tallerestimadoresmaxv

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TALLER
ESTIMADORES, PROPIEDADES
METODO DE MAXIMA VEROSIMILITUD
NOTA: ENTREGAR RESUELTO LOS 6 PRIMEROS EJERCICIOS
1. Supóngase que la variable aleatoria
densidad :
X distribuye según la siguiente función de
 x  1
x 5 5
 (1  ) 

 4 
f ( x , )  

0


,
x  5,6,, 
,
t. o. l.
a. Basado en una muestra aleatoria de tamaño n, encuentre el estimador máximo
verosímil para el parámetro  .
b. Se tiene una muestra aleatoria de tamaño 5 de esta variable X : 12 , 8 , 14 , 6 y
10. Determine la estimación máximo verosímil y calcule Prob( X = 7 ).
c. Sea
( X1, X 2 ,........, X n )
una m.a.(n) de la variable aleatoria X distribuida
según la función de densidad
f ( x , )
estimadores del parámetro  
5
:

 1  2(X
1
( ayuda :
E ( X) 
anterior. Se proponen los siguientes
 2 X2  3X3  nX n )
n( n  1)
5
;

Var(X) =
n
 Xi
 2  i  1
n
;
5(1  )
2
)
¿ Qué estimador es preferible ? ( justifique su respuesta )
n
2. Demuestre que
poblacional
2
S2 
, con
 ( X i  X )2
i 1
es un estimador insesgado del parámetro
n 1
X i ~ N ;  2  .
3. Supóngase que la variable aleatoria
probabilidad :
X distribuye según la siguiente función de
 x  1  (1  P) x  2 P 2


f ( x, P )  

0


,
x  2,3,, 
,
t.o.l.
a.
Basado en una muestra aleatoria de tamaño n, encuentre el E.M.V para el
parámetro P.
b.
Sea
( X1, X 2 ,........, X n )
una m.a.(n) de la variable aleatoria X distribuida
Sea  
según la función de probabilidad f ( x, p ) anterior.
ˆ 
1
P̂
( ayuda :
1
P
y
Determine si el estimador ˆ es consistente.
E( X ) 
2
p
;
Var(X) =
2  (1  p)
p2
)


4. Sea Xi una variable con distribución Normal, esto es X i  N  ;  2 . En base a
una muestra de tamaño n, encuentre los estimadores máximo verosímiles para los
parámetros  y  2 . Verifique la propiedad de insesgamiento .
Nota :
5.
f( x )

1
2  


e
1

2
x -  2


Una empresa fabricante de electrodomésticos está interesada en el tiempo de vida
que tiene cada uno de sus artículos.
Se sabe que el tiempo de duración de cada
artículo tiene la siguiente función de densidad:
f x,  
e

x 
3!  4
3
x

x0
,  0
a. En base a una muestra de tamaño n encuentre el Estimador Máximo Verosímil
para el parámetro  .
b. Pruebe si el estimador encontrado es insesgado y eficiente.
( ayuda :
 
 x
p
 p  3 !

p
)
3!
6. En una fábrica de remaches se define la siguiente variable aleatoria :
1 , si remache es defetuoso
X  
0 , si remahe es no defectuoso
Se toma una muestra aleatoria de n remaches y se encuentra que la muestra
X1 , X2 , ...... , Xn  produce exactamente k remaches defectuosos : es decir, la
variable aleatoria resultante Y 
X
i
 k , distribuye en forma binomial con
parámetro P, esto es, Y  Bin( n ; P ).
a. Encuentre el estimador máximo verosímil para el parámetro P.
b. ¿Es el estimador consistente en error cuadrático medio
c. En base a una muestra aleatoria de tamaño 4 de esta población binomial, se
proponen como estimadores de P a :
P̂1 
 2X1  X 3  X 4 
4
y
P̂2 
 X1  3X 4 
4
¿ Cuál de estos dos estimadores propuestos recomienda y por qué 
7. A cierta empresa de capacitación profesional le fue asignada la misión de especializar
en una tarea específica a un grupo de n trabajadores del rubro textil. En la tarea
específica, a cada trabajador le son entregados materiales para ensayar que implican
un costo para la empresa capacitadora, y la idea es estimar, entre otras cosas, cuál
es el número esperado de ensayos necesarios hasta que el trabajador haya aprendido
la tarea, para así poder cargar este costo a la misma institución que solicita la
capacitación.
Supóngase que el número de ensayos X que necesita un trabajador hasta aprender la
tarea específica es una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:

