Podemos definir magnitud física como todo aquello que existe en... principio, podría ser medido. Una magnitud escalar es aquella magnitud...

Podemos definir magnitud física como todo aquello que existe en el universo y que, en
principio, podría ser medido. Una magnitud escalar es aquella magnitud física que
queda completamente determinada por un sólo número real (un escalar). Ejemplos de
magnitudes escalares son: la temperatura, el tiempo, la densidad, la presión, la masa,
etc. Una magnitud vectorial sin embargo precisa de más de un parámetro para quedar
definida completamente. En física I la mayoría de magnitudes vectoriales que aparecen
quedan definidas por tres parámetros, que podemos asociar al 'módulo', 'dirección' y
'sentido' de un segmento orientado en el espacio. Ejemplos de magnitudes vectoriales
son: la velocidad, el desplazamiento, la fuerza, la aceleración, etc.
El producto escalar de dos vectores es un magnitud escalar, un número, y no un
vector.
Componentes
La componente de un Vector
de la manera siguiente
en la dirección del Vector
En donde la componente del Vector
sobre el Vector
es un Escalar que se obtiene
es igual al Vector
es
Analíticamente la Componente de un Vector
la siguiente manera:
como él
despejando el Vector
y como
nos quedaría:
por lo tanto.
en la dirección del Vector
se obtiene de
De igual manera podremos encontrar la componente de un Vector
sobre un Vector
Si la Componente es Positiva el Ángulo formado por los Vectores es Agudo y la Componente
tiene el mismo sentido que el Vector
.
Si la Componente es Negativa el Angulo formado por los
Vectores es Obtuso y la Componente tiene sentido
contrario al Vector
.
Vectores
Fecha de primera versión: 24-05-98
Fecha de última actualización: 26-12-98
Definiciones
Vector fijo:
Algunas magnitudes (las fuerzas, las velocidades, las aceleraciones, etc) no quedan
suficientemente definidas con un número. Por ejemplo, si nos dicen que sobre un cuerpo
actua una fuerza de 5 Newton, no podríamos decir en que dirección se movería el
cuerpo, porque no nos han dicho el punto de aplicación de la fuerza, ni la dirección y
sentido de la fuerza. Los vectores resuelven estas indefiniciones.
Un vector fijo es un segmento orientado. Un vector fijo tiene:
Punto de aplicación: es el origen del segmento.
Dirección: Mide la inclinación del segmento. El segmento puede ser horizontal, vertical
o tener una inclinación determinada entre estas dos.
Sentido: Dada una recta con una dirección determinada, nos podemos mover sobre ella,
en dos sentidos (derecha o izquierda).
Módulo: Es el tamaño del segmento. Se representa por |AB|.
A los vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido (o sea que sólo se
diferencian en el punto de aplicación) se les llama equipolentes. Es una forma elegante
de decir que son equivalentes (muy parecidos).
El conjunto formado por todos los vectores fijos, equipolentes a uno determinado (por
ejemplo AB), se le llama vector libre y se representa por {AB} .
Cualquier vector se puede descomponer en suma de otros vectores. En principio hay
infinitas formas de descomponer un vector en suma de otros vectores, pero si elegimos
unas direcciones determinadas (fijamos unos ejes) sólo habrá una forma de
descomponer un vector en suma de otros. Esos vectores que resultan de la
descomposición del vector se llaman componentes del vector.
Vector unitario.
Como su nombre indica un vector unitario es un vector que tiene de módulo 1.
A veces nos dan un vector y nos piden que calculemos su vector unitario (si lo queréis
decir de forma elegante: normalizar un vector). Lo unico que tenemos que hacer es
calcular el módulo del vector (sea m) y dividir el vector por m.
Por ejemplo si el vector es ai + bj, el módulo sera la raiz cuadrada de a2 + b2 .
Operaciones con vectores
Suma
Los vectores libres se pueden sumar. Gráficamente la suma de vectores libres equivale a
poner un vector a continuación del otro. El vector suma será el vector que va desde el
origen del primer vector al extremo del último vector. Si nos dan las componentes de
dos vectores, la suma de esos vectores será igual a la suma de las componentes
(ejemplo: el vector libre a, que está en un plano, tiene componentes 3 y 4 (se representa
asi (3,4)) y el vector libre b tiene componentes (0,-2), la suma de a y b será (3,2).
Multiplicación por un número real
Los vectores libres se pueden multiplicar por un número real n. El vector resultante será
un vector de módulo n veces el original, de la misma dirección que el original y de
sentido igual al original si n es positivo y de sentido contrario si n es negativo.
Teniendo en cuenta que los vectores se pueden sumar entre sí y que se pueden
multiplicar por números reales, podremos obtener vectores haciendo estas operaciones
de suma y multiplicación. Supongamos que un vector v es el resultado de multiplicar un
vector a por 5 y sumarle otro vector b (v = 5a + b), en este caso diremos que v es una
combinación lineal de a y b.
Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos es combinación lineal de los
demás, se dice que ese conjunto de vectores son linealmente independientes y
linealmente dependientes en caso contrario.
En el plano, un vector queda definido por dos componentes (en el espacio de
tres dimensiones, necesitaríamos tres). Cualquier par de vectores linealmente
independientes forman una base del plano vectorial.
En un plano, tres vectores son siempre linealmente dependientes. Esto quiere
decir, que cualquiera de los tres vectores se puede obtener como una
combinación lineal de los otros dos.
¿Cómo averiguar si dos vectores, referidos a una base, en un plano son
linealmente dependientes?
Supongámos que nos pregunta si los vectores a = 4i - 5j y b = 3i + j, que están
referidos a una base B = {i,j}, son linealmente independientes.
Para que a y b sean dependientes tendría que existir un único número real k
que cumpliese la ecuación ka = b. O sea, k(4i - 5j) = 3i + j.
Igualando las componentes: 4k = 3 y -5k = 1. Para que se cumpla la primera
ecuación k tiene que valer 3/4 y para que se cumpla la segunda k tiene que
valer -1/5, por lo tanto los dos vectores son linealemte independientes.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus
modulos y el coseno del ángulo que forman a y b.
El producto escalar de dos vectores es un número (esto que parece una
tontería es muy importante, porque quiere decir que no es un vector)
El producto escalar tiene las propiedades siguientes:
Conmutativa: a.b = b.a
Distributiva respecto a la suma: a.(b+c) = a.b +a.c
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus
modulos y el seno del ángulo que forman a y b.
El producto escalar de dos vectores es otro vector, perpendicular al plano
formado por los vectores a y b.
Vector nulo
Vector Nulo: posee modulo 0 y carece de direccion o sentido!!
En álgebra lineal, el vector nulo o vector cero es el vector (0, 0, …, 0) en el espacio
Euclídeo, cuyas componentes son todas cero. Se escribe usualmente or 0 o
simplemente 0.
Para un espacio vectorial general, el vector nulo es el vector unívocamente determinado
que es el elemento identidad para la adición vectorial.
El vector cero es único; si a y b son vectores nulos, entonces a = a + b = b.
El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado de una multiplicación
escalar por el escalar 0.
La preimagen del vector cero bajo una transformación lineal f se denomina núcleo or
espacio nulo.
Un espacio cero es un subespacio vectorial cuyo único elemento es el vector cero.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_nulo"

