intervalo

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE PARÁMETROS
POBLACIONALES DE UNA POBLACIÓN.
1.1.- Estimación por intervalos para la media poblacional
Condiciones:
- La población se distribuye normalmente
- La varianza poblacional es conocida.
- La muestra aleatoria puede ser menor que 30.
Elementos para la construcción:
-
Media muestral y estadístico z 
x

( dos variables aleatorias)
n
Esperanza de la media muestral E (x )   y Varianza de la media
2
muestral V ( x )  
n
-
Distribución de probabilidad o del muestreo del estadístico z, es una
normal estándar.
-
Nivel de confianza 1  
Intervalo de confianza
Factores que influyen en el error de la estimación:
-
Dispersión de la población, cuantificado a través de la desviación
estándar.
Tamaño de la muestra
Nivel de confianza
1
x    z

2
n
Problema:
Supongamos que X representa la longitud de una pieza y se distribuye según una normal de
media desconocida y varianza conocida   20 . Para estimar la longitud media por pieza en
la población, se toma una muestra de 70 piezas, obteniéndose que x = 82.5. Se asume un
nivel de confianza del 95%.
2
2
Intervalo de confianza:
82,5  1,96
77,81;87,61
20
70
La longitud media de la pieza estaría contenía entre 77,81 cm y 87,61 cm
con un nivel de confianza del 95%.
1.2.- Estimación por intervalos para la media poblacional
Condiciones:
-
No se conoce como se distribuye la población.
La varianza poblacional es conocida.
La muestra aleatoria es grande, mayor o igual a 30.
Elementos para la construcción:
-
Media muestral y estadístico z 
x

( dos variables aleatorias)
n
Esperanza de la media muestral E (x )   y Varianza de la media
2
muestral V ( x )   n
-
Distribución de probabilidad o del muestreo del estadístico z, es una
normal estándar.
-
Nivel de confianza 1  
2
Intervalo de confianza
1.3.- Estimación por intervalos para la media poblacional
Condiciones:
- La población se distribuye normalmente
- La varianza poblacional es desconocida
- La muestra aleatoria es menor que 30.
Elementos para la construcción:
-
Media muestral y estadístico T 
n
s2 
x
i 1
2
i
x
s
n
( tres variables aleatorias)
ni  nx 2
n 1
varianza muestral.
Si los datos no están agupados
ni =1
Esperanza de la media muestral E (x )   y Varianza de la media
2
muestral estimada v( x )  s n
-
Distribución de probabilidad o del muestreo del estadístico t, es una t de
Student con n-1 grados de libertad.
3
-
Nivel de confianza 1  
P(t , n1  T  t1 , n1 )  1  
2
2
P(t , n 1 
2
P( x  t , n1 ( s
2
n
x
 t1 )  1  
s
2
n
)    x  t1 , n1 ( s
2
n
))  1  
2.- Estimación por intervalos para la proporción poblacional
Sea una población que se distribuye como una Bernoulli, es decir, está
segmentada en dos grupos. De ella se extrae una muestra aleatoria de tamaño
n, mayor a 30 ( x1 , x2 , x3 ...................xn ) con el objeto de efectuar la estimación.
4
Donde las suma de las variables aleatorias que conforman la muestra, dan
origen a una distribución Binomial con parámetro n y p.
Luego, considerando el Teorema Central del Límite, se puede hacer una
aproximación de la Binomial a la Normal. A su vez, haciendo un cambio de
escala se llega a que el estadístico:
z
pˆ  P
pˆ qˆ
n
tiende a una normal estándar en la medida que n
tiende hacer infinito.
Donde:
n
pˆ 
x
i 1
i
n
0 si no cumple condición
xi =
1 si cumple condición
-
Dando nos un nivel de confianza de 1   , construiremos el intervalo, ya
que tenemos todos los elementos para hacerlo.
P( z  Z  z1 )  1  
2
P( z 
2
P( pˆ  z
2
2
pˆ  
 z1 )  1  
2
pˆ qˆ
n
pˆ qˆ
 P  pˆ  z1
2
n
pˆ qˆ
)  1
n
5
Problema:
Matt Williams, planificador financiero, estudia los planes de retiro para
jóvenes ejecutivos. Una muestra de 500 ejecutivos que son dueños de
sus casas reveló que 175 planean venderlas y retirarse a San Pedro de
Atacama. Desarrolle un intervalo de confianza de 95% para la
proporción de ejecutivos que planean vender e irse a San Pedro de
Atacama.
Así,
n=500,
p=175/500=.35
y
z=1,96
el IC de 95% es:
0,35  1,96
0,35 * 0,65
500
0,3082;0,3918
6