r dm  0 x ρAdx ρA0 x dx  ρA 3
2
2
2
como la masa M =  V =  A L
L2
3
Para el caso cuando el eje de rotación está a la mitad, solo cambian los límites de
integración y entonces
I M
3
3
L
 L
 
 
3
2

 2   ρA L
2
2
2
r
dm

x
ρAdx

ρA
x
dx

ρA

ρA



3
3
12
L
L
I M
L
2
L
2
2
2
2
L
12
Los casos más típicos de los momentos de inercia aparecen en los libros de cálculo, en
donde puede estudiarse este concepto con mayor profundidad.
Centro de masas
El centro de masas (CM) de un objeto es una posición que puede interpretarse como el
centro geométrico, cuando la distribución de masas es homogénea. Por ejemplo si
tenemos una lamina cuadrada del mismo espesor y con una distribución de masa
homogénea, el centro de masas se encuentra en el centro geométrico.
Una forma sencilla de encontrar el centro de masas de un objeto es suspenderlo desde
varios puntos, y marcar la prolongación de la vertical. En el punto en donde coincidan
estas marcas es el centro geométrico, vea la figura 92.
0.5m
Las coordenadas del centro de masas se calculan a partir de
m x

m
i
xCM
i
i
i
i
m y

m
i
, y CM
0.5 m
i
i
i
1.0 m
i
Figura 91
En la figura 91, se representan 6 esferas de masa de 1.0 kg, sujetas a alambres rígidos
pero de masa despreciable, la coordenada XCM, de este arreglo, tomando como origen el
centro de la esfera inferior izquierda es:
Javier W. Lau
64
m x

m
m y

m
i
x CM
i
i

1.0kg(1.0m )  1.0kg(1.5m )  1.0kg(1.0m )  1.0kg(1.5m ) 5.0kgm

6.0kg
6.0kg

1.0kg(0.5m )  1.0kg(1.0m )  1.0kg(1.0m ) 2.5kgm

6.0kg
6.0kg
i
i
i
y CM
i
i
i
i
Figura 92
Teorema de los ejes paralelos
En ocasiones se requiere conocer el momento de inercia con respecto a un eje paralelo
al eje que pasa por el centro de masas, existe una forma sencilla de calcular este
momento de inercia, si se conoce el momento de inercia con respecto al CM, mediante
la expresión:
I P = ICM + md2
Este teorema dice que el momento de inercia con respecto a un eje paralelo a uno que
pasa por el centro de masas, es igual al momento de inercia respecto al CM, mas el
producto masa por la distancia al cuadrado desde el eje paralelo al CM.
En las páginas anteriores encontramos que el momento de inercia de una barra, que gira
respecto del centro de masas es I = mL2 /12, si queremos encontrar el momento de
inercia con respecto a un eje que pasa por el extremo, utilizaremos el teorema de los
ejes paralelos.
IP = mL2 /12 + m(L/2)2 = mL2 /12 + mL2 /4 = 4 mL2 /12 = mL2 /3
Y observamos que es el valor ya conocido
anteriormente
El trabajo como cambio en la energía cinética rotacional
Cuando sobre un cuerpo rígido se aplican fuerzas que lo hacen solo rotar, el trabajo
realizado por éstas fuerzas sigue siendo igual al cambio en la energía cinética, en este
Javier W. Lau
65
caso sólo rotacional. Si las fuerzas provocan tanto desplazamiento como rotación,
entonces el trabajo será igual al cambio en la energía cinética, tanto traslacional como
rotacional.
Analicemos el caso de una partícula en un plano inclinado y el caso de cuerpo rígido
redondo sobre el mismo plano inclinado, en los dos casos no hay fricción.
Supongamos que los dos objetos tienen la misma masa, pero en uno se analiza como
una partícula y en otro como un cuerpo rígido.
N-R.
Cuerpo rígido rodando
por un plano inclinado
Partícula deslizándose por un
plano inclinado
Figura 93
Análisis de la partícula deslizándose por un plano inclinado.
Si soltamos la partícula en reposo desde una altura h, al llegar a la base del plano
inclinado, la rapidez de la partícula será igual a 2 gh
Este resultado viene de la conservación de energía, la energía en el punto mas alto es:
E1 = mg h , mientras que la energía en el punto más bajo es solo cinética, en este
caso E2 = mv2/2, igualando estas energías
mg h = mv2/2
resulta v  2 gh
Análisis del cuerpo rígido rodando por un plano inclinado.
La energía en el punto mas alto es igual al caso anterior E1 = mg h
pero la energía en el punto más bajo, que sigue siendo cinética, ahora está
compuesta por energía cinética traslacional y energía cinética rotacional.
E2 
1
1
m v2  I ω2
2
2
Igualando E2 con E1 , resulta
1
1
mg h  m v 2  I ω 2 , despejando v,
2
2
v
2(mg h -
1
I ω2 )
2
m
lo cual indica que la rapidez del cuerpo rígido al llegar a la parte más baja del plano,
es menor que la de la partícula que se desliza.
Javier W. Lau
66
El trabajo realizado sobre el cuerpo rígido es igual al cambio en la energía cinética
W. AB.  K 2  K1
K1 = 0
1
1
K 2  m v 2  I ω 2 , por lo que
2
2
1
1
W. AB.  K 2  K1 = m v 2  I ω 2 que es el trabajo realizado por la fuerza
2
2
gravitacional.
Si se quiere encontrar la rapidez del cuerpo rígido al rodar hasta la parte inferior del
plano inclinado, requerimos conocer el momento de inercia del objeto.