ES0202 Variable Aleatoria Discreta
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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
CURSO: ESTADISTICA II
PROFESOR: MS. LIC. LUIS J. CASTILLO V.
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Introducción a las distribuciones de probabilidad.
Las distribuciones de probabilidad están relacionadas con las distribuciones de
frecuencias. Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de
probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los
resultados. Debido a que estas distribuciones tratan sobre expectativas de que
algo suceda, resultan ser modelos útiles para hacer inferencias y para tomar
decisiones en condiciones de incertidumbre.
Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de
todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando
se efectuó el experimento, mientras que una distribución de probabilidad es un
listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían
obtenerse si el experimento se lleva a cabo.
Las distribuciones de probabilidad pueden basarse en consideraciones teóricas
o en una estimación subjetiva de la posibilidad. Se pueden basar también en la
experiencia.
Tipos de distribuciones de probabilidad.
Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas y discretas. En
la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número
limitado de valores.
En una distribución de probabilidad continua, la variable que se está
considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.
Las distribuciones continuas son una forma conveniente de presentar
distribuciones discretas que tienen muchos resultados posibles, todos muy
cercanos entre sí.
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LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
Variables aleatorias.
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un
experimento aleatorio. Puede ser discreta o continua. Si puede tomar sólo un
número limitado de valores, entonces es una variable aleatoria discreta. En el
otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado,
entonces se trata de una variable aleatoria continua.
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que
cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los
valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a
cada posible resultado de un experimento aleatorio.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una
probabilidad para cada valor posible, y estas probabilidades deben sumar 1.
Valor esperado de una variable aleatoria.
El valor esperado es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones
de probabilidad.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, se multiplica
cada valor que la variable puede tomar por la probabilidad de presentación de
ese valor y luego se suman esos productos. Es un promedio pesado de los
resultados que se esperan en el futuro. El valor esperado pesa cada resultado
posible con respecto a la frecuencia con que se espera se presente. En
consecuencia, las presentaciones más comunes tienen asignadas un peso
mayor que las menos comunes.
El valor esperado también puede ser obtenido a partir de estimaciones
subjetivas. En ese caso, el valor esperado no es más que la representación de
las convicciones personales acerca del resultado posible.
En muchas situaciones, encontraremos que es más conveniente, en términos
de los cálculos que se deben hacer, representar la distribución de probabilidad
de una variable aleatoria de una manera algebraica. Al hacer esto, podemos
3
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llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores
numéricos directamente en una fórmula algebraica.
Variables aleatorias discretas.
Sean x1, x 2,... x n los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria.
Y p(x1), p(x2),... p(x n) su probabilidades asociadas
Los pares de valores (xi, p (xi)) constituyen la distribución de probabilidades de
la variable aleatoria.
p(x) se denomina función de probabilidad, y debe cumplir con las siguientes
propiedades:
a)
0 < p (xj) < 1,
(p(x) es una probabilidad, y por lo tanto debe tomar
valores entre 0 y 1).
b)
p (xi) = 1 (la suma de probabilidades repartidas entre todos los
valores de la variable debe ser igual a 1).
De la misma manera que calculamos frecuencias acumuladas, podemos
acumular
probabilidades,
obteniendo
la
función
de
distribución
de
probabilidades:
F (xk) =
p (xi)
Esta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o
igual que un determinado valor:
F (xk) = P (X < xk)
Gráficamente, la función aumenta de "a saltos", ya que entre dos valores
consecutivos de una variable discreta, no puede tomar valores intermedios.
