UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA ÁREA DE MATEMÁTICAS GUIA N° 3 2016-1 Dependencia: Facultad de Ciencias Asignatura: Cálculo Diferencial Empresariales y Económicas 1. Determine la pendiente de la tangente a las gráficas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Encuentre la ecuación de la recta tangente en cada caso. a. y = 3x 2 − 4 en x = 2 b. y = x 2 − 4 en x = −2 1 en x = 3 x 1 d. f(x) = en x = 2 x−1 c. f(x) = e. y = x 2 + x , en el punto a) (1, 2) f. y = b) (−1,0) 1 3 x 2 en el punto (4,2) 4 g. y = 1 − x 2 en el punto (2, −3) 2. Calcule la derivada de las siguientes funciones a. f(x) = x17 b. f(x) = 5x − 4 5 c. f(x) = √x 4 d. f(x) = x17 e. f(x) = 5 3 √x 2 3. Utilice el álgebra de derivada para calcular la derivada de las siguientes funciones 4 a. y = √x 3 + 5x 4 b. y = (6x 4 + 4x 3 )(x 2 − 5x) c. y = x5 2x + 3 3 d. y = √x(x 3 + 2x)) e. f(x) = x 9 − 5x 8 + x + 12 1 1 1 f. y = + 2 − t t √t 1 3 g. y = √x + 3 √x 3 x2 2 1 x h. y = − + − x2 + 2 + 16 x 3x 3 2 2 1 x2 x+2 i. y = − 2 + x 3 + + + √5 + x 3 2 √x 4 5 2 x − 4x j. y = x3 1 5 1 (x − 2x 3 + 1) (x − ) 3 x 2 1 l. f(x) = 2 (2x 2 − 2 ) (2 − x)(2 + x) 2x x5 m. f(x) = 2 (x + 1)(x 3 + 4) k. y = 4. Utilice la regla de la cadena para calcular la derivada de las siguientes funciones a. y = (4x − 5)3 b. y = (x 3 + 3x)5 c. y = √3x − 2 d. y = e. y = 1 (2x − 6)4 (x 2 2 + 6x − 3)5 5. Encuentre la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas a. y = e2x−1 b. y = ex 2 +3x c. y = x 3 + e3x+2 d. y = x 3 ex 2 e. y = ln(x 2 − 5x) f. y = ln(5x 3 ) g. y = ln(4x 3 + 2x) h. y = ln(e2x − 1) i. y = √3x − 2 j. y = ln(3x − 1) + e5x k. y = 2e(x l. y = e√x 2 +1)3 2 −9 6. Calcule las derivadas primera y de orden superior de las siguientes funciones con respecto a la variable independiente correspondiente. a. y = 5x 4 − 2x 3 − x 2 b. y = −2x 3 − 4x c. Encuentre y ′′ si y = 4x 3 x2 − 3 d. Encuentre y ′′ si y = lnx e. Encuentre y ′′′ si y = xlnx f. Encuentre y (4) si y = xex g. Encuentre y (4) si y = x (4) + e2x 7. Halle la derivada y’ implícitamente a. x 2 y 2 + 2y = 2x b. 3x y 3 − 5x = 8y 2 c. √xy − 2y 2 = −3x d. x−5 = 2x − 3y 2 y e. e2y + 3lnx = 2xy 8. Resuelva los siguientes problemas a. El productor de ciertos artículos de consumo estima que el costo total de producir 𝑥 cantidad de artículos se expresa por C(x) = 1.000 + 8x + 0,3x 2 (miles de peso). Determine: a. La función costo promedio b. El costo promedio de producir 50 artículos. Interprete el resultado c. El costo marginal al producir 70 artículos b. La función precio de vender x cantidad de artículos producidos por un fabricante viene dada por p = 10 − 0,3x. Determine a. La función ingreso b. El ingreso marginal al producir el artículo 150 Interprete el resultado c. La ecuación de demanda de cierto artículo es p = 120 − 0,7x y la función costo es C(x) = 2.000 + 15x. Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades. d. El ingreso per cápita es la razón entre el producto nacional bruto (PNB) de un país y el tamaño de la población del mismo. El PNB de cierto país está aumentando con el tiempo de acuerdo con la fórmula I = 100 + t (Miles de millones de dólares) y la población en el instante t es p = 75 + 2t (millones). Calcule la tasa de cambia percápita en el instante t. e. El ingreso per cápita promedio en cierto país al tiempo t es igual a w = 600 + 500t + 10t 2 (w en dólares y t en años). El tamaño de la población en el instante t (en millones) es p = 10 + 0,2t + 0,001t 2 . Calcule la tasa de cambio del PNB en el instante t. f. La demanda de x cientos de unidades de un producto está dada por 98 x= −1 √2p + 1 , donde p es el precio unitario en dólares. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto al precio cuando p = 24 g. Suponga que el volumen de venta semanal, y (en miles de unidades vendidas), depende del precio unitario del producto de acuerdo con 32 y= ,p > 0 (3p + 1)2/5 , donde p se da en dólares. ¿Cuál es la tasa de cambio en el volumen de venta cuando el precio es de $21? Interprete el resultado. h. Se introduce un producto al mercado y t meses después, su precio unitario es p(t) cientos de dólares, donde Ln(t + 1) p= +5 t+1 Calcular la tasa de variación del precio al 5 mes de haberse introducido al mercado i. El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) está relacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares) mediante la ecuación 5 S = ln [ ] 3 + e−I a. Halle la propensión marginal del ahorro (S´) al consumo respecto al ingreso. b. Calcule e interprete la propensión marginal si I=1. j. El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo con la formula v = 750 × 1.3−t , donde t es el tiempo en meses. Calcula e interpretar la tasa de variación del volumen de ventas a sexto mes de culminar la campaña. BIBLIOGRAFIA 1. ERNEST F. HAEUSSLER, JR. RICHARD S. PAUL. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y la vida. Prentice Hall. México 2. HOFFMANN, L. Cálculo aplicado. McGraw Hill. México 1985. 3. JAGDISH C. ARYA y ROBIN W. LARDNER. Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. Prentice Hall. México. 4. LEITHOLD, LOUIS. Cálculo. Harla. México 5. PIOTR MARIAN WISNIEWSKI y otros. Problemario de Cálculo diferencial de una variable. Internacional Thomson Editores. México, 2001 6. SOLER F., FRANCISCO y otros. Fundamentos de cálculo con aplicación a ciencias económicas y empresariales. Ecoe Edición 7. SMITH R, ROLAND M: Cálculo tomo 1: Mc Graw Hill. 2004