ES0102 Probabilidades 02

Lic. Luis J. Castillo Vásquez
4.5. PROBABILIDAD BÁSICA
Numerosas personas (estudiantes, profesionales, empresarios,...) en diversas
circunstancias tiene que tomar decisiones; muchas veces tendrán que hacerlo en
condiciones de incertidumbre.
Por ejemplo, los empresarios, al decidir sobre la comercialización de un nuevo
producto, se encuentran en la incertidumbre de sí tendrán éxito.
Los encargados de investigación de mercados iniciaran planes de publicidad sin pleno
conocimiento de sus efectos futuros; en estos casos como ocurre en la mayoría de los
asuntos de negocios, se tomarán decisiones sin disponer de toda la información
pertinente.
Todo esfuerzo para disminuir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de
decisiones, permitirá incrementar la posibilidad (probabilidad) de tomar decisiones
más inteligentes y mejor informadas.
En este contexto, el objetivo del presente capítulo es comprender y aplicar los
métodos y técnicas de medir la probabilidad de ocurrencia de sucesos inciertos y
futuros reduciendo el riesgo y la especulación en el proceso de tomar decisiones.
4.5.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre de un suceso o evento,
cuyo
resultado no se puede predecir con certeza.
4.5.2 EXPERIMENTO ALEATORIO (E)
Es una operación (fenómeno) cuyo resultado no se puede predecir con certeza y que
se realiza bajo las siguientes condiciones.
1) Puede ser repetido bajo las mismas condiciones.
2) Se puede describir el Nº de resultados posibles.
3) Se puede establecer un modelo matemático, asociado a E.
Ejms.
- Lanzamiento de una moneda.
- Lanzamiento de un dado.
- Tiempo de vida de un artículo.
4.5.3. ESPACIO MUESTRAL (Ω)
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
Ejms.:
a) Lanzar una moneda.
Ω = (cara – sello)
b) Seleccionar de un lote, un frasco de medicamentos.
Ω = (adecuado, inadecuado)
c) Extraer una muestra de sangre a una persona.
Ω = (grupo sanguíneo)
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
4.5.4. EVENTO
Es cualquier sub conjunto de un espacio muestral Ω. Los eventos se identifican
mediante
letras mayúsculas.
Ej.: Si se define el experimento aleatorio.
E = {Lanzamiento de dos dados}, su espacio muestral será dado por:
Ω = {(x, y)/x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6},
con lo cual se puede también definir como eventos:
Evento:
Evento:
A= {suma de los resultados es menor de 4}
A = {(x, y) / x+y<4}
A = {(1,1), (1,2), (2,1)}
B = {Suma de resultados es mayor o igual que 10}
B = {(x, y) / x+y/10}
B = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,5), (6,4), (6,6)}
4.5.5. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si no tiene elementos comunes es
decir, si no pueden ocurrir al mismo tiempo. También, la ocurrencia de un evento
automáticamente impide la ocurrencia del otro (u otros). Por ej.: supongan que se
consideren dos posibles eventos “as” y “rey” con respecto a la extracción de una carta
de una baraja (52 cartas). Estos eventos son mutuamente excluyentes porque ninguna
carta puede ser al mismo tiempo as y rey, otro ejemplo sería obtener un as y un cinco
al lanzar un dado.
4.5.6. EVENTOS NO EXCLUYENTES
Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo
tiempo.
Ej.:
Evento A: masculino
Evento B: menor de 30 años
No son mutuamente excluyentes porque una persona elegida al azar podría estar en
ambas categorías.
En los dos eventos “as” y “oros”, estos eventos no son mutuamente excluyentes
porque una carta determinada puede ser al mismo tiempo as y oro, sin embargo, esto
no indica que todo as sea oro o todo oro sea as.
4.5.7. EVENTOS COMPLEMENTARIOS
Dos eventos A y B son complementarios si son mutuamente excluyentes y su unión es
el espacio muestral. Es decir si A ∩ B =  y A  B = Ω
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
4.5.8. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
Es una fracción cuyo numerador es el No de casos favorables y cuyo denominador es
el número total de los casos posibles.
Fórmula:
P( A)= N( A)/N(  )
Donde P(A)= Probabilidad de Ocurrencia del Evento A
N(A)= N° de casos Favorables de ocurrencia del evento A.
N(  ) = Todos los casos posibles en el evento 
Ejemplo1. Supongamos que lanzamos al aire un dado no cargado ¿cuál es la
probabilidad de que salga un 2?
