15TrabajoEnergía

TRABAJO Y ENERGÍA
CONTENIDOS.
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.-
El trabajo. Interpretación gráfica. Hacia la idea de integral.
Trabajo de una fuerza variable: trabajo elástico.
Potencia.
Energía y su degradación.
Teorema de conservación de la energía.
Trabajo y energía cinética.
Trabajo y energía potencial.
Energía potencial elástica
Teorema de conservación de la energía mecánica.
Choques. Pérdida de energía.
TRABAJO (W).
En el caso de que la fuerza sea constante W es el producto escalar de la fuerza (F)
por el vector desplazamiento (r).
Es por tanto un escalar (un número).
W = F · r =|F|·|r| · cos a
siendo “” el ángulo que forman ambos vectores.
Si F y r tienen la misma dirección y sentido, entonces W = F ·  r
Significado gráfico del trabajo con fuerza constante
F (N)
Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas,
podemos comprobar que “W” es el área del paralelogramo
cuya base es “x” y cuya altura es la “F” constante.
Trabajo y unidades
F
En el caso de que la fuerza se aplique en la dirección y
sentido del desplazamiento, cos  = 1
De donde
W = |F| ·|r |
W
x
x0
x (m)
En cambio, si F y r son perpendiculares  cos  = 0 y el trabajo es nulo.
La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es: Julio (J) = N · m = kg · m2/s2
Ejemplo:
Se tira de una vagoneta de 20 kg con una cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º
con la dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una distancia de
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50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima parte del peso.
Calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la vagoneta.
W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J
WR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J
WP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0
WN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0
Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J
x
Definición integral del trabajo. 
F
En el caso de que la fuerza no sea constante (p.e.
fuerzas elásticas), la definición del trabajo es más compleja.
El trabajo
puede obtenerse
calculando el área
comprendido entre
la curva y el eje de
abscisas, y las
ordenadas que
delimitan el
desplazamiento.
Habría que considerar el trabajo como una suma de
mucho trabajos en los que se pudiera considerar que al ser el
desplazamiento muy pequeño F sería constante.
W = r 0 F · r =  F · dr
TRABAJO ELÁSTICO
x
x0
Supongamos que el muelle actúa en la dirección del eje “x” con lo que habrá que
realizar una fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza elástica para estirar el muelle
(– k · x)
F=k·x
F depende, pues. de “x” y no es constante
W =  F · x =  k · x dx = ½ k · x2
Significado gráfico del trabajo elástico
Si representamos “F” en ordenadas y “x” en abscisas,
podemos comprobar que “W” es el área del triángulo cuya
base es “x” y cuya altura es la “Fmáx”.
W = ½ Fmáx· x
F (N)
x
W
Fmáx
x (m) x
POTENCIA
Se llama potencia al cociente entre la energía transferida y el tiempo empleado en el
proceso.
Si toda la energía transferida se transforma en trabajo:
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W
|F| · | r| · cos 
P = — = ———————— = |F|·|v|·cos 
t
t
P=F· v
La unidad de potencia es el W (watio)= J/s
RENDIMIENTO DE UNA MÁQUINA.
Normalmente, la potencia que tiene que desarrollar una máquina (o nosotros
mismos) es mayor que el trabajo útil realizado, ya que parte de la misma se emplea en
realizar trabajo de rozamiento.
Se llama rendimiento () a:
W útil
 = —— · 100
W
W
Wútil
P = — = ——— · 100
t
·t

POTENCIA EFECTIVA.
Si llamamos potencia efectiva a:
W útil
Pefectiva = ——
t
W útil
P = ——— · 100
t·

Pefectiva
P = ———–– · 100

Ejemplo:
Calcula la potencia que debe poseer un motor para llenar de agua una piscina de 100 m3
de capacidad en 5 horas, sacando agua de un pozo a 6 metros por debajo de la entrada a
la piscina, si el rendimiento es del 80 %.
m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg
Wútil = F · e = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m = = 5,88 ·106 J
W útil
5,88 ·106 J
Pef = —— = ———————— = 326,7 W
t
5 h · 3600 s/h
Pef
326,7 W
P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W

