RESUMEN DE LA UNIDAD N°10: EL TEOREMA DE THALES 1. INTRODUCCIÓN: Thales de Mileto (c. 625 a. C. 546 a.C.). Fue un comerciante, legislador, filósofo y científico griego que nació y murió en Mileto (en la Costa Oeste del Asia Menor). Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos por Diógenes Laercio. También se le considera un discípulo de los egipcios y caldeos, suposición de muy buen fundamento por los viajes de Thales a Egipto y Mesopotamia. No sólo fue el primer filósofo, es decir, el primero que, históricamente, intentó explicar el mundo por causas naturales con los medios de un pensar, Thales independiente y adecuado a la razón, sino que también destacó como astrónomo, como ingeniero y como matemático “formuló teoremas que todavía hoy llevan su nombre”. De él no se conserva ningún escrito. Su pensamiento nos es conocido a través de otros tratadistas y filósofos griegos, como Aristóteles y Diógenes Laercio. Después de su éxito en el mundo de los negocios, Thales lo abandonó todo, para dedicarse a la filosofía y a las Matemáticas. Cuando le preguntaron a Thales qué recompensa quería por sus descubrimientos, él contestó: "me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son míos". 2. THALES DE MILETO, FUE: Un comerciante y legislador griego nacido en Mileto (en la costa Oeste del Asia Menor) o, tal vez, como dice el historiador griego Herodoto, en alguna ciudad fenicia, hacia el 625 antes de Cristo Un estadista práctico que estuvo a favor de la federación de ciudades jónicas de Grecia, según. El fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Y se le conoce como el Padre de las Matemáticas y la filosofía griegas. Un gran astrónomo capaz de predecir el eclipse solar del año 585 antes de Cristo, además de determinar el número exacto de días que tiene el año. Se dice también que introdujo la Geometría en Grecia. 3 LA ESCUELA QUE FUNDÓ Y DE QUIÉNES FUERON SUS DISCÍPULOS: Fue el fundador de la Escuela Jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue discípulo y protegido de Pitágoras, y además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la Geometría. Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 1 4 LEYENDA ACERCA DE UN MÉTODO DE COMPARACIÓN DE SOMBRAS Según la leyenda (relatada por Plutarco), Thales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Thales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma. Como en triángulos semejantes, se cumple que D A D , por lo tanto la altura de la pirámide es B C AC , con lo cual resolvió el problema. B 5 LOS TEOREMAS DE THALES (O TALES) Existen dos teoremas relacionados con la Geometría Clásica que reciben el nombre de Teorema de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Thales de Mileto en el siglo VI a.C. 5.1 PRIMER TEOREMA DE THALES Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer Teorema de Thales recoge uno de los resultados más básicos de la Geometría, al saber, que: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado”. Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 2 Según parece, Thales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer Teorema de Thales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos. 5.2 SEGUNDO TEOREMA DE THALES El segundo Teorema de Thales de Mileto es un teorema de Geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: “Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo”. 6 ALGUNOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE PROPORCIONALIDAD 6.1 Razón: se denomina así al cociente de dos cantidades. En forma general, sean a y b R , a se llama razón de los números a y b . b 4 6 2 Ejemplo 1: La razón entre 4 y 2 es Ejemplo 2: La razón entre 6 y 2 es 3 . 