Solución
P(A)= 1/6
Ejemplo 2. Si lanzamos una moneda
¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?
Solución
P(A) = ½
Ejemplo 3. ¿Cuál es la probabilidad de Apostar a un número ganador en el juego de
la ruleta, los Nos. de la ruleta incluyen un “0”, “00” y de “1” hasta “36”.
Solución
P (Ganador)= 1 (favorable)/38 (Totales Posibles)
Ejemplo 4. En una cantidad de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas
de otra tipo, la probabilidad de obtener 1 (as) en una sola extracción es:
P(A) =N(A) / N(  ) = 4/52 = 1/13
Exemplo 5. Aparte de los ejemplos dados tenemos:
Si se lanzan 3 monedas. Hallar:
a) El Espacio Muestral, b) P(A) = obtener exactamente 2 caras, c) Exactamente 2
sellos y d) Exactamente 3 caras.
Solución
a) El Espacio Muestral (Ω) = {CCC, CCS CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
1/8 cada uno.
b) Evento A: obtener exactamente 2 caras.
A= {CCS, CSC. SCC}; P (A) = 3/8
C) Evento B: Exactamente 2 sellos?
P (B)= 3/8
d) Evento C: Exactamente 3 caras
P(C)= 1/8
4.5.9. PROBABILIDAD SUBJETIVA
El enfoque clásico de probabilidad produce valores de probabilidad objetivos. Por el
contrario, el enfoque subjetivo de la probabilidad es particularmente apropiado cuando
sólo existe una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o
no esa única vez.
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
De acuerdo con el enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento “es el grado de
confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la
evidencia que tiene disponible”. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio
personal, el enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista. Y es
realmente reciente.
Ejemplo 6.
- La Probabilidad de que haya recesión el próximo año.
- La probabilidad de que el índice de Precios y cotizaciones de la bolsa de
valores sea 500 puntos en los próximos 6 meses.
-La Probabilidad de que la inflación suba el próximo año.
4.5.10. CONSIDERACIONES GENERALES
1. La Probabilidad de ocurrencia de cada Punto Muestra, debe estar entre 0 y 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. La Suma de las Probabilidades de todos los puntos Muestrales debe ser igual a 1.
P(A) + P (A’) = 1
Es decir en una observación o experimento dados, el evento debe ocurrir o no. Por
ello la suma de la probabilidad de ocurrencia más la probabilidad de no ocurrencia
siempre es igual a 1.
4.5.11. REGLAS DE PROBABILIDAD
1. Regla de Adición para sucesos mutuamente excluyentes
Se utiliza la regla de adición para determinar la probabilidad de que ocurra un evento u
Otro (o ambos) en una sola observación.
Simbólicamente, puede representarse la probabilidad de que ocurra el evento A o el
Evento B mediante P(A o B). En el lenguaje de la Teoría de Conjuntos P(A U B), se
lee:
“La Probabilidad de A unión B”.
Para eventos mutuamente excluyentes es decir cuando no tiene elementos comunes.
P(A  B)=P(A)+P (B)
Ejemplo 6. Se extrae una carta de una baraja de 52, los eventos “as” (A) y “rey” (R)
son mutuamente excluyentes.
Ejemplo 7.Hallar la probabilidad de extraer ya sea un as o un rey en una sola
extracción.
Solución
De: P(A o R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
2. Reglas de Adición para eventos que no son mutuamente excluyentes.
Para este caso se le resta a la suma de las probabilidades simples de dos eventos, la
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
Probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos es decir P(A y B) = P (A∩B)
por tanto resulta.
P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Ejemplo 7. Un cliente ingresa a una panadería. La Probabilidad de que compre (a)
pan es 0,60, b) Leche es 0,50 y c) Pan y leche es 0,30. ¿Cuál es la Probabilidad de
que compre pan, leche o ambos?
Solución
P (P) =0,60 ; P (L) = 0,50 ; P (P∩L) = 0,30
P (P  L) = P (P) + P (L) – P (P∩L)
P (P  L) = 0,60 + 0,50 – 0,30= 0,80
Ejemplo 8. Cuando se extrae una carta de un mazo de 52 cartas, los eventos “as” y
una espada no son mutuamente excluyentes. Hallar la Probabilidad de obtener un AS
(A) o una Espada (E) o ambos en una sola extracción.
