4 2 5 3

Sucesiones y Series
0011 0010 1010 1101 0001Coaching
0100 1011
de matemática
Escuela Eduardo Neumann
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Introducción
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Situación 1: Suponga que estás en el techo de un edificio
bien alto y tiras una piedra al vacío la cual recorre 16 pies en
el primer segundo, 48 pies en el segundo, 80 pies en el tercero
y así sucesivamente. ¿Qué distancia recorrerá el objeto en el
4, 5, 6 y 7 segundo?
1
2
4
Situación 2: Cuando una bacteria entra al cuerpo humano se
duplica a la primera hora y se sigue duplicando cada hora que
pasa. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 10 horas?
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
¿Qué es una sucesión?
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
En general, una sucesión es un conjunto de
números reales en un orden específico. Cada
número es llamado un término de la sucesión.
Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Por
ejemplo,
Finitas
Infinitas
a) 2, 4, 6, 8
c) 1, 6, 11, 16, …
b) -27, -24, …,30
d) 2, 4, 8, 16,…
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Formas para representar una sucesión
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Sucesión de forma recursiva
1
2
• Sucesión con fórmula general o una función
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
4
Sucesión de forma recursiva
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Una sucesión está dada en forma recursiva
cuando se ofrecen los siguientes datos:
a. el primer o los primeros términos de la
sucesión
b. se especifica cómo encontrar los términos
subsiguientes de la sucesión utilizando los
primeros
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Ejemplo
Lístense los primeros 5 términos de la sucesión
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
descrita por a1  5 y an  an1  2 para n 2,3, 4,...
Solución:
a1  5
a2  a21  2  a1  2  5  2  7
a3  a31  2  a2  2  7  2  9
a4  a41  2  a3  2  9  2  11
a5  a51  2  a4  2  11  2  13
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Ejercicio
Lístense los primeros 5 términos de la sucesión
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
descrita por a1  4 y a  1 a para n  2
2
Solución:
a1  4
n
n 1
1
1
1
a21  a1  (4)  2
2
2
2
1
1
1
a3  a31  a2  (2)  1
2
2
2
a2 
1
1
1
1
a4  a41  a3  (1) 
2
2
2
2
1
1
1 1
1
a5  a51  a4  ( ) 
2
2
2 2
4
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Sucesión con fórmula general o una función
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Considera la función f (n) = 2n -1 donde el dominio
de la misma es el conjunto de los números
naturales. La función f es un ejemplo de una
sucesión, sin embargo, no es muy común
representar sucesiones de esta manera. La notación
para una sucesión es an . Por consiguiente, en lugar
cuando una función se escribe para representar una sucesión
se escribe an  2n  1.
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Primeros 5 términos de la sucesión pasada
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
an  2n  1
a3  2(3)  1  5
a1  2(1)  1  1
a1  2(4)  1  7
a2  2(2)  1  3
a5  2(5)  1  9
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Serie
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
La suma de los términos de una sucesión se
denomina serie. Las series se clasifican en finitas e
infinitas. Para trabajar con las series es importante
conocer el símbolo de sumatoria. Por ejemplo, en la
sucesión1, 2, 4, 8, 16 la serie es 1 + 2 + 4 + 8 + 16.
Con frecuencia una serie se representa de forma más
compacta por medio de la notación de sumatoria que
introduciremos en la siguiente diapositiva.
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Símbolo de sumatoria
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Considera los siguientes ejemplos
3
1)
k
2
3
2

2

2

2
 2 48

k 1
k 1 2 3 4
2) 
  
