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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
Introducción
En el presente informe se estudia el comportamiento de un sistema conformado por cuatro
subsistemas, con el objetico de encontrar la configuración de éstos que logre la maximización de la
confiabilidad del sistema completo en un tiempo dado de 2 años, analizando además la tasa de falla que
éste presenta.
Se debe recordar que confiabilidad es una característica que mide cuan satisfactoriamente un sistema
realiza su labor, entregando valores entre 0 y 1, según el nivel de satisfacción. Además la confiabilidad se
puede observar considerando al sistema como un todo o bien como la interacción de las confiabilidades de
los diversos subsistemas que lo componen. En el caso estudiado en este informe se considerará el sistema
como un sistema compuesto, es decir, como la interacción de los subsistemas que lo conforman, es por
esto que para comenzar el estudio se calcula la confiabilidad y tasa de falla de cada subsistema por
separado, analizando su comportamiento en el tiempo. A partir de estos análisis y de la evaluación de las
24 configuraciones posibles del sistema, se obtendrá la configuración buscada.
Este procedimiento se realizará suponiendo que el sistema sigue dos distribuciones distintas, primero
se evaluará para una distribución Exponencial y luego para una Weibull.
Luego se compararán los resultados obtenidos cuando el sistema sigue ambas distribuciones para así
deducir cual distribución es más aconsejable utilizar en la configuración del sistema encontrado, basándose
en que presente la menor tasa de falla y mayor confiabilidad, entre de los resultados tanto cuantitativos
como cualitativos de las dos distribuciones.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
a) Determinación de confiabilidad de cada subsistema
Subsistema N°1
Rc1(t)*Rc2(t)
Rc3(t)
Rc1(t)*Rc2(t)
Rs1(t) = [1-[(1-Rc3(t))*(1-Rc1(t))*Rc2(t)]]*Rc3(t)
Subsistema N°2
Rc1(t)*Rc2(t)
Rc1(t)*Rc2(t)
Rs2(t) = 1-(1-Rc1(t)*Rc2(t))2
Subsistema N°3
1-(1-Rc3(t))2*(1-Rc4(t))
Rc2(t)
Rc1(t)
Rs3(t) = [1-(1-Rc3(t))2*(1-Rc4(t))]*Rc2(t)*Rc1(t)
Subsistema N°4
Rc1(t)
1-(1-Rc3(t))3
Rc2(t)
Rs4(t) = [1-(1-Rc3(t))3]*Rc1(t)*Rc2(t)
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
Para el desarrollo del cálculo de la confiabilidad de los subsistemas, se utilizaron las expresiones
correspondientes, según el tipo de configuración que presentan.
Para el cálculo de confiabilidad de componentes en paralelo se uso:
Rs(t) = ∑𝑛1(1 – (1 − Ri(t)))
Y para el cálculo de confiabilidad de componentes conectados en serie se utilizó:
Rs(t) = ∏𝑛1 𝑅𝑖(𝑡)
Para el caso de los subsistemas completos, al tratarse de sistemas formados por componentes
conectados en serie y paralelo, se utilizó la combinación de ambos cálculos.