Solución
P (AoE) = P(A) + P (E) – P(A y E)
= 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13
4.5.12. EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno, no
tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. Y son dependientes
cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del
otro evento.
Ejemplo 9. El lanzamiento de una moneda por dos veces se considera eventos
independientes, porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún efecto
sobre las respectivas probabilidades de que ocurra una cara o sello en el segundo
lanzamiento.
Ejemplo 10. La extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo de barajas son
eventos dependientes, por que las probabilidades asociadas con la segunda
extracción dependen del resultado de la primera extracción. Específicamente si saliera
un as en la primera extracción entonces la probabilidad de que salga as en la segunda
extracción, es la razón del número de ases que sigue habiendo en las barajas con
respecto al número total de cartas, o 3/51.
4.5.13 PROBABILIDAD CONDICIONAL
Definición:
Una medida de la probabilidad de que ocurra un evento particular, dado el hecho que
otro ya ha ocurrido o de que hay certeza de que ocurra, se llama probabilidad
condicional.
Para dos eventos A y B, dicha probabilidad se denota, siempre por P (A/B) o P (B/A),
lo que se lee como “la probabilidad de A, dado B” o “la probabilidad de B, dada A” ya
que la línea vertical quiere decir “dada” ó “dado”.
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
Cuando dos eventos son dependientes usamos la siguiente fórmula de probabilidad
Condicional.
P (B / A)= P(A ∩ B)/ P(A)
Donde:
P (B/A) = Probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A.
P (A∩B) = Probabilidad conjunta de 2 eventos.
P(A) = Probabilidad simple no, condicional de un primer evento A.
4.5.14. PROBABILIDAD CONJUNTA
Definición:
Una Medida de la Probabilidad del acontecer simultáneo de dos o más eventos se
llama probabilidad conjunta. Para los eventos A y B, esta probabilidad se simboliza por
P (AyB) o P (A∩B).
Ejemplo 11. Se lanza un dado no cargado. Dado que el resultado es un número par.
¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3?
Solución
Consideramos los siguientes conjuntos.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → espacio muestral.
A = {2, 4, 6} → conjunto de resultados pares.
B = {4, 5, 6} → conjunto de resultados mayores que 3.
A∩B = {4, 6} → conjunto de resultados pares mayores que 3.
Como el dado es no cargado, asignamos a cada punto muestral una probabilidad de
1/6.
P(A) = 3/6, P (A∩B) = 2/6 = 1/3.
De la fórmula de Probabilidad Condicional podemos determinar la probabilidad de
obtener un número > que 3 dado que es par.
P (B/A) = P(A ∩ B) /P(A) = 2 / 3
Este resultado queda comprobado por el hecho que de los 3 resultados pares 2, 4, 6
sólo 2 son mayores que 3.
Ejemplo 12. El 30% de todos los estudiantes recibe la calificación C (Evento A) de
todos los estudiantes que reciben la calificación (C) el 40% son mujeres (Evento (B)).
¿Cuál es la Probabilidad de que se seleccione al azar un estudiante del sexo femenino
con calificación C?
Solución
El evento de elección de un estudiante con calificación C es el evento conjunto (A y B)
también se sabe que.
P(A) = 0,30, P (B/A) = 0,40
Ö Según Fórmula
P (A∩B) = P(A) P (B/A) = (0,3) (0,4) = 0,12
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
4.5.15 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN (A∩B): PARA EVENTOS
INDEPENDIENTES.
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de uno no
influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro
Ejemplo 14. Lanzar dos veces una moneda al aire. Esto significa que lo que haya
ocurrido en A, la probabilidad asignada a B es siempre la misma.
Por Tanto:
P (B/A) = P (B)
Obtenemos la Fórmula: P (A∩B) = P(A). P (B)
Ejemplo 15. Cuál es la probabilidad de que en una familia con 2 hijos ambos sean
varones.
P (V1) = 0.5;
P (V2) = 0.5
P (V1∩V2) = P (V1). P (V2) = (0.5) (0.5) = 0.25 = 1/4
Ejemplo 16. Si se lanza dos veces una moneda la probabilidad de que ambos eventos
sean cara es:
P (AyB) = P (A∩B) = P (A). P (B) = ½ x ½ = ¼
4.5.16. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: PARA EVENTOS DEPENDIENTES.