2 2 b 0 El cociente de Observación: la razón de dos segmentos, se trata del cociente indicado de sus medidas, por ejemplo: la razón de 5cm y 2m es: 5 200 6.2 Proporción: es toda igualdad entre dos razones. En general, sean las razones igualdad a c y ; la b d a c será una proporción si se cumple que a d b c El producto de los términos b d extremos es igual al producto de los términos medios. Observación: los términos extremos son: Ejemplo 3: Sean las razones que a y d , y los términos medios son: c y b. 1 3 1 3 y , la igualdad de estos: formará una proporción, puesto 2 6 2 6 1 6 2 3 Observación: la proporción a c b d se puede expresar así: a : b : : c : d , y se lee: “ a es a be lo que es a de ”. De allí, tenemos como regla que “en una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos”, así: b c a d ce Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 3 6.3 Proporción Continua: es toda proporción que tiene los medios o los extremos iguales. A cada uno de los términos iguales de una proporción continua se le denomina medio proporcional. Ejemplo 4: 4 12 , el medio proporcional es 12 12 36 Observación: en toda proporción continua, el medio proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos; es decir; si a x x b x ab 6.4 Tercera Proporcional: se llama tercera proporcional a los términos distintos de una proporción continua. En el ejemplo anterior las terceras proporcionales son 4 y 36 . Observación: la tercera proporcional es cada término no repetido de la proporción. Es igual al 2 x a a x a b b 6.5 Cuarta Proporcional: se llama cuarta proporcional de tres cantidades a, b , y c , a un valor x , cuadrado de los términos iguales, dividido entre el término distinto, si que cumple la condición siguiente: a c b x x bc a Ejemplo 5: Hallar el término que hace falta (la cuarta proporcional), según se indique, si: a 3, b 4, c 6 y d ? Sol.: a :b: : c :d Por definición de proporción 3:4: : 6:d Sustituyendo los valores 3 d 46 Se aplica la propiedad de proporción 3 d 24 Se resuelve y despeja la ecuación d 24 8 3 d=8 Se despeja la cuarta proporcional es la cuarta proporcional Ejemplo 6: Hallar la cuarta proporcional en: Sol.: a :b: : c: x 5 1 20 x Por definición de proporción 5 : 20 : : 1 : x Sustituyendo los valores 5 x 1 20 Se aplica la propiedad de proporción 5x 20 Se resuelve y despeja la ecuación x 20 4 5 x=4 Se despeja la cuarta proporcional es la cuarta proporcional Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 4 Ejemplo 7: Hallar el término que hace falta, según se indique, si: Sol.: : a :b: : c :d Por definición de proporción 2:4: : c:6 Sustituyendo los valores 26 4c Se aplica la propiedad de proporción 4 c 12 Se resuelve y despeja la ecuación c 12 . 4 Se despeja la tercera proporcional c 3 Es el valor que se pide Ejemplo 8: Hallar el valor de x en Sol.: a :b: : c :d 16 x 20 5 Por definición de proporción 16 : 20 : : x : 5 Sustituyendo los valores 16 5 20 x Se aplica la propiedad de proporción 80 20 x Se resuelve y despeja la ecuación x 80 20 Se despeja la tercera proporcional x 4 6.6 a 2, b 4 , c ? y d 6 Se busca el valor que se nos pide Segmentos Proporcionales: una colección de segmentos de longitudes proporcionales a otros segmentos de longitudes a, b, c son a' , b' , c' si el cociente, o razón, que se obtiene al dividir cada longitud de un segmento de la primera colección entre la longitud de su correspondiente segmento de la segunda, es siempre el mismo. Es decir, Observación: el cociente r a b c r a' b' c' recibe el nombre de razón de proporcionalidad. Al referirnos a segmentos proporcionales será necesario comparar cuatro segmentos de dos en dos, de tal suerte que si la razón entre dos de ellos es igual a la razón de los otros dos, entonces los segmentos serán proporcionales. Por ejemplo: Dados los siguientes segmentos: Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 5 Supongamos que sus longitudes son: AB 4 ; CD 10 ; EF 12 y AB EF 2 CD GH 5 4 12 2 10 30 5 Los segmentos: AB ; CD ; EF GH 30 y GH son proporcionales. 6.7 Bisectriz de un ángulo: es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Observación: la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los contiguos. 