4
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Una caja contiene 5 tuercas defectuosas y 5 no defectuosas. Se extraen
2 tuercas aleatorias y sin repetición.
a. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria x: numero de
tuercas no defectuosas que se obtienen en la extracción.
b. Su valor esperado y su varianza
c. El coeficiente de variación
SOLUCIÒN
oso
N = Nª de no defectuosos
D= Nº de defectuosos
SIN REPOSICIÓN
5=D
5=N
Xi
4
P (Xi)
D→
X (DD) = 0 → P(X=0) = P (DD) =
5 4 2
=
10 9 9
N→
X (DN) = 1 →P(X=1) = P (DN) =
5 5 5
=
10 9 18
X (ND) = 1 →P(X=1) = P (ND) =
5 5 5
=
10 9 18
X (NN) =2 →P(X=2) = P (NN) =
5 4 2
=
10 9 9
9
D
5
5
9
10
5
5
10
9
D→
N
4
9
N→
5
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a.
Xi
P(Xi)
0
2/9
1
5/9
2
2/9
b .ESPERANZA
E(X) =
2
5
2
x P(x) = 0 9 + 1 9 + 2 9 = 0 +
5
4
+ =1
9
9
VARIANZA
E(x2) – Ex 2
V(x) =
x u 2 P(x) =
E(x2) =
x 2 P(x) = 0 9 + 1 9 + 4 9 =
V(x) =
13
– (1)2 = 1.44 – 1 = 0.44
9
2
5
2
13
9
= V (x) = 0.663324958
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
C.V. %=
V ( x)
0.663324958
100
100
E ( x)
1
C.V. %= 66.33 %
2. Dos bolas son seleccionadas al azar con repetición de una urna que
contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 2 naranjas. Supongamos que ganamos
$. 2 por cada bola negra seleccionada y perdemos $. 1 por cada bola blanca
seleccionada. Sea x la variable aleatoria que denota nuestras ganancias.
¿Cuáles son los posibles valores de x, y cuales son las probabilidades
asociadas con cada valor?
GANANCIA
NEGRA
=2
BLANCA = -1
6
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8
blanca
4
negra
2
roja
Blanca
P (Xi)
Xi
P (Blanca; Blanca) =
88
14 14
-2
P (Blanca; negra)
8 4
14 14
1
8
14
4
Blanca
2
Negra
14
8 2
14 14
48
P (Negra; Blanca) =
14 14
14
P (Blanca; Naranja) =
Naranja
8
14
Blanca
8
14
4
14
2
4
14
Negra
Naranja
Blanca
8
14
4
2
=
4 4
14 14
4
P (Negra; Naranja) =
4 2
14 14
2
P (Naranja; Blanca) =
28
14 14
-1
P (Naranja; Negra) =
2 4
14 14
2
P (Negra; Negra)
14
14
Naranja
-1
1
Negra
2
=
14
Negra
14
Naranja
P (Naranja; Naranja) =
2 2
14 14
0
ESPERANZA
E(x) =
64
32
4
64
16
16
x P(x) = 2 196 1 196 0 196 1 196 2 196 4 196
E(x) =
128 32
64
32
64
0
0
196 196
196 196 196
VARIANZA
V(x) = ( x u) 2 P(x) = E (x2) – Ex 2
E(x2) =
64
32
4
64
16
16
x 2 P(x) = 4 196 1 196 0 196 1 196 4 196 16 196
7
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256 32
64
64 256 736
0
3.755
196 196
196 196 196 196
V(x) = 3.755 – 0 = 3.755
E(x2) =
DESVIACIÒN ESTANDAR
σ = V (x) = 1.93778238
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
V ( x)
100
E ( x)
3. Tres dados son lanzados. Suponiendo que cada uno de los 6 3 216
CV =
posibles resultados son igualmente probables
a) encontrar la probabilidad asignada a los posibles valores que
toma x, donde x es la suma de los puntos obtenidos en los 3
dados.