Esta dada por la fórmula:
P (A∩B) = P(A) P (B/A)
Probabilidad conjunta de A y B es igual a la Probabilidad de ocurrencia de A. por la
Probabilidad de de B dado A.
.
En Palabras: Expresa que la probabilidad de que ocurra A y B es igual a la
probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que A ha
ocurrido.
Ejemplo 17. Se sacan 2 cartas sin restitución de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la
Probabilidad de que ambas sean ases?
Solución
Sean los eventos: Evento A1: 1ra carta es AS.
Evento A2: 2da carta es AS.
P (A1∩A2) = P (A1) P (A2/A1)= (4/52) (3/51) = 12/2652.
Ejemplo 18. Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras, se extraen 2 bolitas
sucesivamente y sin restitución.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
Solución
P (B1∩B2) = P (B1). P (B2/B1) = 6/10. 5/9 = 30/90 = 1/3.
P (B1∩N2) = P (B1). P (N2/B1) = 6/10. 4/9 = 24/90 = 4/15.
P (N1∩B2) = P (N1). P (B2/N1) = 4/10. 6/9 = 24/90 = 4/15.
P (N1∩N2) = P (N1). P (N2/N1)= 4/10. 3/9 = 12/90 = 2/15.
Ejemplo 19. Se sabe que en un lote de diskets de 50 unidades hay 4 que no cumplen
las especificaciones (defectuosos). Si se extraen al azar 2 diskets. Uno a continuación
del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?
Solución
Sabemos:
P (A∩B) = P (A). P (B/A)
P (D1) = 4/50, P (D2/D1) = 3/49.
Por lo tanto:
P (D1∩D2) = P (D1) P (D2/D1) = 4/50. 3/49 = 12/2450
4.5.17. TEOREMA DE BAYES.
Sean los eventos: E 1  E2  E3  ....  En Tales que se verifican:
i.
E i  E j i  j
n
ii.
 Ei  
1
iii.
P(E i )>0
iv.
El teorema de Bayas esta dado por:
P (E k / E ) 
P( E k  E )
P( E ) P( E / E k )
 n k
P( E )
 P( Ei ) P ( E / Ei )
i
Ejemplo 19. La compañía ABC está considerando comercializar una computadora
electrónica de acuerdo con la investigación hecha en el mercado la probabilidad de
que el producto tenga éxito es 0,80 si una firma competidora no introduce un producto
similar en el mercado en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la firma
competidora comercializa un producto similar. Además la compañía estima que hay
una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora comercialice el producto. Dado
de que el producto de la C.I.A. ABC tuvo éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que la
firma competidora haya comercializado su producción?
Solución
Nos dan la siguiente información: P(C)=0.40; P (E/C)=0.30; P (E/ C )= 0.80
Presentemos la información en un cuadro, como se ilustra
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
Total
Computadora de la Computadora de la compañía
compañía tenga éxito: E
No tenga éxito: E
Compañía competidora
P(C)P(E/C)
P(
P(C)P( E /C)
Comercialice el producto: C
= (0.40)(0.30)
= (0.40)(0.70)
= 0.12
= 0.28
Compañía competidora No
P(C ) P( E / C )
P (C ) P( E / C )
P(
P(
comercialice el producto: C
= (0.60)(0.80)
= (0.60)(0.20)
= 0.48
= 0.12
Total
0.60
0.40
0.40
0.60
Nos piden:
P(C/E)=
P(C/E)=
P(C  E )
P(C ) P( E / C )
P(C ) P( E / C )
=

P( E )
P(C  E )  P(C  E ) P(C ) P( E / C )  P(C ) P( E / C )
0.12
 0.20
0.12  0.48
Problemas Propuestos
Cálculo de Probabilidades
1. Se lanza un dado:
a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumerase los elementos de Ω contenido en el suceso de que el
resultado sea par.
c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el resultado
sea, mayor que 4.
2. Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente.
a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga
exactamente una cara.
c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga al menos
una cara.
3. Se lanza un par de dados:
a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma de los
puntajes sea 9.
c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma sea 4 ó 5.
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
4. Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un proceso manufacturero y
observar si son defectuosos D o no son defectuosos D’.
a) Enumérese todos los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que el número de piezas
defectuosas sea 1.
c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que los números de
piezas
defectuosas sea al menos 1.
5. Se lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener.
a) Exactamente una cara?
b) Por lo menos una cara?
c) No obtener una cara?
6. Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener?