f  X ;  
- 1
xi - 1

xi
;
x i  1 , 2 , 3 ,  ,  ;   1 ; X    - 1 ; Var X       - 1 
a. Encuentre el estimador máximo verosímil para el parámetro  en base a una
muestra de tamaño n.
b. Determine si el estimador encontrado es insesgado, eficiente y consistente.
c. Se proponen como estimadores del parámetro  en base a una muestra de
tamaño n a:
ˆ 1 
X 1
n
;
ˆ 2 
X  n
; ¿ Cuál de ellos prefiere  ; justifique.
2n
8. Se sabe que existe una relación lineal entre la distancia del domicilio de un empleado
al lugar de trabajo ( X ) y el tiempo en que el empleado tarda en llegar a él ( Y ).
Supóngase que los tiempos que tardan los empleados en llegar a su lugar de trabajo
distribuyen en forma Normal con media
varianza
( Yi )   0  1  X i y
Var( Yi )   2 .
a. En base a una muestra de tamaño n encuentre el estimador máximo verosímil del
parámetro  2 .
( Asuma a  0 , 1 y a X i como constantes dadas, no probabilísticas )
b. Pruebe si el estimador encontrado es insesgado.
9. Un Banco de Crédito e Inversiones lanza al mercado una nueva tarjeta de crédito que
ofrece mayores beneficios en cuanto a menor costo de mantención y menor tasa de
interés. Para promocionar esta tarjeta, cuenta con una red de vendedores altamente
capacitados en técnicas de persuasión al cliente.
Como se sabe que sólo un
porcentaje de visitas terminan en ventas efectivas, y con el objetivo de maximizar
estas ventas, es que el Banco está interesado en saber a cuánto a clientes
potenciales deben visitar sus vendedores para asegurar un determinado número de
ventas.
En base a simulaciones se ha logrado establecer que el número de clientes
potenciales que debe visitar un vendedor para lograr diariamente 4 ventas efectivas,
es una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:
f( x )  Prob  X  x 
 X -1    -1  X  4
 
 
; x  4 , 5 , 6 ,  ,  ;   1
x
3



donde el parámetro 
efectiva.
( Ayuda :
representa el número de esperado de visitas por venta
(X)  4  ( - 1) ;
Var(X)  4    ( - 1)
)
a. Encuentre el estimador máximo verosímil para el parámetro  , en base a una
muestra aleatoria de tamaño n.
b. Pruebe Insesgamiento y Consistencia del estimador.
10. Sea X una variable aleatoria continua no negativa con función de densidad:
f(X i ) 
 -1
e

X
i


 - 1!  
Xi
; x i  0 ;   0 ;   0 ; E(X i )     ; Var(X i )     2
para todo i.
a. En base a una muestra de tamaño n ,  X1 ; X 2 ;; X n  ,
estimador máximo verosímil para el parámetro .
determine el
b. ¿Cuál de los dos estimadores siguientes elige como estimador de   (justifique).
ˆ1 
11.
(   1 )  X1

-
Xn
2
;
ˆ2 
-
(   1 )  X1
(  - 1)  X n
2 
Una empresa comercializadora de combustible ha determinado, en base a
antecedentes históricos, que sus ventas diarias de combustible son una variable
aleatoria continua con densidad:
f(x) 

x
e

x 
24   5
4
; x  0 ; E(X)  5  
; Var(X)  5   2
a. Determine, en base a una muestra de tamaño n , el estimador máximo verosímil
para el parámetro .
b. Pruebe si el estimador es insesgado.
c. Para un tamaño de muestra lo suficientemente grande ( n > 30 ), la estadística
Z 
ˆ - E(ˆ)
Var(ˆ)
~
N( 0 ; 1 ) .
Basado en la estadística anterior,
construya explícitamente un intervalo de confianza de nivel 1 -  para el
parámetro , ocupando los resultados encontrados en las partes a) y b).
12. Sean x1 , x 2
varianza 2 .
,  , x n
, n variables aleatorias independientes con media  y
a. Demuestre que todo estimador lineal de  de la forma ̂ =
n

i xi = 1 x1 +
i 1
2 x2 +  + n xn para ser insesgado, debe verificar la relación :
+  + n = 1
1 + 2
b. Demuestre que entre todos los estimadores insesgados de la forma anterior, el
promedio aritmético,
x
=
x1  x 2    x n
n
, es el más eficiente.
( Ayuda : Debe encontrar los coeficientes i que minimicen la varianza de ̂ ,
sujeta a la
restricción  i = 1 , es decir, debe minimizar la función  =
Var( ̂ ) - ( i - 1) ).
13. Sea X1, X2, ... , Xn una muestra aleatoria de una población de media  y varianza  2 .
Considérense los siguientes estimadores de :
ˆ 1 
n 1
X1
X
1

Xi  n ;

4 2  n  2  i  2
4
ˆ 2 
n
2
 k  Xk
n  n  2  k 1
a. Determine si ambos estimadores son insesgados.
b. Calcular el Error Cuadrático Medio de ambos estimadores y decida cuál es “mejor”.