b) Encontrar su valor esperado y su varianza
c) Encontrar el Coeficiente de Variación
SOLUCIÓN. Los resultados se muestran a continuación
3
4
5
6
7
8
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
6
7
7
8
8
9
9 10 11
10 11 12
8
9
10 11 12 13
6
7
8
8
8
99
10
10
7
8
9
10 11
8
9
9 10 11 12
10 11 12 13
10 11 12 13 14
11 12 13 14 15
11 12 13 14 15 16
4
5
6
7
8
9
7
8
9
10 11 12
5
6
6
7
7
8
8
9
9 10
10 11
8
9
9 10 11 12 13
10 11 12 13 14
7
8
8
9
9 10 11 12
10 11 12 13
10 11 12 13 14 15
11 12 13 14 15 16
9
10 11 12 13 14
12 13 14 15 16 17
8
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
5
6
7
8
9
10
8
9
10 11 12 13
6
7
7
8
8
9
9 10 11
10 11 12
9 10 11 12 13 14
10 11 12 13 14 15
8
9
9 10 11 12 13
10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16
12 13 14 15 16 17
10 11 10 13 14 15
13 14 15 16 17 18
a) Por lo tanto su función de probabilidad es:
Xi = SUMA DE LOS TRES LANZAMIENTOS
Xi
3
1
P(Xi)
216
4
3
216
5
6 7
6 10 15
216 216 216
8
21
216
9
25
216
10
27
216
11
27
216
12
25
216
13
21
216
14 15 16
17
15 10
6
3
216 216 216 216
b) ESPERANZA
E(x) =
x P(x) =
3
12
30 60 105 168 225 270 297 300 273
216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216
210 150 96
51
18
216 216 216 216 216
E(x) =
E(x2) =
2268
10.5
216
x 2 P(x) =
9
48 150 360 735 1344 2025 2700
216 216 216 216 216 216
216
216
3267 3699 3549 2940 2250 1536 867 324
216
216
216
216
216
216 216 216
E( x2) =
25704
119
216
VARIANZA
9
18
1
216
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
V(x) =
( x u) 2 P(x) = E(x2) – Ex 2
V(x) = 119 – (10.5)2 = 8.75
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
= V (x) = 2.958039892
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV =
V ( x)
S
100
100 28.17%
X
E ( x)
4. Una mujer tiene 8 llaves de un llavero de los cuales, exactamente uno abre
a cerradura de la puerta d su casa. Ella prueba las llaves una en cada vez,
escogiendo al azar en cada tentativa una de las llaves que no ha sido
experimentada. Sea x la variable aleatoria que denota el numero x.
SOLUCIÓN
8 claves
X
P(X)
una abre la puerta de la cerradura
1
2
3
4
5
6
7
8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
Esperanza:
E(x)=∑ x P(x)=1 (1/8)+ 2 (1/8)+3 (1/8)+ 4 (1/8)+5 (1/8)+6 (1/8)+7 (1/8)+8(1/8)
1 2 3 4 5 6 7 8
E(x)=
8 8 8 8 8 8 8 8
E(x)=
36
4 .5
8
Varianza
V(x)=∑ (x-u) P(x)=E ( x 2 )- E (x)
2
E ( x 2 )=∑ x 2 P(x)= 1 (1/8)+4 (1/8)+9 (1/8)+16 (1/8)+25 (1/8)+36 (1/8)+
10
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
49 (1/8)+64 (1/8)
1 4 9 16 25 36 49 64
25.5
E ( x 2 )=
8 8 8 8
8
8
8
8
V(x)=25.5- 4.5 =25.5 - 20.25=5.25
2
= V ( x) 2.291288
Coeficiente de Variación
CV=
V (X )
S
100
(100) 50.92 %
X
E( X )
5. Una urna contiene 8 bolas, de las cuales 3 son rojas. Graficar y comparar
las funciones de distribución acumulada de las variables aleatorias x:
numero de bolas rojas que se obtienen al extraer 2 bolas sin reemplazo, y
X: numero de bolas NO rojas que se obtienen al extraer 2 bolas con
reemplazo.