Al resolver los sistemas, se encuentran las expresiones de confiabilidad de cada uno, en función de las
confiabilidades de cada componente, por lo que no es posible evaluar aún las expresiones en el tiempo
indicado (2 [años]). Se necesita conocer la distribución a la que corresponde cada subsistema, para obtener un
resultado numérico. Esto es lo que se desarrolla en la parte b del proyecto.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b) Determinación y maximización de las confiabilidades según:
b1) Distribución de Probabilidades Exponencial
𝑡 1
1
f(1/θ*t)= 1/θ*еxp{-1/θ*t}  Ft(t)= ∫0 𝜃*exp{-𝜃*t}dt
1
𝜃
= 1-exp{- ∗ 𝑡}
Se sabe que en una distribución Exponencial la esperanza se calcula a través de la siguiente expresión:
E[t]= θ
Considerando la información que entrega el enunciado que señala que la media de los componentes
es la indicada por los subíndices de cada uno en decenas de años, se tienen los siguientes valores de
esperanza:
Ec1[t] = θ1 = 10[años]
Ec2[t] = θ2 = 20[años]
Ec3[t] = θ3 = 30[años]
Ec4[t] = θ4 = 40[años]
Como
1
𝜃
R(t) = 1- Ft(t)  Ri(t) = 1-(1-exp{- ∗ 𝑡 }
Evaluando en los resultados conocidos de θi, se tiene
1
R1(t) = exp{- 10}
1
R2(t) = exp{- 20}
1
}
30
1
exp{- }
40
R3(t) = exp{R4(t) =
Evaluando t=2[años] se obtiene:
Rs1(t)=
Rs2(t) = 1
t 30
1
Rs3 (t) =
3 t 20
Rs4(t) =
t 30
1
3 t 20 2
1
3 t 20
3 t 20
1
1
1
1
1
t 30 2
 Rs1(t=2) = 0.91986959
Rs2(t=2) = 0.93282481
t 40
1
t 30 3
Rs3(t=2) = 0.74066794
 Rs4 t=2) = 0.74061949
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b1.1) Evolución de las confiabilidades de los cuatro subsistemas

Distribución exponencial
Confiabilidad
1
0.8
____Subsistema Nº1
____Subsistema Nº2
____Subsistema Nº3
____Subsistema Nº4
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
Este gráfico representa el comportamiento de las confiabilidades de cada subsistema en el tiempo.
Cabe recordar que un sistema que presenta una conformación de sus componentes en paralelo tiene una
mayor confiabilidad final que la de un sistema con sus componentes ubicadas en serie, bajo este criterio es
posible corroborar los resultados obtenidos de los comportamientos mostrados en el gráfico.
Por este motivo se observa que el subsistema que presenta mayor confiabilidad a los 2 años es el
Subsistema Nº2 pero esto no quiere decir que este sea el mejor subsistema ya que claramente observando el
gráfico se ve como decae su confiabilidad en el tiempo más rápido que el subsistema Nº1. Se observa además
que el subsistema Nº1 tras transcurrir aproximadamente 3 presenta una confiabilidad mucho más alta que los
demás esto se debe a que tiene una configuración mixta mezclando componentes en serie y paralelo. Y por
último se encuentran las configuraciones de los Subsistemas Nº3 y Nº4 que corresponden a configuraciones en
serie principalmente; alcanzando valores muy cercanos.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b1.2) Evolución de las tasa de fallas de los cuatro subsistemas

Distribución exponencial
El cálculo de la tasa de falla r(t) se encuentra a través de la siguiente expresión:
𝑅´(𝑡)
r(t)= − 𝑅(𝑡)
Donde R’(t) corresponde a la derivada de la confiabilidad de cada subsistema.
GRAFICO
Tasa de Falla
____Subsistema Nº1
____Subsistema Nº2
____Subsistema Nº3
____Subsistema Nº4
0.15
0.125
0.1
0.075
0.05
0.025
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
A raíz del gráfico se puede ver que las tasas de falla de los subsistemas 3 y 4 tienen las mayores tasas
de fallas, las cuales son altas y además se mantienen relativamente constantes en el tiempo, por lo que se hace
muy poco recomendable hacer uso de estos subsistemas. La tasa de falla del subsistema 2 en un principio es
muy baja, se podría decir que nula, pero a medida que pasa el tiempo, esta va aumentando de manera
importante (mas dentro de los primeros 10 años), hasta llegar a un nivel alto pero relativamente constante. Por
otra parte, la tasa de falla del subsistema 1 es más alta que la del subsistema 2, pero solo dentro del primer
año, dado que luego de este período, los valores de ambas se cruzan y la tasa de falla del subsistema 1 se torna
muy estable en el tiempo.