. a) 7?
b) 7 u 11?
c) Suma divisible por 3?
d) No obtener 7?
7. Se elige una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea?
a) Un as?
b) Una espada?
c) Un as o una espada?
d) Un as o una carta roja?
e) Una carta con una figura?
8. La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es 0,10; de que truene es 0,05 y de
que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene en ese
día?
9. En cierta zona de la ciudad, la probabilidad de que una persona tenga televisor es
0,80; una máquina lavadora es 0,50 y que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la
probabilidad de que una familia tenga televisor o máquina lavadora o ambas
cosas?
10. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un
día es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0, 1 ó 2 autos en ese día?
11. La probabilidad de que la señora hablantina reciba a lo más 5 llamadas telefónicas
en un día es 0,20; y por lo menos 9 llamadas telefónicas en un día es 0,50. ¿Cuál
es la probabilidad de que la señora hablantina reciba 6, 7 u 8 llamadas en un día?
12. Una caja contiene 100 tubos de televisor. La probabilidad de que haya al menos
un tubo defectuoso es 0,05 y de que tenga al menos dos tubos defectuosos es
0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga:
a) Ningún tubo defectuoso?
b) Exactamente un tubo defectuoso?
c) A lo más un tubo defectuoso?
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
Cálculo de Probabilidades Regla de la Multiplicación
13. Dado que P(A) = 0,50 y P (A∩B) = 0,30, encontrar P (B/A)
14. De los estudiantes de una universidad, el 35% son varones y el 8% son varones
que estudian contabilidad. Si se elige un estudiante al azar y éste resulta ser varón.
¿Cuál es la probabilidad de que estudie contabilidad?
15. Una urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras, si se saca dos bolas. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos sean blancas si:
a) Se extrae sin restitución.
b) Se extrae con restitución.
16. La urna A contiene 5 bolitas blancas y 7 rojas y la urna B contiene 3 bolitas
blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna B. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos bolitas sean blancas?
17. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 6 rojas, la urna B contiene 3 bolitas blancas
y 5 rojas y la urna C 7 blancas y 7 rojas. Se saca una bolita de cada urna. ¿Cuál es
la probabilidad de que
Sean las tres del mismo color?
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. El propietario de un lote de automóviles ha clasificado sus ventas del año
basado en la siguiente tabla.
Compra de automóviles y método de pago
(Porcentaje sobre ventas totales)
Forma de pago
Tipo de automóvil comprado
Contado
Crédito
Nuevo
6%
18%
Usado
30%
46%
a) Seleccionando un comprador al azar, ¿cuál es la probabilidad simple de que
compre un automóvil nuevo?
b) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de vender un automóvil otorgando crédito?
c) ¿Cuál es la probabilidad condicional de que un comprador de automóvil
usado pague al contado?
d) ¿Es independiente el tipo de automóvil vendido (en el sentido estadístico) del
método de pago? ¿Por qué?
RESPUESTA
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
En la tabla anterior definimos:
Compra de automóviles y método de pago
(Porcentaje sobre ventas totales)
Forma de pago
Tipo de automóvil comprado
Contado
Crédito
(C)
(Cr)
Nuevo (N)
6%
18%
Usado (U)
30%
46%
a)
b)
c)
d)
P(N)=6+18=24%
P(Cr)=18+46=64%
P(U/C)=P(U  C)/P(C)=30/36=83,33%
Para determinar si es independiente, verificamos:
P (N  C) =P (N) P(C)  P (N  C) =0, 06
P(N) P(C)=0,24(0,36)=0,0864
Lo que indica que los sucesos no son independientes.
1. Un inversionista en valores ha clasificado sus existencias de valores financieros
de la siguiente manera:
Valores
Industriales
Valores de empresas
publicas
4
8
1
7
Grandes
empresas
Precio
incrementado
Precio disminuido
Total
Pequeñas
empresas
Precio
incrementado
precio disminuido
Total
Total (100%)
12
8
17
55
3
5
72
84
84
8
16
16
En esta cartera de valores:
a) Si un valor financiero fuera seleccionado azar, ¿cuál es la probabilidad de
que sea uno de los que han incrementado su precio? ¿Qué tipo de
probabilidad es ésta? ¿(simple, conjunta, marginal o condicional)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un valor financiero cuyo precio se ha
incrementado dado que es una gran empresa industrial? ¿Qué tipo de
probabilidad es esta?
c) ¿Es independiente el tamaño de la empresa del comportamiento de los
precios? ¿Por qué?
d) ¿Es independiente el tipo de valores (industriales y de empresas públicas
del comportamiento de los precios? ¿Por qué?