Sin reemplazo
2/7
3/8
Roja
5/7
3/7
5/8
X
6
3 2
P (Roja, Roja) = =
56
8 7
0
3 5 15
P (Roja, Z ) = =
8 7 56
5 3 15
P (Z, Roja ) = =
8 7 56
Z
Roja
Z
4/7
xi
Roja
Espacio muestral
P (Z, Z)
Z
1
1
20
5 4
= =
56
87
0
1
2
P( x i )
6/56
30/56
20/56
F(x i )
6/56
36/56
56/56
2
Esperanza
30 40 60
6 30 20
E(x)=∑ x P(x)= 0 1 2 0
56 56 56
56 56 56
11
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
E(x)= 1.074
Varianza
V(x)=∑ (x-u) P(x)=E ( x 2 )- E (x)
2
30 80 120
6 30 20
E ( x 2 )=∑ x 2 P(x)= 0 1 4 0
56 56 56
56 56 56
E ( x 2 )=2.143
V(x)= E ( x 2 )- E (x)
2
=2.143- 1.074 2 = 0.989524
V ( x) 0.9947
Coeficiente de Variación
CV=
V (X )
0.9947
100
(100)
% = 92.62%
E( X )
1.074
Con reemplazo
3/8
3/8
5/8
X
9
3 3
P (Roja, Roja)= =
2
64
88
3 5 15
P (Roja, Z ) = =
1
64
88
15
53
P (Z, Roja) = =
1
64
88
25
55
P (Z , Z ) = =
0
64
88
Roja
3/8
5/8
Espacio muestral
Roja
Z
Roja
Z
5/8
Z
xi
0
1
2
P(x i )
9/64
30/64
25/64
F( xi )
9/64
39/64
64/64
12
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
Esperanza
30 18
9 30 25
0.75
E(x)=∑ x P(x)= 0 1 2 0
64 64
64 64 64
Varianza
V(x)=∑ (x-u) P(x)=E ( x 2 )- E (x)
2
30 100 130
9 30 25
2.03125
E ( x 2 )=∑ x 2 P(x)= 0 1 4 0
=
64
64 64
64 64 64
E ( x 2 )=2.03125
V(x)= E ( x 2 )- E (x)
2
=2.03125- 0.75 =1.4688
2
V ( x) 1.2119
Coeficiente de Variación
CV=
V (X )
100
(100) 82.51 %
E( X )
6. Un capataz de una planta manufacturada tiene 5 hombres y 3 mujeres
trabajando en el. El capataz desea seleccionar 4 trabajadores para un
trabajo especial. Deseando no tener influencia en la sección
de los
trabajadores, el decide seleccionar al azar 4 trabajadores. Sea Y el numero
de hombres en el grupo. Hallar la tabla de distribución de probabilidad de y.
SOLUCIÓN
El capataz puede seleccionar 4 trabajadores de 8 de
70 maneras. El
8
4
Espacio muestral asociado a este experimento contiene 70 puntos
Muéstrales, cada uno con igual probabilidad de ocurrencia esto es:
P wi
1
, i 1,2,....,70
70
Para todo evento simple wi
El rango de la variable aleatoria Y es Ry = (1, 2, 3,4)
El numero de maneras de seleccionar 4 personas de 8 de modo que en el
grupo haya 1 hombre y 3 mujeres es:
13
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
PY 1
l
PY 2
5
1
3
3
70
5
1
70 14
3
5
2
3
2
70
7
3
| PY 3
70
7
5 3
1
PY 4 4 0
70
14
5
3
3
1
En general, la de distribución de probabilidad de Y es:
PY PY Y
, Y 1,2,3,4
5
Y
3
4 Y
8
4
Por tanto la tabla de distribución de probabilidad de Y es:
Y
1
2
3
4
P(Y)
1/17
6/14
6/14
6/14
7. Hallar la distribución de probabilidad en la variable aleatoria x, definida
como el número de caras que se obtienen al arrojar 5 monedas.
SOLUCIÓN:
Tenemos x: numero de caras que se obtiene al arrojar 5 monedas.
