Guía Nº 2. Vectores. Ejercicios de Aplicación.

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE BOLÍVAR
UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
ÁREA DE FÍSICA.
FÍSICA MÉDICA (MED) / FÍSICA PARA CS. DE LA SALUD (BIO).
Prof. Arquímedes E. López M.
Guía Nº 2.
* Vectores.
* Ejercicios de aplicación.
Vector. Definición.
Un vector es todo segmento de recta dirigido (orientado) en el plano o en el espacio, que posee las
siguientes características:
a) Tiene un origen (denominado también punto de aplicación), es el punto exacto sobre el que actúa
el vector;
b) Tiene un módulo, que representa la longitud o tamaño del vector;
c) Tiene una dirección (formando un ángulo respecto a la horizontal o la vertical), que viene dada por
la orientación en el espacio de la recta que lo contiene;
d) Tiene un sentido, que se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector; el sentido puede ser positivo o
negativo.
Los vectores son una herramienta geométrica utilizada para representar magnitudes físicas
vectoriales en las cuales es importante considerar, no solo su valor, sino también su dirección y
sentido; tales como son la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico, etc. Hay que tener muy en cuenta
el sistema de referencia de los vectores. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un
punto cualquiera con exactitud. Los vectores pueden situarse el plano, o sea en dos dimensiones y
en el espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones. El sistema de referencia que se usa como
norma general es el sistema de coordenadas cartesianas.
Para trabajar con vectores se necesita tener conocimiento de trigonometría.
La trigonometría no es más que la rama de la matemática que se encarga de calcular los elementos
de los triángulos. Para ello estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Puntos importantes a tener en cuenta al momento de trabajar con vectores:
 El origen de los vectores será siempre el origen del eje de coordenadas, por lo tanto se designará
a un vector sólo con el punto que determina su extremo.
 Para denotar un vector siempre se hará con una letra mayúscula y una flecha. Por ejemplo A.
 Si el vector está en el plano, la dirección es cualquier ángulo medido a partir de un eje
coordenado. Por lo general se acostumbra a medir las direcciones con respecto al eje x.
 En el sentido horario, las direcciones (ángulos), serán negativas (-).
 En el sentido anti-horario, las direcciones (ángulos), serán positivas (+).
Componentes de un vector.
Para poder representar un vector en el sistema de coordenadas cartesianas, se hace uso de tres
vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, es decir que tienen módulo 1; son
perpendiculares entre sí y corresponden a cada uno de los ejes del sistema de referencia; en la
dirección horizontal + (eje x), en la dirección vertical + (eje y), y en el espacio + (eje z). Por ello, al eje
de las X, le corresponde el vector unitario
o también denominado
corresponde el vector unitario o también denominado
vector unitario o también denominado .
. Del mismo modo, al eje Y, le
. Finalmente, al eje Z, le corresponde el
Los componentes de un vector no son más que, las proyecciones de dicho vector en cada uno de los
ejes del sistema de coordenadas. Un vector puede expresarse por medio de sus componentes en el
espacio de la siguiente manera:
El eje de referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según este marco de referencia,
las componentes horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son
vectores en dirección al eje y. Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con
la magnitud del vector principal por medio del teorema de Pitágoras, tomando como catetos las
componentes, y como hipotenusa el vector principal. La dirección del vector principal relaciona
también a las magnitudes de las componentes por medio de las relaciones trigonométricas
conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y
tangente. Un vector puede expresarse por medio de sus componentes en el plano de la siguiente
manera:
Vector unitario.
Un vector unitario es un vector cuyo módulo es 1. Se puede obtener un vector unitario de cualquier
vector, dividiendo dicho vector entre su propia módulo.
Operaciones con vectores.
A) Suma de Vectores.
Si se tienen dos vectores o más, éstos se pueden sumar entre sí y hallar otro vector llamado en física
vector resultante. La suma de vectores se puede realizar de dos maneras diferentes: 1) a través del
método analítico y 2) por medio del método gráfico.
1.- Método gráfico para la suma de vectores.
Para sumar dos vectores de manera gráfica se pude utilizar el denominado método del
paralelogramo que consiste en trasladar paralelamente cada uno de los vectores hasta unirlos por el
origen, y luego trazar un paralelogramo, del que se obtiene el vector resultante de la suma, como
consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo.