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
e) ¿Es independiente el comportamiento de los precios de ambas
características: tamaño de empresa y tipo de valor financiero? Explique por
qué.
RESPUESTA
a) P (I)=0,04+0,01+0,17+0,03=0,25  el 25 %. Es probabilidad conjunta.
b) P(I/V)=P(I  V)/P(V)=(0,04+0,17)/0,84=0,25
 el 25 %. Es probabilidad
condicional.
c) Verificamos si se cumple la condición de independencia:
P (I  V)=0,04+0,17=0,21
P (I) P (V)=0,25(0,84)=0,21
Esto prueba que no es independiente el tamaño de la empresa del
comportamiento de los precios.
d) Verificamos si se cumple la condición de independencia:
P (G  V)=0,12
P (G) P (V)=0,2(0,84)=0,168
Esto prueba que es independiente el tipo de valores, industriales y de
empresas públicas del comportamiento de los precios.
e) Verificamos si se cumple la condición de independencia:
P (I  V)=0,04+0,17=0,21
P (I) P (V)=0,25(0,84)=0,21
Esto prueba que no es independiente el tamaño de la empresa del
comportamiento de los precios.
2. Suponga que el 70% de las empresas en determinada industria tienen abogado
en la Junta de Directores y que un 40% tienen un banquero en la Junta. ¿Qué
proporción de las empresas no tienen banqueros ni abogados su Junta?
RESPUESTA
Diagrama de Venn:
B
A
70-x
x
40-x
Para el 100%: 70-x+x+40-x=100  x=10
Luego, el 10% de las empresas no tienen ni abogado ni banquero en las juntas.
3. Analizando las ventas de último año de cierto producto en una tienda menudeo,
se determinó que el 10% de las compras las hicieron hombres y 20% de ellas
fueron por valores mayores a S10.00. Si usted sabe que el 80% de los clientes
masculinos hacen compras mayores de $10.00:
 ¿Qué porcentaje de compras mayores de $10.00 son hechas por hombres?
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
 ¿Qué porcentaje de compras son hechas por hombres o son mayores de
$10.00?
RESPUESTA
Hombres
(H)
Mayores a $10
(M)
menores a $10
(m)
Total
Mujeres
(F)
Total
8
32
40
2
10
58
90
60
100
a) P(M  H)=8%
b) P(M  H)=10+32=42%
4. Si el 30% de los hogares en una ciudad tienen secadoras eléctricas, el 40
tienen estufas eléctricas y si 25% de aquellos que tienen estufas eléctricas
también tienen secadoras eléctricas, ¿qué proporción de aquellos que tienen
secadoras eléctricas también tienen estufas eléctricas?
RESPUESTA
Diagrama de Venn:
0,25(40)=10
E
S
20
10
30
40
El 10% de los que tienen secadoras eléctricas también tienen estufas
eléctricas.
5. Una compañía de investigación de mercados está interesada en examinar
algunas actitudes en una pequeña comunidad. Hay 125 hogares clasificados de
acuerdo con sus ingresos y con el hecho de ser propietarios de teléfono y
televisión.
Hogares con ingresos Hogares con ingresos de
de $8000 o menos
más de $8000
Con TV
Sin TV
Con
teléfono
27
18
Sin
teléfono
20
10
Con teléfono
18
12
Sin
teléfono
10
10
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un dueño de TV en una selección
aleatoria?
b) Si una familia con ingresos de más de $8,000.00 tiene teléfono. ¿Cuál la
probabilidad de que tenga TV?
c) ¿Cuál es la probabilidad condicional de elegir una. familia que tenga tema.
TV, dado el hecho de que tiene teléfono?
d) ¿Son estadísticamente independientes los eventos “ser propietario de .TV y
“poseer un teléfono”?
e) ¿Son independientes los eventos “ingresos de $8,000.00 o menos” y “ser
propietario de TV”?.
RESPUESTA
La tabla con resultados totales se muestra a continuación:
Hogares con ingresos de
$8000 o menos
Hogares con ingresos de
más de $8000
Con teléfono
Sin
Con
Sin teléfono Total
(C)
teléfono(D) teléfono (E)
(F)
Con TV
(A)
Sin TV
(B)
Total
27
20
18
10
75
18
45
10
30
12
30
10
20
50
125
P(A)=75/100=0,75  el 75%.