-
el valor de la variable aleatoria x, esto es, puede ser cualquiera de los
enteros 0, 1, 2, 3, 4 o 5, en consecuencia el rango de x es
Rx = {0, 1, 2, 3, 4,5}
-
el espacio muestral asociado a este experimento tiene 2 5 =32 elementos,
luego el denominador para todas las probabilidades, por lo tanto para
nuestra función de probabilidad, será 32. Para calcular el numero de
formas de obtener, digamos 3 caras necesitamos el numero de formas
de separar 5 resultados en 2 celdas con 3 caras u 2 sellos asignados a la
otra. Esto puede hacerse de
sellos pueden ocurrir
10 manera. En general, x caras y 5-x
5
3
formas, donde x puede tomar valores del 0, 1,
5
x
2, 3, 4,5. Así la función de probabilidad es dada por:
14
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
P(x)=P(X=x)=
-
, x 0,1,2,3,4,5
5
x
32
la tabla de distribución de esta probabilidad de esta función es:
X
0
1
2
3
4
5
P(x)= P(X=x)
1/32
5/32
10/32
10/32
5/32
1/32
-
El diagrama de barras de esta distribución, se muestra en la siguiente
figura:
-
De los pasos anteriores tenemos:
a) p( x) 0; x Rx
5
b)
1
5
10
10
5
1
p( x) 32 32 32 32 32 32 1
x 0
P(x)
1/2
10/32
5/32
1/32
1
2
3
4
5
X
8. En el lanzamiento simultáneo de dos dados legales consideremos las
siguientes variables aleatorias:
X: numero de puntos obtenidos en el primer dado
Y: numero de puntos obtenidos en el segundo dado
a) Construir la distribución de probabilidad de las siguientes variables:
i.
W=X-Y
ii.
A=2Y
iii.
Z=X-Y
iv.
B= máximo{x, y}
15
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
b) Construir la función de distribución acumulada de las variables aleatorias:
W y B esbozar su grafica respectiva.
c) Aplicando las propiedades de la función de distribución acumulada,
calcular las siguientes probabilidades.
i.
P{-3<W<3}
ii.
P{0 W 4.5}
iii.
P{A>6}
iv.
P{Z 5.5}
v.
P{1 B 4}
vi.
P{20 Z 35}
vii.
P{-1<A<8}
SOLUCIÓN:
a) Como dato tenemos las siguientes tablas de distribución de probabilidad
de las
variables aleatorias W, A, Z y B.
w
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
P(w)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
a
P(a)
z
P(z)
2
4
6
8
10
12
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
2
3
4
5
6
8
9
10
12
15
16
1/36
2/36
2/36
3/36
2/36
4/36
2/36
1/36
2/36
4/36
2/36
1/36
16
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
18
20
24
25
30
36
2/36
2/36
2/36
1/36
2/36
1/36
b
1
2
3
4
5
6
P(b)
1/36
3/36
5/36
7/36
9/36
11/36
i. Según la definición 6 la función de distribución acumulada de w es:
0, si : w 5
1 / 36, si : 5 w 4
3 / 36, si : 4 w 3
6 / 36, si : 3 w 2
10 / 36, si : 2 w 1
15 / 36, si : 1 w 0
F (w)=P W w
21 / 36, si : 0 w 1
26 / 36, si : 1 w 2
30 / 36, si : 2 w 3
33 / 36, , si : 3 w 4
35 / 36, si : 4 w 5
1, si : w 5
ii. La función de distribución acumulada de la variable aleatoria B es:
0, si : b 1
1 / 36, si : 1 b 2
4 / 36, si : 2 b 3
F (b)=P B b 9 / 36, si : 3 b 4
16 / 36, si : 4 b 5
25 / 36, si : 5 b 6
1, si : b 6
9. Una urna I contiene 5 bolas blancas y 2 negras; la urna II contiene 3 bolas
blancas y 2 negras; la III contiene 2 bolas blancas y 3 negras .Extraemos
una bola de cada urna y sea X el número de bolas blancas extraídas.
a) Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria X
b) Determine la función de distribución acumulada de X y trace su gráfica.