6.8 Teorema de Thales: si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra. Observación: Este teorema nos permite calcular, por tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos. PRACTICA Nº 1 (RAZONES Y PROPORCIONES) I. Hallar las siguientes razones directas: 1) 5 pu lg y 15 pu lg 2) 13 cm y 52 cm 4) 50 m a 60 m II. 5) 12 a 4) a III. 1 , b 3, c 4, d x 2 16 pies 6) 33% a 77% 3 8 Hallar la cuarta proporcional a los números 1) a 2, b 4, c 8, d x 3) 32 pies y a, b y c 2) a 5, b 4, c 3, d x 3) a 2, b 8, c 8, d x 1 10 3 5) a , b , c , d x 8 4 2 1 12 3 6) a , b , c , d x 5 5 2 Hallar x en cada una de las siguientes proporciones: 1) 1 x 2 10 3 9 5) 7 x 2) 2 x 3 27 34 17 6) 100 x 3) 14 x 8 4 x 3 7) 2 x 3 5 4) 11 33 4 x x 6 8) 4 8 Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 6 1 1 1 3 4 3 9 III 5 18 7 Respuestas: I 30 5 6 12 3 7 32 21 50 II 16 9 2,4 32 24 3 7 PRINCIPIOS RELATIVOS A LOS SEGMENTOS PROPORCIONALES (1) Si una línea es paralela a un lado de un triángulo, entonces ésta divide a los otros dos lados proporcionalmente. De este modo, en el ABC; DE BC a c b d (2) Si una línea divide proporcionalmente a dos lados de un triángulo, entonces dicha recta es paralela al tercer lado. (Contrario del caso 1). De modo que, en el ABC; si: a c DE b d BC (3) Tres o más paralelas dividen proporcionalmente a dos transversales cualesquiera. a c CD b d AE BF EC FD También: ; AC BD AC DB Si AB EF (4) La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes. En el ABC; CD biseca al C , entonces: a c b d (5) Si dos lados de un triángulo se dividen proporcionalmente, entonces: a) Los segmentos parciales correspondientes, son proporcionales. b) Los dos segmentos totales y un par cualquiera de segmentos parciales homólogos son proporcionales. De acuerdo a la figura obtenemos: AE EC BD DC AC BC , Para la parte b) AE DB Para la parte a) AC BC EC DC Por lo tanto: ABC EDC Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 7 8 EJEMPLOS RESUELTOS DE PRINCIPIOS RELATIVOS A LOS SEGMENTOS PROPORCIONALES Ejemplos 9: Dado el ABC; dónde DE BC . Hallar el término que hace falta. Si: AB 12 ; AE 10 ; EC 5 y Solución: DB x AD AE DB EC Por principios de segmentos 12 10 x 5 Sustituyendo los valores 10 x 5 12 Por propiedad de proporciones 10 x 60 Resolviendo el producto x 60 6 10 Se despeja DB 6 Ejemplos 10: Encuentra el valor que hace falta, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que si las longitudes son: AB 5; CD 15; GH 24 EF x Solución: AB EF CD GH Por principios de segmentos AB : EF CD : GH 5 : x 15 : 24 Sustituyendo los valores 15x 524 15 x 120 x 120 8 15 Por Teorema de Thales Por propiedad de proporciones Se resuelve el producto Se despeja EF 8 Ejemplos 11: Dado el ABC; donde BD biseca al B . Hallar el valor que se indica, si: AB x ; AD 14 ; DC x 23 y BC 10 AB AD BC DC Principios de segmentos x 14 10 x 23 Sustituyendo los valores Sol.: Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 8 x x 23 10 14 Por propiedad x 2 23x 140 Resolviendo productos x 2 23x 140 0 Trasponiendo términos x 28x 5 0 Resolviendo el trinomio x1 28 , x 2 5 Se busca las raíces x 28 AB 28 ; Es la solución más lógica DC 28 23 5 9 TEOREMA DE THALES (OTRA FORMA DE VERLO): si dos o más rectas paralelas son cortadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinadas por las rectas paralelas son proporcionales. Consideremos la figura siguiente: De acuerdo a esta figura: Midamos los segmentos: AB, BC, A' B' y B'C ' Y comprobemos que: BC 2 AB (1) B' C' 2 A' B' (2) Si dividimos miembro a miembro las igualdades (1) y (2), y nos quedará: 2 AB BC B' C ' 2 A' B' Por consiguien te : BC AB B' C ' A' B' lo cual puede escribirse como : BC AB AB A' B' ó A' B' B' C ' BC B' C ' 10 EJEMPLOS RESUELTOS DEL TEOREMA DE THALES 1) En la figura que se muestra a continuación, encuentra el lado que hace