P(A/C)=P(A  C)/P(C)=27/45=0,6  el 60%.
P(A  E/C) =P(A  E  C)/P(C)=(27+18)/75=0,6  El 60%.
P(A)P(C  E)=(45+30)(0,75)=0,5625
P(A  C  E)=0,27+0,18=0,45

P(A)P(C  E)P(A  C  E)
Por tanto no son sucesos independientes “ser propietario de .TV y “poseer un
teléfono”.
e) P(A)P(C  D)=(45+30)(0,75)=0,5625
P(A  C  D)=0,27+0,2=0,47

P(A)P(C  D)P(A  C  D)
Por tanto no son sucesos independientes ““ingresos de $8,000.00 o menos” y
“ser propietario de TV”.
a)
b)
c)
d)
6. En calidad de vendedor de bonos, usted está pensando usar una lista de
propietarios de acciones para efectuar su publicidad por correo. Se sabe que
40% de los inversionistas financieros tienen solamente acciones y el 10%
tienen sólo bonos, mientras que otro 20% tienen de ambos, y los restantes 30%
no tienen ni bonos ni acciones. Entonces; si un inversionista. es propietario de
acciones, ¿cual es la probabilidad de que también sea inversionista con bonos?
RESPUESTA
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
Diagrama de Venn:
0,25(40)=10
B
A
40
20
10
30
P (B/A)=P (B  A)/P(A)=20/60=0,33333
El 33% de que un inversionista que es propietario de acciones, también es
inversionista con bonos.
7. Una pieza de equipo electrónico tiene tres partes esenciales. Anteriormente la
parte A ha fallado el 20% del tiempo; la parte B, 40% del tiempo y la parte C,
30% del tiempo. La parte A opera independientemente de las partes B y C. Las
partes B y C están interconectadas, de tal manera que la falla de cualquiera
afecta a la otra. Por eso, cuando falla la parte C, dos de tres veces puede fallar
también la parte B.
Suponga que por lo menos dos de las tres partes deben operar para permitir el
funcionamiento del equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione?
RESPUESTA
El siguiente esquema muestra la conexión conforme se detalla. B y C están
en serie y A en paralelo.
A
B
C
P(A)=0,2 P (B)=0,4 P(C)=0,3
El equipo puede operar del modo siguiente:
P (I  II) =P (I) +P (II)-P (I  II)
1
2
1
Donde: P (I)=P(A)=0,2
P (II)= (0,4)+ (0,3)=
3
3
3
Luego:
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
1 1
P (I  II) =0, 2+ - (0, 2) =0,467
3 3
8. El jefe de policía de un área metropolitana estaba revisando las estadísticas del
número de accidentes fatales de peatones durante el año anterior. De un total
de 12 muertes, notó que 6 muertes ocurrieron mientras el peatón cruzaba con
la luz apropiada y 6 murieron mientras cruzaban la calle con la luz roja. ¿Podría
concluir el jefe de policía en qué es tan peligroso obedecer las señales de
tráfico al cruzar la calle como desobedecerlas? Explique por qué.
RESPUESTA
Calculamos la probabilidad de un accidente con luz roja y en luz verde:
a) Luz roja: P(R)=6/12=0,5
b) Luz verde: P(V)=6/12=0,5
c) De ambos sucesos: P(R) P(V) =0,5(0,5) =25
Pero ambos sucesos pueden calcularse como roja para uno y al mismo tiempo
verde para el otro:
P(R  V) =6/12=0,5
Luego P(R) P(V)  P(R  V)
Esto indica que los sucesos no son independientes.
9. Si un empleado elude su trabajo el 30% del tiempo, ¿cuál es la probabilidad de
que sea sorprendido, si su jefe lo controla cuatro veces al azar?
RESPUESTA
Cada vez que se le controla, el suceso es independiente, cada suceso se
calcula a continuación:
P(I)=0,3 P(II)=0,3(0,7)=0,21 P(III)=0,3(0,7)2=0,147
P(IV)=0,3(0,7)3=0,1029
Sin embargo, el jefe tiene la ventaja de sorprenderlo en cualquiera de los
casos:
P (I  II  III  IV)=0,3+0,21+0,147+0,1029=0,7599
Es probable que sorprendan al empleado con 75,99%.