17
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
SOLUCIÓN:
a) Tenemos X: numero de bolas blancas extraídas, luego el rango de X es
Rx= {0, 1, 2,3}
Sean los eventos:
B1, B2 Y B3: Obtener bola blanca en la primera urna, segunda urna y
Tercera urna, respectivamente.
N1,N2Y N3: Obtener bola negra en la primera urna, segunda urna y
Tercera urna, respectivamente.
Según las condiciones del problema, se tiene
P[B1] = 5/7 ,P[B2] = 3/5 , P[B3] = 2/5
P[N1] = 2/7, P[N2] = 2/5 , P[N3] = 3/5
Por ser independientes los colores que se obtienen al seleccionar una
bola en cada una de las urnas, tenemos:
P[X=0] = P[N1] P[N2] P[N3] = 12/175
P[X=1] = P[B1] P[N2] P[N3] + P[B2] P[N1] P[N3] + P[B3] P[N1] P[N2]
= (5/7) (2/5) (3/5) + (3/5) (2/7) (3/5) + (2/5) (2/7) (2/5) = 56/175
P[X=2] = P[B1] P[B2] P[N3] + P[B1] P[N2] P[B3] + P[N1] P[B2] P[B3]
= (5/7) (3/5) (3/5) + (5/7) (2/5) (2/5) + (2/7) (3/5) (2/5) = 77/175
P [X=3] = P [B1] P [B2] P [B3] = (5/7) (3/5) (2/5) = 30/175
Por tanto, la tabla de distribución de probabilidad de X es
X
0
1
2
3
P(x)= P[X=x]
12/175
56/175
77/175
30/175
b) La función de distribución acumulada de esta variable aleatoria es
0, six 0
12 / 175, si 0 x 1
F(x) = P [X x] =
68 / 175, si x 2
145 / 175, six 3
Y su grafica se muestra en la figura:
18
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Si p es la probabilidad de éxito de un suceso en un solo ensayo, el numero
esperado se sucesos o la esperanza o la esperanza de este suceso en n
ensayos, estará dado por el producto de n y la probabilidad de éxito.
E=np
1. En el lanzamiento 900 veces de dos dados. ¿Cuál es la esperanza de que la
suma de sus caras sea un valor menor a 6?
2. Las caras de un dado común se hallan numeradas de 1 a 6. a) ¿Cuál es la
probabilidad de que habiéndole lanzado el dado, aparezca en la cara
superior un valor par? b) ¿Cual es la posibilidad de obtener un numero
mayor a 2?
3. Cual es la probabilidad de que al lanzar dos dados se presenten dos valores
tales que la suma sea. a) 3, b) 4
4. ¿Cuál es la probabilidad de que sean varones los 3 hijos de una familia?
5. Si se tienen dos lápices uno rojo y otro verde, cuyas caras están numeradas
1,2,3,4 y se echan a rodar sobre el piso, leyendo los números
correspondientes a sus caras superiores con lo anterior:
a) Establezca el espacio muestral de los acontecimientos
b) Determine la probabilidad de que la cara superior del lapiza roja sea
1 o 3, mientras que la de verde sea 2 o 4.
c) ¿Cual es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 4?
d) ¿Qué la suma de sus caras sea un numero par?
19
LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
6. Tres corredores A, B Y C compiten entre ellos frecuentemente, han ganado
el 60, el 30 y el 10 por 100 de las competiciones respectivamente. En la
próxima carrera:
a) ¿Cuál será el espacio muestral?
b) ¿Qué valores podríamos asignar a los puntos muestrales?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que A pierda?
7. Después de un extenso estudio los archivos de una compañía de seguros
revelan que la población de un país cualquiera puede clasificarse, según
sus edades, como sigue: un 35 por ciento menores de 20 años, un 25 por
ciento entre 21 y 35 años, un 20 por ciento entre 36 y 50 años, un 15 por
ciento entre 51 y 65 años y un 5 por ciento mayores de 65 años. Suponga
que se quiere elegir un individuo de Tal manera que cualquier habitante del
país supuesto tiene la misma posibilidad
de ser elegido. Empleando la
anterior información, describir el espacio muestral para la edad del individuo
elegido y asignar valores a los puntos muestrales. ¿Cuál es la probabilidad
de que el individuo sea mayor de 35 años?