80
ENERGÍA
Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo (u otra transformación).
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A su vez, el trabajo es capaz de aumentar la energía de un sistema.
 Se considera W>0 aquel que aumente la energía del sistema.
 Se considera W<0 aquel que disminuye la energía del sistema.
Tipos de energía
 Mecánica:
–
Cinética.
–
Potencial.
 Térmica.
 Eléctrica.
 Nuclear.
 Química.
 Luminosa.
 ...
TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA.
N
Fy
Imaginemos que tiramos de una caja con una fuerza
F constante que forma una ángulo “a” con el suelo.
Fr
Como consecuencia de la misma la caja experimenta
una aceleración.
F=m·a
; Fx – Fr = m · ax
; N + Fy – P = 0;
F
Fx
P
ay =0
Como el desplazamiento sucede en el eje x
W =  F · x = (Fx – Fr )·(x – x0) = m·a·(x – x0)
Aplicando las ecuaciones x = f(t) y v = f(t) en el MRUA:
x – x0 = (v0 +½ a ·t) ·t
;
a = (v – v0) / t
(v – v0)
(v – v0)
W = m · ———— · v0 + ———— ·t ·t =
t
2t
W = m · (v – v0) · [v0 +½ (v – v0)] = ½ m · (v – v0) · (v + v0) = ½ m v2 –½ m v02
A la expresión ½ m v2 la llamaremos “energía cinética” (Ec), con lo que el trabajo
realizado se ha invertido en aumentar energía cinética del sistema.
W = ½ m v2 – ½ m v02 = Ec– Eco = Ec
que también se conoce como “Teorema de las fuerzas vivas”.
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Ejemplo:
Un jugador de hockey lanza el tejo de 200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de
recorrer 25 m la velocidad disminuye un 10 %, calcular: a) el trabajo de rozamiento; b) el
coeficiente de rozamiento; c) el tiempo que tarda en detenerse; d) el espacio que recorre
hasta pararse.
a) W R = EC = ½ m v2 – ½ m v02 = ½ · 0,2 kg · (9 m/s)2 – ½ · 0,2 kg · (10 m/s)2 =
8,1 J – 10 J = –1,9 J
b) W R = – FR · x = – md · N · x
–1,9 J
d = ———————= 0,039
–1,96 N · 25 m
c) FR = –md ·m · g = m · a  a = – md · g = – 0,039 ·9,8 m/s2 = – 0,38 m/s2
v
0 – 10 m/s
t = —— = —————— = 26,3 s
a
– 0,38 m/s2
d) e = v0 · t + ½ a · t2 = 10 m/s · 26,3 s – ½ 0,38 m/s2 · (26,3 s)2 = 131,6 m
TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.
El trabajo producido por algunos tipos de fuerza se emplea en variar otro tipo de
energía llamada “energía potencial gravitatoria” o simplemente “energía potencial” .
Si subimos una caja al piso de arriba aplicamos una fuerza igual en módulo al peso
de la misma. Como  F= 0 no se produce aceleración pero al realizar un trabajo se ha
aumentado la energía del sistema.
W=|F|·|y| · cos 0º = m· g ·(h – h0)
A la expresión “m g h” se se llama “energía potencial” (Ep).
W = m · g · h – m · g · h0 = Ep– Ep0 = Ep
Al soltar la caja la energía acumulada en forma de energía potencial se transforma
en cinética.
Ejemplo:
Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano inclinado.
Comprueba que el trabajo que realiza el peso es el
mismo cuando el cuerpo cae verticalmente que
cuando cae deslizándose sin rozamiento a lo largo del
plano inclinado.
90º - 
l