Como conclusión se puede decir que el subsistema 1 es el que presenta una menor tasa de falla en el tiempo y
por lo tanto el mas recomendable a utilizar.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b1.3) Configuración de los subsistemas que entrega un sistema de máxima confiabilidad
Mediante la ayuda de Excel se encontró la configuración de los subsistemas que arroja el mayor valor
de confiabilidad del sistema, dentro de todas las combinaciones posibles.
1
Rs(t) =
1
1
1
3 t 20 2
1
3 t 20 2
3 t 10
1
1
1
t 30
1
t 30
1
t 30 3
1
1
1
1
1
1
3 t 20
1
3 t 20
t 30 2
1
t 30
1
t 30
1
t 40
El valor de esta expresión evaluada en las dos configuraciones siguiente en t=2 entregan los resultados
máximos de confiabilidad para el sistema.
Configuración Nº 1
C3
C4
C2
C1
Rs(t=2) = 0.89908022
Configuración Nº2
C4
C3
C2
C1
Rs(t=2) =0.89908022
Se observa que los Subsistemas 3 y 4 al estar en serie pueden invertir su orden sin alterar el valor de la
confiabilidad del sistema.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
Gráfico
Confiabilidad maximizada en función del tiempo
Confiabilidad
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico:
Este gráfico representa el comportamiento de la confiabilidad en función del paso del tiempo. Como se
puede apreciar, la confiabilidad tiene los mayores valores durante los primeros 10 años, pero también decrece
rápidamente en este lapso. Luego, el decrecimiento se hace mas tenue, sin embargo la confiabilidad del
sistema ya tiene un valor muy pequeño.
Por lo tanto se puede recomendar hacer uso de esta configuración de subsistemas durante los
primeros 10 años, pero teniendo precaución con la rápida caída de la confiabilidad durante ese tiempo.
Luego de este tiempo la confiabilidad disminuye a tal punto que es muy poco recomendable hacer uso de esta
configuración.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b1.4) Cálculo y gráfico de la tasa de falla de la configuración que maximiza la confiabilidad
El cálculo de la tasa de falla r(t) se encuentra a través de la siguiente expresión:
𝑅´(𝑡)
r(t)= − 𝑅(𝑡)
Donde R’(t) corresponde a la derivada de la confiabilidad de la configuración que la maximiza.
Reemplazando los valores de R(t) de cada subsistema se encuentra la tasa de falla del sistema cuya
configuración maximiza la confiabilidad y graficando se obtiene:
Tasa de falla maximizada en función del Tiempo
Tasa de falla
0.2
0.15
0.1
0.05
5
10
15
20
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
De este gráfico se puede observar que la tasa de falla aumenta de manera importante
aproximadamente durante los primeros 10 años, lo que coincide con el mayor decaimiento de la confiabilidad
de esta configuración. Después de ese lapso, la tasa de falla sigue aumentando, pero ya de manera menos
considerable, incluso se podría considerar que se mantiene constante.
De todas maneras la tasa de falla para la distribución exponencial es bastante alta a partir de los 10
años, por lo que no es recomendable la distribución exponencial para esta configuración de subsistemas.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b2) Distribución de probabilidades Weibull
f(x/λ,α) = α*λαxα-1 *exp{- (λx)α}  Ft(t) = 1- exp{-(λt)α}
Se sabe que α = 2/3 y λ= 1/9
Luego:
1
R(t) = 1- Ft(t)  Ri(t) = exp{-(9 ∗ 𝑡)2/3 }
Evaluando en las expresiones encontradas en la parte a se obtienen las confiabilidades de cada
subsistema en 2 [años] que corresponden a:
Rs1(t=2) = 0.582261
Rs2(t=2) = 0.729704
Rs3(t=2) = 0.466194
Rs4(t=2) = 0.466194
b2.1) Evolución de la confiabilidad de los cuatro subsistemas

Distribucion Weibull
Confiabilidad
1
____Subsistema Nº1
____Subsistema Nº2
____Subsistema Nº3
____Subsistema Nº4
0.8
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
Al tener distintas configuraciones de los cuatro componentes puestos en serie, paralelo o mixto se
obtienen confiabilidades distintas. Esto se debe a las configuraciones en serie que provocan una disminución
en la confiabilidad del sistema, en cambio en paralelo ésta aumente; pero a su vez distribuidos en forma mixta
se pueden obtener confiabilidades distintas que varían dependiendo donde se encuentren los componentes.
