TEOREMA DEL COSENO y seno

TEOREMA DEL COSENO
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza,
normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos
lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos
entonces:
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no
obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashique
unificó los resultados de sus predecesores.1
Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.
Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la
generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de
un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia
de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.2 Por eso, la
proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los
lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo
obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.3
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la
notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en
su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani4 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a
principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue
durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las
funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,7 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el
teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en
occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.8
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones
trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema
bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.9
[editar]El teorema y sus aplicaciones
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema
de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo
teorema del coseno se reduce a:
es recto o, dicho de otro modo, cuando
, el
que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

.
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples,
es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a yb —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy
pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.
Demostraciones
Por desglose de áreas
Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.





Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto
remarcar que
a², b², c² son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°-γ (para una prueba, ver
el apéndice).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en
2 casos
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el
caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
En verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c² a la derecha.
En rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC.
En azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-γ.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que
Teorema del coseno.



, equivalente al
Fig. 4b - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el
caso de un ángulo obtuso. La figura muestra
En verde a², b² la izquierda y c² a la derecha.
En azul -2ab cos(γ), recordando que al ser cos(γ) negativo, la expresión completa es positiva.
En rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.
Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da
, como queríamos demostrar.
Por el teorema de Pitágoras
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo γ es recto. Por tanto
sólo es necesario considerar los casos cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un
ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos
Consideremos la figura adjunta. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada así:
(left)
Pero, la longitud h también se calcula así:
(left)
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:
Por la definición de coseno, se tiene:
y por lo tanto:
Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:
con lo que concluye la prueba del primer caso.
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevamente c2 = h2 + u2 pero en este caso h2 = a2 −
(b + u)2. Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 −b2 − 2bu − u2 y de este modo:
.
De la definición de coseno, se tiene
y por tanto:
.
Sustituimos en la expresión para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluyendo nuevamente
.
Esto concluye la demostración.
Es importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces sólo hay un caso y las dos
demostraciones se convierten en la misma.
Por la potencia de un punto con respecto a un círculo
Fig. 6 - Demostración del teorema del coseno utilizando la potencia de un puntocon respecto a un círculo.
Consideremos un círculo con centro en B y radio BC, como en la figura 6. Si AC es tangente al círculo, nuevamente
se tiene el Teorema de Pitágoras. Cuando AC no es tangente, existe otro punto K de corte con el círculo.
LA potencia del punto A con respecto a dicho círculo es
Por otro lado, AL = c+a y AP = c-a de modo que
.
.
Además, CK= -2a cos(γ) (ver el apéndice) por lo que
.
Igualando las expresiones obtenidas se llega finalmente a:
Contrariamente a las precedentes, para esta demostración, no es necesario recurrir a un estudio por caso pues las
relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángulo agudo.
Por el cálculo vectorial
Utilizando el cálculo vectorial, más precisamente el producto escalar, es posible encontrar el teorema del coseno en
algunas líneas:
Generalización en geometrías no euclídeas
Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.
Para una superficie no euclídea de curvatura K, señalamos con R el radio de curvatura. Este verifica
.
Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:
,
,
.
En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angular de los segmentos de circunferencia
maximal10 [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 7).
Geometría esférica
Artículo principal: Geometría esférica
Cuando el radio de curvatura es muy grande comparado con las dimensiones del triángulo, es decir cuando
,
esta expresión se simplifica para dar la versión euclídea del teorema del coseno. Para hacerlo, :
, etc.
Existe una identidad similar que relaciona los tres ángulos:
Geometría hiperbólica
Artículo principal: Geometría hiperbólica
En un triángulo hiperbólico ABC, el teorema del coseno se escribe
.
Cuando el radio de curvatura se vuelve muy grande frente las dimensiones del triángulo, encontramos el teorema del
coseno euclídeo a partir de los desarrollos limitados
, etc.,
, etc.
Generalización en el espacio euclídeo
Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras y ángulos.
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 del espacio euclídeo, siendo:
la cara opuesta al vértice
;
la superficie de
;
el plano que contiene a la cara
;
el ángulo diedral
.
(La figura 8, contigua, presenta la notación de los vértices, caras y ángulos del tetraedro).
Entonces, las superficies y ángulos verifican:
.
TEOREMA DEL SENO
Teorema del seno.
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de
un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Teorema del seno
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces
Demostración
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es
poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque
muy elegante).
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el
segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene undiámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque
ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función
trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones
tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio
de la circunferenciacircunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al
diámetro de la circunferencia circunscrita.
Aplicación
El teorema del seno es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado
opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de
ellos.
Relación con el área del triángulo
Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente,
por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h =b sen C, de modo que se cumple:
.
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se
obtiene un nuevo teorema:
.