Analíticamente:
Para sumar vectores de forma analítica debemos conocer sus
coordenadas cartesianas. Si alguno de los
vectores sumando está expresado en coordenadas polares debemos, en primer lugar, expresarlo en coordenadas
cartesianas. La adición se realiza entonces sumando componente a componente. De esta forma, la suma de los
vectores (2,3) y (-1,2) será el vector (1,5): (2,3)+(-1,2)=(2+[-1],3+5)=(1,5). La adición de vectores se convierte,
en realidad, en una suma de pares de números.
SUMA DE VECTORES
La suma de vectores A y B se obtiene al hacer coincidir el extremo de uno de ellos con el origen del otro; la suma es el
vector que va del inicio del primero al extremo del segundo.
Las propiedades de la suma de vectores son:
Propiedad conmutativa
Propiedad de la desigualdad del triángulo
Propiedad asociativa
La suma de vectores se puede realizar de dos formas, la primera es utilizando la ley de los senos y cosenos, la segunda
forma es por medio de descomposición de fuerzas. Más adelante hay varios problemas aplicando lo antes dicho.
RESTA DE VECTORES.
Restar el vector B del vector A es equivalente a sumarle el inverso aditivo de B. Para restar vectores se unen en su
origen y el vector resta es la unión de sus extremos dibujando el sentido hacia el que se le va a quitar, el paso siguiente
es calcular el vector con el mismo procedimiento que en la suma.
A-B B-A
ABAB
Las magnitudes físicas se clasifican en tres tipos:

Magnitudes escalares, caracterizadas por un valor fijo independiente del
observador y carecen de dirección y sentido, como por ejemplo, la masa. En
física clásica la masa, la energía, la temperatura o la densidad de un cuerpo son
magnitudes escalares ya que contienen un valor fijo para todos los observadores
(en cambio en teoría de la relatividad la energía o la temperatura dependen del
observador y por tanto no son escalares).

Magnitudes vectoriales, son magnitudes que cuentan con: cantidad, dirección y
sentido como, por ejemplo, la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc. Además,
al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con
diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no
presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto,
para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de
transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se
considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta
magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una
magnitud tensorial.