8. Un embarque de pintura tiene 2000 latas de 5 kilos de las cuales 800 son
de pintura blanca, 500 de amarilla, 300 de roja, 300 de verde y 100 de azul.
Durante el viaje las latas se han sumergido accidentalmente en agua y se
han borrado todos los rótulos. A la llegada las latas se colocan sobre una
plataforma, se coge una y se abre. Respecto del color de la lata elegida.
a) Cual es el espacio muestral?
b) ¿Qué valores podríamos asignar a los puntos muestrales?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la lata elegida contenga pintura blanca,
roja o azul?
9.
Suponga que al observatorio meteorológico clasifica cada día según las
condiciones de cómo ventoso o en calma, según la cantidad de lluvia caída,
en húmedo o seco y según la rotura como caluroso normal o frió. ¿Qué
espacio muestral es necesario para caracterizar? ¿Qué valores podríamos
asignar a los puntos muestrales?
10. Un
dispositivo
esta
compuesto
independientemente. La probabilidad
de
tres
elementos
que
trabajan
de falla de cada elemento en una
prueba es igual a 0.1. Analizar la variable aleatoria x: numero de elementos
que fallan en una prueba.
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LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
11. Cinco hombres y cinco mujeres son clasificados de acuerdo a sus puntajes
obtenidos en un examen de matemática I. Supongamos que todos los
puntajes obtenidos en dicho examen son diferentes y que todas las 10!
Posibles calificaciones igualmente probables. Sea X la variable aleatoria que
de nota la clasificación mas alta conseguida por una alumna (por ejemplo ,
x=2 denota que la alumna fue clasificada en un segundo lugar y que el
primer lugar fue ocupado por un alumno).Encuentre:
R.
5
5
5
5
5
1 5
, ,
,
,
,
,
, 0, 0, 0,0
2 36 36 84 84 252 252
12.-Un dispositivo esta compuesto de tres elementos que trabajan independientemente. La probabilidad de falla de cada elemento en una
Prueba es igual a 0.1. Analizar la variable aleatoria X: numero de
Elementos que fallan en una prueba
R.
X
0
1
2
3
p(x)
(0.9)3
3(0.1)(0.9)2
3(0.1)2(0.9)
(0.1)3
13.-Sea X la variable aleatoria que denota la diferencia entre el numero
de caras y el numero de sellos obtenidos cuando una moneda es
Lanzada n veces. ¿Cuales son los posibles valores de X?
R. 2k-n , k= 0, 1,….., n
14.- Luego de producir el último producto del día en una fabrica, se observa que
se han manufacturado 4 del producto A y 4 del producto B. Como uno de los
talleres de manufacturación estuvo fallando, se sospecha que la mitad de la
producción sea defectuosa.
Obtenga la distribución de probabilidad del número de defectuosos
provenientes del producto A, al extraer 4 productos y someterlos a
prueba.
X
0
1
2
3
4
P(x)
1/70
16/70
36/70
16/70
1/70
15.- Para que valor de existe una constante C para el cual
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LUIS J. CASTILLO VASQUEZ
Cx a, x 1,2,....
P(x) =
0, enotrocaso
Es función de cuantía de una variable aleatoria X?
16.- ¿Para que valores de C la función p(x) define una función de Cuantía de
una variable aleatoria X?
17.-Una mujer tiene 8 llaves en su llavero de los cuales, exactamente
uno abre la cerradura de la puerta de su casa. Ella aprueba las llaves en
cada vez, escogiendo al azar en cada tentativa una de las llaves que no
ha sido experimentada. Sea X la variable aleatoria que denota el numero
de llaves que se prueba (incluyendo la correcta) para abrir la puerta.
¿Cuál es la distribución de probabilidad de X?
R.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
P(x)
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
22