falta, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que AA' BB' CC' Si las longitudes son: AB 5 ; BC 10 ; A' B' x B' C' 20 Solución: AB : BC A' B' : B' C ' Por definición del Teorema de Thales 5 : 10 x : 20 Sustituyendo los valores 520 10 x Se aplica la propiedad de las proporciones Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 9 100 10 x Se resuelve el producto x 100 10 10 Se resuelve el cociente A' B' 10 2) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica, aplicando AA' el Teorema BB' de Thales y sabiendo que CC' Si las longitudes son: AB 3; BC 9 ; A' B' 4 ; B' C ' x Solución: AB : BC A' B' : B' C' Por definición del T. de Thales 3:9 4: x Sustituyendo los valores 3 x 94 Se aplica la propiedad de las proporciones 3 x 36 Se resuelve el producto x 36 12 3 Se despeja B' C' 12 3) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que AB CD EF Si las longitudes son: AC 7; CE x; BD 5 DF 2 Sol.: AC : BD CE : DF 7:5 x:2 7 2 5x Por definición del Teorema de Thales Sustituyendo los valores Se aplica la propiedad de las proporciones 14 5x Se resuelve el producto 5 x 14 Se traspone los términos x 14 2,8 5 Se despeja la variable CE 2,8 Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 10 4) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que MQ NR OP Si las longitudes son: QR 7; QP 14; MN 9; NO x Sol.: MN : QR NO : QP 9 : 7 x : 14 914 7 x 7 x 126 x 126 18 7 Por definición del Teorema de Thales Sustituyendo los valores Se aplica la propiedad Se resuelve el producto Se despeja NO 18 5) Calcula la distancia A' C ' en la siguiente figura: Si las longitudes son: AC 3,7cm ; A' C' x; BC 1,8cm B' C' 2,2cm Sol: AC : A' C ' BC : B' C ' Por def. del T. de Thales 3,7 : x 1,8 : 2,2 Sustituyendo los valores 3,7 2,2 1,8x 1,8 x 8,14 x 8,14 4,5 1,8 Propiedad de las proporciones Se resuelve el producto Se despeja A' C ' 4,5 cm 6) Calcula el valor de la variable que se indica, aplicando el Teorema de Thales y los principios de segmentos proporcionales: En el triángulo ABC; BC biseca al B Solución: x 3 . 10 15 15 x 3 10 b c a d Principios relativos de segmentos Sustituyendo los valores Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 11 x 15 x 30 Se resuelve el producto 30 x2 15 Se despeja la variable y se resuelve la ecuación PRACTICA Nº 2 (SEGMENTOS PROPORCIONALES) I. Hallar el valor de x y luego el valor indicado en las siguientes figuras aplicando los principios sobre segmentos proporcionales y el Teorema de Thales: II. Calcula el valor de la variable que se indica, y del valor indicado, aplicando el Teorema de Thales y los principios sobre segmentos proporcionales: x 25; CD 25 x 60; EA 60 x 12; EF 12 x 7 x 6, DC 6; AD 14 x 15; AC 15 x 7, BD 14; DC 20 x 15, BC 24; AB 30 35 35 21 , ON 34 ; OM 17 II x 1; BD 1 x 5, ST 10; WX 8 x 17 x 95 ; OM 10 9 7 8 8 7 7 1 x 6 , TB 2 ; EW 14 x 5 ; AB 5 x 2, RQ 5 ; RT 3 x 8; VS 8 45 x 3, GI 2; IE 24, FJ 12 x 45 7 ; AB 7 Respuestas: I Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 12 11 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Definición: dos triángulos, se dicen semejantes o similares cuando tienen sus ángulos correspondientes congruentes (o iguales) y sus lados correspondientes son proporcionales. Para indicar la semejanza se utiliza el símbolo , que se lee: “es semejante a”; y para indicar la congruencia se utiliza el símbolo , que se lee: “es congruente con”. En general, sean ABC y RST dos triángulos cuyos lados opuestos son a, b, c; s, t, r respectivamente: 1) 2) A= R B= S C= T a c b r t s Entonces se dice ABC RST 12 PROPORCIONALIDAD DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS La Razón de Semejanza: es la razón r de dos lados homólogos (opuestos a ángulos iguales) y es constante en dos triángulos semejantes. Para el ABC y el MNP, si se establece una relación del primero al segundo, entonces pueden presentar los siguientes casos: a) Que el ABC sea más chico que el MNP. Si esto