Analizando el gráfico obtenido se observa que el Subsistema Nº2 predomina sobre los demás en
confiabilidad, esto se debe a su configuración con componentes que se encuentran en forma mixta y
distribuidos idealmente. Se observa además que la confiabilidad ya pasados los 20 años es prácticamente 0
para el subsistema Nº3 y Nº4 y en cambio el Subsistema Nº2 todavía puede ser considerado como confiable
con aproximadamente 0.1 de confiabilidad.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b2.2) Evolución de las tasa de fallas de los cuatro subsistemas
El cálculo de la tasa de falla r(t) se encuentra a través de la siguiente expresión:
𝑅´(𝑡)
r(t)= − 𝑅(𝑡)
Donde R’(t) corresponde a la derivada de la confiabilidad de la configuración de cada subsistema.
GRAFICO
Tasa de Falla
0.6
0.5
____Subsistema Nº1
____Subsistema Nº2
____Subsistema Nº3
____Subsistema Nº4
0.4
0.3
0.2
0.1
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
Se observa el comportamiento de las tasas de falla de cada subsistema y se llega a la conclusión que el
Subsistema Nº3 y Nº4 (Azul) presentan una tasa de falla mayor, esto quiere decir que sus componentes fallan
más en el tiempo. Además tener una tasa de falla más alta implica una confiabilidad menor y se corrobora lo
dicho anteriormente en donde se afirma una baja confiablidad para los Subsistemas Nº3 y 4.
La tasa de falla más baja la tiene el Subsistema Nº2 de lo que se deduce que su confiabilidad es mayor y
se comprueba lo dicho en el punto anterior.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b2.3) Configuración de los subsistemas que entrega un sistema de máxima confiabilidad
Mediante el mismo procedimiento anterior, se obtienen:
Configuración Nº1
C4
C3
C2
C1
Rs(t=2) = 0.491127852
Configuración Nº2
C3
C4
C2
C1
Rs(t=2) = 0.491127852
Al igual que en el caso anterior se observa que los Subsistemas 3 y 4 al estar en serie pueden invertir su
orden sin alterar el valor de la confiabilidad del sistema.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
Confiabilidad maximizada en función del tiempo
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
5
10
15
20
25
30
Análisis del gráfico
Se observa claramente el descenso de la confiabilidad a medida que transcurre el tiempo, y a partir de
los 15 años aproximadamente se obtiene una confiabilidad prácticamente de 0, se ve claramente un descenso
más pronunciado que para una distribución exponencial ya que la confiabilidad de la exponencial a 15 años es
aproximadamente de 0.1. Para t=0 se obtiene una confiabilidad del 100% en todos los casos, y dependiendo de
la distribución que tengan los componentes de los sistemas se obtienen variaciones de éstas en el tiempo.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
b2.4) Cálculo y gráfico de la tasa de falla de la configuración que maximiza la confiabilidad
Para el cálculo de la tasa de falla se considera la configuración del sistema con máxima confiabilidad. Usando
los valores de R(t) calculados anteriormente y mediante la misma expresión utilizada para el cálculo de la tasa
de falla en b1b) se obtiene el siguiente gráfico:
Tasa de falla en función del tiempo
Tasa de falla
0.3
0.2
0.1
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
Inicialmente la tasa de falla aumenta rápidamente hasta alcanzar un valor máximo transcurridos 2 años
con un valor de 0.387332 y luego empieza a decrecer en el tiempo lentamente lo que implica que a medida que
transcurre el tiempo los componentes empiezan a fallar en menor cantidad. A pesar de esto su confiabilidad es
menor que en el caso de la exponencial debido a su rápido decaimiento.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
C) Comentarios
c1) Comparación de confiabilidad entre distribuciones Exponencial y Weibull
Confiabilidad
1
0.8
_______ Distribución Exponencial
_______ Distribución Weibull
0.6
0.4
0.2
5
10
15
20
25
30
Tiempo [años]
Análisis del gráfico
El gráfico representa el comportamiento de la confiabilidad con el paso del tiempo que en color verde
representa a la confiabilidad maximizada se un sistema que sigue una distribución Exponencial y en color rojo,
la confiabilidad maximizada de un sistema que sigue una distribución Weibull.