De igual manera para la suma de dos vectores se puede utilizar también el método del triángulo, que
consiste en ubicar gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de
los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del
primer vector y termina en el extremo del último.
2.- Método analítico para la suma de vectores.
El método gráfico de suma de vectores no es recomendable en situaciones en las cuales sea
necesaria una gran exactitud, por lo que es importante realizar dicha suma tomando en cuenta a los
componentes de los vectores respectivos.
Dados tres vectores:
La expresión correspondiente al vector suma
es:
O bien;
Siendo, por tanto,
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
*Conmutativa:
A+B=B+A
*Asociativa:
(A + B) + C = A + (B + C)
*Elemento neutro o vector 0:
A+0=0+A=A
B) Resta de Vectores.
En realidad es una suma de vectores, pero se utiliza el vector opuesto del vector que se resta. El
vector opuesto se obtiene multiplicando el vector que se resta por (-1); siempre el vector y su vector
opuesto están en la misma línea de acción, pero con sentidos opuestos.
(A - B) = A + (-B)
C) Producto de un vector por un escalar.
El producto de un vector por un escalar, es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el
módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a éste, si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección, se toma
tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.
Producto escalar de vectores.
Dados dos vectores A y B, su producto escalar se define como el producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que forman. El producto escalar o punto sirve principalmente para calcular el
ángulo entre dos vectores, independientemente del sistema de coordenadas.
Propiedades producto escalar:
*Conmutativa:
*Distributiva:
Producto vectorial.
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores, es otro vector cuya dirección es perpendicular
a los dos vectores.
Propiedades producto vectorial:
1.
2.3.- Si
con
y
Aplicación de vectores.
Fuerza:
Es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales.
También puede decirse que es una influencia, que al actuar sobre un objeto hace que éste cambie
su estado de movimiento. La definición de fuerza viene dada por la siguiente fórmula:
F=m×a
Dónde;
F = Fuerza
m = masa
a = aceleración.
La fuerza posee las siguientes propiedades:
a) Propiedad 1. Una fuerza siempre es aplicada por un objeto material a otro.
b) Propiedad 2. Una fuerza se caracteriza por su módulo y por la dirección en que actúa. Es decir,
tanto el módulo como la dirección son necesarios para especificar completamente una fuerza. La
dirección de una fuerza es la dirección en la que ésta tendería a mover al objeto al que está
aplicada, en ausencia de otras fuerzas, La dirección se indica mediante una flecha.
c) Propiedad 3. (Tercera ley de Newton del movimiento). Cuando un objeto A ejerce una fuerza F
sobre un objeto B, el objeto B ejerce simultáneamente una fuerza R sobre el objeto A. La fuerza R es
de igual módulo pero de dirección opuesta a F. Puede decirse, entonces, que las fuerzas siempre
actúan por parejas.
d) Propiedad 4. Si dos (o más) fuerzas actúan simultáneamente sobre el mismo objeto, su efecto es
el mismo que el de una fuerza única igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales.
F1 + F2 = Fuerza total
Primera ley de Newton del movimiento (caso particular). Para que un objeto permanezca en reposo,
o sea, que esté en equilibrio, es necesario que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan
sobre él sea cero. Esto es sólo una condición necesaria para que un objeto esté en reposo, es decir,
que si un objeto ha de permanecer en reposo, la fuerza neta que actúa sobre él debe ser nula, y si la
fuerza neta no es nula, el objeto no puede permanecer reposo.
Ejercicios propuestos.
1.- Graficar los siguientes vectores y determinar su módulo y dirección.
a) A = (3i + 8j); b) B = (-7i + 5j); c) C = (4i - 3j); d) E = (-5i - 9j); e) F = (2i +4j + 8k); f) G = (3i +5j + 7k)
2.- Dados los siguientes vectores:
a) A = (7i + 5j); b) B = (3i - 2j); c) D = (-8i - 7j); d) E = (4i + 3j); e) F = (-2i +5j + 7k); f) G = (3i +7j + 8k)
Calcular:
1) C = A + B; 2) H = E - D; 3) I = F + G; 4) K = A + E; 5) J = D - B
En cada uno de los casos determinar; componentes, módulo y dirección del vector resultante.
3.- Dados los siguientes vectores:
a) A = (3i + 5j) ; b) B = (-4i + 7j)
Calcular gráficamente y analíticamente:
1) C = A + B y 2) D = B - A
Determinar; componentes, módulo y dirección del vector resultante.