ocurre, entonces r 1 . b) Que ambos triángulos sean del mismo tamaño. En este caso se dice que los triángulos son congruentes y en consecuencia r 1 . c) Que el ABC sea más grande que el MNP. Si esto ocurre, entonces r 1 Segmentos Proporcionales: si dos lados de un triángulo se dividen proporcionalmente, entonces: a) Los segmentos parciales correspondientes son proporcionales. Esto es; AD DB CE EB b) Los dos segmentos totales y un par cualquiera de segmentos parciales homólogos son proporcionales. Observando la figura adjunta, tenemos: AB BC o bien AD EC AB CB Lo último nos permite afirmar que: ABC DBE DB EB Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 13 Principios de Proporcionalidad 1) “Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces divide a los otros dos en segmentos proporcionales”. AD AE DB EC BC En el ABC; si DE El recíproco de este principio también es válido. 2) “Dos transversales cualesquiera, cortadas por tres o más paralelas, quedan dividida en segmentos proporcionales”. Este principio se conoce como Principio de Thales. Si AB CD También: EF AC BD AE BF AC BD CE DF , CE DF EA FB 3) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a lados contiguos. Si CD es bisectriz del ACB AD AC BD CB 13 LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Para triángulos no rectángulos: dos triángulos son semejantes si tienen: 1. “Dos ángulos correspondientes iguales” (a a a) 2. “Dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido” (l a l) 3. “Sus tres lados proporcionales” (l l l) 4. “Sus lados homólogos paralelos entre sí”. 5. “Sus lados correspondientes perpendiculares entre sí”. 6. “Las alturas correspondientes proporcionales a sus lados”. Para triángulos rectángulos: 1. Si en el criterio 6 “la altura es relativa a la hipotenusa, entonces ésta divide al triángulo dado (triángulo rectángulo) en otros dos semejantes a él y semejantes entre sí”. 2. Además, dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen: “Un ángulo agudo igual” “Los catetos proporcionales” “La hipotenusa y un cateto proporcionales” Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 14 14 EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: 1) Los siguientes triángulos son semejantes, halle la razón de semejanza. EA AB DC BD 1 72 8 12 r 10 12 11 109 Solución: r 15 2 21 2 17 2 119 10 15 2 17 10 2 21 2 119 15 85 r 21 119 5 5 r 7 7 r 5 7 Respuesta: la razón de semejanza es r 2) Demuestre que los siguientes triángulos son semejantes y determine el valor de x . Solución: aplicando el principio 3 de segmentos proporcionales, se tiene que: como AC es bisectriz del AD AB , esto nos permite afirmar que: CD BC BAD ABC ACD y en consecuencia el valor de x es: x 1 2x AD AB CD BC 3 5 32 x 5x 1 6 x 5x 5 6 x 5x 5 x 5 Respuesta: el valor es x 5 3) Determine el valor de x . Solución: como BE CD , entonces: 2 = 4 por ser s correspondientes. 5 = 7 por ser s correspondientes. Además, 1 = 1 por identidad Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 15 Por lo tanto: ABE ACD, por el criterio a. a. a. Los lados homólogos son proporcionales, así: AB BE AC CD 4 9 x 3x 6 4 9 x 3x 6 9 x 4 3 x 6 9 x 12 x 24 9 x 12 x 24 3 x 24 24 x 8 3 Respuesta: el valor es x 8 4) Los triángulos indicados son semejantes, determine la razón de semejanza. Solución: Como: ABC BAD r AD AB AB BC 32 8 r 3 8 6 32 1 8 4 r 3 8 6 3 Respuesta: la razón de semejanza es r 4 3 PRACTICA Nº 3 (SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS) I. Los triángulos indicados son semejantes. Determine la razón de semejanza: II. Demuestre que los triángulos dados son semejantes y calcule el valor de las letras desconocidas: Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 16 III. Aplique los principios de proporcionalidad y determine el valor de la incógnita. 5 3 III x 3 x 3 Respuestas: I r 3 r II x 16 x 10 x6 y 10 y 15 Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas 17