10. Como capitán en un juego de béisbol, en un momento crucial usted considera
que su “pitcher” tiene un 70% de probabilidades para poner “out” al siguiente
bateador. Usted puede reemplazarlo con un relevo, que tiene 90% de
probabilidades de obtener el “out’, si está en su mejor momento, pero sólo el
40% si no está en su mejor momento. Su entrenador de lanzamiento le informa
que, según las observaciones que hizo durante el entrenamiento, él cree que el
“lanzador” de relevo tiene alrededor de 70% de probabilidades de estar en su
mejor momento, ¿cambiaria usted de ‘pitcher”?
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
RESPUESTA
P(O)=0,7
P (RB)=0,9
P (RM)=0,4
P (M)=0,7
Para cambiarlo, debe considerase la falla del primer out:
P (O´)=0,3
En el mejor momento:
P (O´)=0,3
P (RB)=0,9
P (M)=0,7
P (O´  RB  M)=0,3(0,9) (0,7)=0,189
En el peor momento:
P (O´)=0,3
P (RM)=0,4
P (O´  RM)=0,3(0,4)=0,12
No es necesario cambiar el pitcher, la baja probabilidad de falla del jugador
titular así lo indica.
GUÍA PRÁCTICA POR RESOLVER
Cálculo de Probabilidades
1. Se lanza un dado:
a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos de Ω contenido en el suceso de que el resultado
sea par.
c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el
resultado sea, mayor que 4.
2. Un experimento consiste en lanzar dos monedas
simultáneamente.
a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga
exactamente una cara.
c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga al
menos una cara.
3. Se lanza un par de dados:
a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma de los
puntajes sea 9.
c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma sea 4 ó
5
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
4. Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un proceso
manufacturero y observar si son defectuosos D o no son defectuosos D’.
a) Enumérese todos los elementos del espacio muestral Ω.
b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que el
número de piezas defectuosas sea 1.
c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que los
números de piezas defectuosas sea al menos 1.
5. Se lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener.
a) Exactamente una cara?
b) Por lo menos una cara?
c) No obtener una cara?
6. Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener?
a) 7?
b) 7 u 11?
c) Suma divisible por 3?
d) No obtener 7?
7. Se elige una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de
que sea?
a) Un as?
b) Una espada?
c) Un as o una espada?
d) Un as o una carta roja?
e) Una carta con una figura
Lic. Luis J. Castillo Vásquez
8.
La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es 0,10; de que truene es 0,05 y de
que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene en ese día?.
9.
En cierta zona de la ciudad, la probabilidad de que una persona tenga televisor
es 0,80; una máquina lavadora es 0,50 y que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la
probabilidad de que una familia tengan televisor o máquina lavadora o ambas cosas?.
10. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un
día es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0, 1 ó 2 autos en ese día?
11. La probabilidad de que la señora hablantina reciba a lo más 5 llamadas telefónicas
en un día es 0,20; y por lo menos 9 llamadas telefónicas en un día es 0,50. ¿Cuál es la
probabilidad de que la señora hablantina reciba 6, 7 ú 8 llamadas en un día?
12. Una caja contiene 100 tubos de televisor. La probabilidad de que haya al
menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que tenga al menos dos tubos defectuosos
es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga:
a)
Ningún tubo defectuoso?
b)
Exactamente
un
tubo
defectuoso? c)
A lo más un tubo
defectuoso?
Cálculo de Probabilidades Regla de la Multiplicación
13.
Dado que p(A) = 0,50 y p (A∩B) = 0,30, encontrar p (B/A) =
14. De los estudiantes de una universidad, el 35% son varones y el 8% son varones
que estudian contabilidad. Si se elige un estudiante al azar y éste resulta ser varón.
¿Cuál es la probabilidad de que estudie contabilidad?
15. Una urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras, si se saca dos bolas. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos sean blancas si:
a)
Se extrae sin restitución. b)
Se extrae con restitución.
16. La urna A contiene 5 bolitas blancas y 7 rojas y la urna B contiene 3 bolitas
blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna B. ¿Cuál es la
probabilidad de que las dos bolitas sean blancas?
17. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 6 rojas, la urna B contiene 3 bolitas blancas
y 5 rojas y la urna C 7 blancas y 7 rojas. Se saca una bolita de cada urna. ¿Cuál es la
probabilidad de que sean las tres del mismo color?