Se observa una clara diferencia entre las curvas y además, que la configuración que maximiza la
confiabilidad de un sistema que sigue una distribución Weibull, decrece más rápidamente en el tiempo que
cuando el sistema sigue una distribución Exponencial.
Esta situación es corroborada por los resultados de los cálculos de confiabilidad realizados
anteriormente mediante los cuales se obtuvo un valor más pequeño para el caso del sistema que seguía una
distribución Weibull, lo que es de esperar ya que la expresión de confiabilidad de la distribución Exponencial es
representada por una exponencial que decrece más lentamente en el tiempo que la exponencial de la
expresión que representa la confiabilidad de la distribución Weibull.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
c2) Comparación de tasas de falla entre distribuciones Exponencial y Weibull
Tasa de falla
_______ Distribución Exponencial
_______ Distribución Weibull
0.3
0.2
0.1
10
20
Análisis del gráfico
30
40
50
Tiempo [años]
Este gráfico representa el comportamiento de la tasa de falla de la configuración que maximiza la
confiabilidad de un sistema que, en color verde sigue una distribución Exponencial y que en color rojo sigue
una distribución Weibull.
Que un sistema que sigue una determinada distribución tenga una tasa de falla menor que la tiene el
mismo sistema con otra distribución quiere decir, que el sistema presenta una proporción menor de
elementos que fallan en un intervalo de tiempo determinado.
En el gráfico, las curvas muestran que hasta los 24 años aproximadamente el sistema que sigue un
distribución Exponencial presenta una menor tasa de falla, sin embargo luego de este número de años la
situación se invierte ya que el sistema que sigue una distribución Weibull disminuye considerablemente su tasa
de falla alcanzando valores por debajo de los obtenidos con la distribución Exponencial.
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Proyecto Nº2 Probabilidad y Estadística Mat-041
Conclusiones
Cabe destacar que muchos fenómenos físicos se pueden modelar mediante expresiones
matemáticas, y por medio de éstas se pueden establecer especificaciones a un determinado
producto.
En este caso se analizó la confiabilidad de sistemas configurados en forma mixta con
distribuciones Exponencial y Weibull, y se ha llegado a la conclusión que la distribución que se
recomienda utilizar es la Exponencial ya que su confiabilidad es superior a la de la distribución
Weibull. Se hace esta elección debido a que la distribución Weibull decae rápidamente en el tiempo y
no es conveniente ya que siempre se busca que un sistema tenga una mayor duración y confiabilidad
posible.
La configuración de cada subsistema recomendado depende del tiempo de vida que se desee dar al
sistema, si se requieren menos de 2 años se hace referencia a la configuración 2 ya que posee componentes en
paralelo y dentro de éste en serie, lo que genera una confiabilidad mucho mayor. En cambio si se requiere que
la duración del sistema sea mayor a 2 años se recomendaría utilizar la configuración 1 que supera la
confiabilidad de la elección anterior. Cabe mencionar que ambas configuraciones se recomiendan con una
distribución Exponencial ya que la confiabilidad aumenta mucho más que si se utilizara una Weibull.
Para el caso de la configuración del sistema que maximiza la confiabilidad de éste, se recomienda
utilizar la siguiente configuración:
Subsistema 4
Subsistema 3
Subsistema 2
Subsistema 1
Al ubicar los subsistemas de esta manera se obtienen los niveles máximos de confiabilidad del sistema
completo. Además cabe destacar que al invertir el orden de los subsistemas 3 y 4 se mantiene el valor de la
confiabilidad máxima ya que estos se ubicar en serie lo cual representa otra configuración posible.
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