4.- Determinar los componentes de los siguientes vectores:
a) Vector: A; módulo: 7; dirección: 45º respecto al eje x positivo.
b) Vector: B; módulo: 14; dirección: 125º respecto al eje x positivo.
c) Vector: C; módulo: 10; dirección: -55º respecto al eje x positivo.
5.- En los siguientes casos determinar:
a) el ángulo que existe entre los vectores siguientes;
E = (-7i + 3j) ; F = (4i + 5j)
b) un vector perpendicular a los siguientes vectores:
A = (3i + 2j + 5k) ; B = (8i - 4j – 6k)
6.- Una partícula efectúa dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150 cm y forma un
ángulo de 120º con el eje x positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y
se dirige a un ángulo de 35º respecto al eje x positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo
desplazamiento.
7.- Las instrucciones para descubrir un tesoro enterrado son las siguientes: ir 75 pasos a 240º, girar
hasta 135º y caminar 125 pasos; después caminar 100 pasos a 160º. Los ángulos están medidos
en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje que apunta hacia el este, en la
dirección de x positiva. Determinar el desplazamiento resultante desde el punto de partida.
8.- El vector A tiene una componente x negativa de 3 unidades de longitud y una componente y
positiva de 2 unidades de longitud. a) Determinar una expresión para A en notación de vectores
unitarios; b) Determinar la magnitud y dirección de A; c) ¿Qué vector B, cuando se suma al vector A,
produce un vector C resultante sin componente en x, y una componente negativa en y de 4 unidades
de largo?.
9.- En la figura nº 1 se muestra la fuerza F ejercida por el músculo deltoides sobre el húmero cuando
el brazo se mantiene en posición horizontal. Calcular las componentes de la fuerza en Newton si
F = 60 Kg.f. (1Kg.f = 9.806 Newton)
Figura nº 1.
10.- En la figura nº 2 se muestra la forma del tendón del cuádriceps al pasar por la rótula. Si la
tensión T del tendón es 155 Kg.f, ¿Cuál es el módulo y la dirección de la fuerza de contacto Fc
ejercida por el fémur sobre la rótula?.
Figura nº 2.
11.- La figura nº 3 representa la cabeza de un estudiante inclinado sobre un libro. La cabeza pesa
14,5 Kg.f y está sostenida por la fuerza muscular Fm ejercidas por los tensores del cuello y por la
fuerza de contacto Fc, ejercida en la articulación atlanto-occipital. Dado que el módulo de la fuerza
Fm es de 15,4 Kg.f, y que está dirigida 35º por debajo de la horizontal. Hallar el módulo y la dirección
de la fuerza de contacto Fc.
Figura nº 3.
12.- El tendón de bíceps de la figura nº 4 ejerce una fuerza Fm de 17 kg.f sobre el antebrazo. El
brazo parece doblado de tal manera que forma un ángulo de 40º con el antebrazo. Hallar las
componentes de Fm, a) paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora) y b) perpendicular al antebrazo
(fuerza de sostén).
Figura nº 4.
13.- El abductor de la cadera, que conecta al fémur de la cadera, consta de tres músculos
independientes que actúan en diferentes ángulos. En la figura nº 5 se muestra los resultados de las
fuerzas ejercidas por separado por cada músculo. Hallar la fuerza total ejercida por los tres músculos
juntos. (1 Kp = 1 Kg.f).
Figura nº 5.
14.- Las partes posterior y anterior del músculo deltoides elevan el brazo al ejercer las fuerzas Fp y
Fa que se muestran en la figura nº 6. ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total sobre el brazo y qué
ángulo forma con la vertical?. (1 Kp = 1 Kg.f).
Figura nº 6.
15.- Hallar la fuerza total aplicada a la cabeza del paciente por el dispositivo de tracción de la
figura nº 7. (1 Kp = 1 Kg.f).
Figura nº 7.
16.- En la figura nº8 se muestra una cuerda elástica atada a dos muelas y estirada hasta pasar por
un incisivo. La finalidad de este dispositivo es aplicar una fuerza F al incisivo. Si la tensión de la
cuerda es de 2 kg.f, ¿Cuál es el modulo y la dirección de la fuerza aplicada al incisivo?.
Figura nº 8.