3 4 5
k 3 k
5
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Sucesión aritmética
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Considera la sucesión obtenida en la primera
situación que resolvimos al comenzar esta
presentación. La sucesión era 16, 48, 80, … En la
misma se observó que cada término siguiente se
puede obtener sumándole 32 al anterior. Cuando una
sucesión es de esta forma se dice que es aritmética
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Sucesión aritmética (cont.)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Una sucesión a1 , a2 , a3 ,..., an ,... se dice que es aritmética
si existe una constante d, llamada diferencia
común tal que,
an  an 1  d
Es decir,
an  an1  d ; n  1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Ejemplos
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
La sucesión 3, 5, 7, 9… es aritmética con
d=2
1
2
La sucesión -7, 0, 7, 14… es aritmética con
d=7
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
4
Fórmula para el enésimo término de una
sucesión aritmética
Utiliza el hecho de que en una serie aritmética
an  an 1  d para tratar de desarrollar una fórmula
para hallar el enésimo término en una serie
aritmética. Puedes utilizar la sucesión 3, 6, 9, 12, …
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
a1  3
a2  a1  d  3  3  6  1d  a1
a3  a2  d  6  3  9  2d  a1
a4  a3  d  9  3  12  3d  a1
a5  a4  d  12  3  15  4d  a1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Fórmula para el enésimo término de una
sucesión aritmética (cont.)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
El enésimo término de una sucesión aritmética
está dada por:
para todo n > 1
an  a1  (n  1)d
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Ejercicio
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1) Halla el término número 25 en la sucesión
3, 6, 9, 12, …
1
2
2) Si el primero y el décimo término de una
sucesión aritmética son 10 y 30,
respectivamente, encuentre el término 50
de la sucesión.
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
4
Historia curiosa de Gauss (1777-1855)
0011 0010
1010Carl
1101
0001 0100
1011
Estaba
Friedrich
Gauss
allá por el año 1787 en la
escuela. En el salón todos los niños empezaron a tirarse
papeles, tizas, etc. En ese momento apareció el maestro y
ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos
los números del 1 al 100. El profesor debió pensar, durante
un buen rato me dejarán todos estos mocosos en paz. A los
pocos minutos nuestro pequeño genio se levantó del pupitre y
entregó la respuesta correcta: 5,050. El profesor debió
pensar que había puesto un número al azar y se dispuso a
hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato y para
su sorpresa comprobó que la suma pedida era 5,050. ¿Cómo
lo hizo Gauss?
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Solución
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Gauss tenía que sumar los siguientes números:
S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+95+96+97+98+99+100
Gauss se percató de que si agrupaba los número por parejas,
como a continuación obtendría lo siguiente:
S = 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99 + 100
+ S =100 + 99 + 98 +…+ 3 + 2 + 1
2S =101 +101+101+…+101 +101+101
1
4
Tenemos que 2S = 100(101). Dividiendo por 2 obtenemos que
S = 50(101) = 5,050.
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
Fórmula para serie aritmética
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• La suma de los primeros n términos en una
sucesión aritmética con el primer término
a1 y el enésimo término an es
n(a1  an )
Sn 
2
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Ejercicio
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1) Encuentra los primeros 30 términos de la
sucesión 3, 8, 13, 18 …
2
4
2) Halla la suma del los primeros 50
términos de la sucesión anterior
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
Sucesión geométrica
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Considera la sucesión obtenida en la segunda
situación que resolvimos al comenzar esta
presentación. La sucesión era 1, 2, 4, 8, 16,… En la
misma se observó que cada término siguiente se
puede obtenerse multiplicándole 2 al término
anterior. Cuando una sucesión es de esta forma se
dice que es geométrica.
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Sucesión geométrica (cont.)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Una sucesión a1 , a2 , a3 ,..., an ,... se dice que es
geométrica si existe una constante r distinta de
cero, llamada razón común tal que,
an
r
an 1
Es decir,
an  ran1; n  1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Ejemplos
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
La sucesión 1, 3, 9, 27… es geométrica con
r=3
1
2
La sucesión 10, -20, 40, -80… es geométrica
con r = -2
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
4
Fórmula para el enésimo término de una
sucesión geométrica
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Utiliza el hecho de que en una serie geométrica
an  a1r n 1 para tratar de desarrollar una fórmula
para hallar el enésimo término en una serie
aritmética. Puedes utilizar la sucesión 3, 6, 12, 24, …
a1  3
a2  ra1  (2)3  ra1  6
a3  ra2  2(6)  3(22 )  r 2 a1  12
a4  ra3  2(12)  23 (3)  r 3a1  24
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Fórmula para el enésimo término de una
sucesión geométrica (cont.)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
El enésimo término de una sucesión geométrica
está dada por:
an  a1r n 1
1
para todo n > 1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Ejemplo
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Halla el séptimo término de la sucesión geométrica
1 1
1, , ,...
2 4
Solución:
Como r  1 y an  a1r n 1 entonces
2
1
a7  1 
2
7 1
1

64
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Ejercicio
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Halla el octavo término de la sucesión geométrica
1, 2, 4, 8,...
Solución:
Como r  2 y an  a1r n 1 entonces,
a8  1 2 
8 1
 256
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
1
2
4
Fórmula para hallar la suma del enésimo
término en una sucesión geométrica finita
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Considera la siguiente suma
Sn  a1  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  a1r n 2  a1r n 1
rSn  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  a1r n  2  a1r n 1  a1r n
1
Restando ambas ecuaciones obtenemos que,
S n  rS n  a1  a1r
n
S n (1  r )  a1 (1  r n )
Sn 
a1 (1  r )
1 r
n
2
4
Ejercicios
1) Halla la suma de los primeros siete términos de
la serie 5, -10, 20,…
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
2) Halla la suma de los primeros cinco términos de la
serie 1, 3, 9,…
Recuerda que:
a1 (1  r n )
Sn 
1 r
4
Acertijo
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Si se coloca 1 centavo en el primer cuadro de
un tablero de ajedrez, 2 en el segundo, 4 en el
tercero y así sucesivamente hasta llegar al
cuadrado 64, ¿qué cantidad de dinero habrá
en el cuadro 64? ¿Cuánto dinero se necesitará
para llenar el tablero?
1
Preparado por: Roberto O. Rivera
Rodríguez
2
4
Suma de una serie geométrica infinita
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• La fórmula para la suma de una serie geométrica
finita, dependiendo del valor de r, se puede
extender para producir una fórmula para la suma
de una serie geométrica infinita. Específicamente,
si la razón común r tiene la propiedad que r  1 se
puede ver que r n tiende a cero cuando n tiende a
infinito. En consecuencia,
a1 (1  r n )
a (1  0)
a
 1
 1 cuando   .
1
1 r
1 r
1 r
2
4
Suma de una serie geométrica infinita (cont.)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Si r  1 entonces la serie geométrica infinita
a1 , a1r , a1r 2 , a1r 3 ,..., a1r n 1 ,... tiene suma
a1
S
1 r
1
2
4
Nota que para que esta fórmula funcione r  1 . ¿Qué
pasaría si r = 1 ó -1. Ofrece ejemplos de series geométricas
en donde r  1 y convéncete de que esta suma no es finita.
Ejemplo

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Instrucciones: Halla las siguiente suma
si existe.
Solución:
1
r


En este caso a1 = 5 y
6 . Como
a
S 1 
1 r

5
5 30
 
 1 7 7
1   
 6 6
1
1
6
 1
5

 
6
k 1 
k 1
1
2
4
entonces,
Ejercicios
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Instrucciones: Halla las siguiente suma si existen.

3
1)   
k 2  5 
 1  k

 1, 000   2
k 1 


2)
k
1
2
4