h
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WPa = |P|·|y| · cos 0º = m·g ·h
WPb = |P|· |l| ·cos (90º – a)
Como:
h
cos (90º – a) = —
l
WPb = m ·g ·h, con lo que: WPa = WPb
ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPE)
El trabajo realizado al estirar un muelle (½ k · x2) se almacena en forma de energía
potencial elástica cuyo valor es precisamente:
Epe = ½ k · x2 , siendo “x” lo que se ha estirado el muelle.
Ejemplo:
Colocamos un muelle cuya constante vale 49 N/m horizontalmente y lo comprimimos 5
cm. Si apoyamos una esfera de 25 g y soltamos, calcular la velocidad con que será
lanzada suponiendo que toda su energía potencial elástica se transforma en energía
cinética.
Epe = ½ k ·x2 = ½ (49 N/m)·(0,05 m)2 = 0,061 J
EC = ½ m·v2 = 0,061 J
Como la Epe se transforma en EC:
Despejando “v”:
v=
2  EPe
2 0,061J
=
=
m
0,025 kg
2,21 m/s
TRABAJO DE ROZAMIENTO. ENERGÍA PERDIDA.
¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una superficie con velocidad constante?
Si v = cte  a = 0   F = 0
de donde se deduce que la fuerza aplicada es igual a la de rozamiento pero de
sentido opuesto.
WR = – md · m · g · cos  · r
La Eperdida = |WR|
ENERGÍA MECÁNICA. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN.
Se llama “energía mecánica” (EM) a la suma de las energía cinética y potencial.
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EM = Ec + Ep = ½ m v2 + m g h
Principio de conservación de la energía mecánica:
“Si no se aplica ninguna fuerza exterior y no hay rozamiento la energía mecánica se
conserva”.
Lógicamente, si hay rozamiento: EM(final) = EM0– Eperdida
Demostración:
Dejemos caer un objeto desde una altura “h0”. La única fuerza existente es el peso.
Inicialmente, v0 = 0
 EC0 = 0
;
altura = h0  Ep0 = m g h0
EM0 = EC0 + Ep0 = m g h0
Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá caído con MRUA y se encontrará a una
altura “h” y llevará una velocidad “v”:
h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t
EM = EC+Ep = ½ m v2 + m g h = ½ m (– g t)2 + m g (h0 – ½ g t2) =
½ m g2 t2 + m g h0 – ½ mg2 t2 = m g h0
Es decir, la energía mecánica no ha variado, pues la E C ha aumentado lo mismo que
ha disminuido Ep
Ejemplo:
Lanzamos verticalmente una pelota con una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la
altura máxima usando el principio de conservación de la energía mecánica.
Ec = ½ m v2
=½
m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2
Como la energía cinética se transformará en potencial
Ep = m g h = 50 m m2/s2
Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h”
50 m2/s2
h = ———— = 5,1 m
9,8 m/s2
Ejercicio:
Lanzamos una pelota con una velocidad de 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a
la horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima usando el principio de conservación de
la energía mecánica.
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Ec0 = ½ m v02
=½
m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2
En el punto más alto sólo existirá “vx = v0·cos 30 º”
Ec1 = ½ m v12
=½
m·(0,866·10 m/s)2
Ec1 = 37,5 m m2/s2.
Igualmente:
Igualando EM0 = EM1:
50 m m2/s2 = 37,5 m m2/s2 + m ·g ·h
Ep1 = m ·g ·h
Eliminando la masa “m” en ambos miembros y despejando “h”:
h = 1,28 m
CHOQUES 
 Elásticos: La energía se conserva, es decir, no se pierde energía.
 No elásticos: La energía no se conserva, es decir, se pierde energía.
Sin embargo, sí se conserva la cantidad de movimiento.
 Inelásticos: Es un caso particular de choque no-elástico, en el que ambos
cuerpos quedan unidos y por tanto salen a la misma velocidad.
Ejemplo:
Se lanza un chicle de 20 g contra un bloque de madera de 1 kg que cuelga del techo por
una cuerda. Después del impacto el chicle queda adherido al bloque y éste se pone a
oscilar elevándose 1 cm por encima de su posición de equilibrio. Calcula la velocidad del
chicle en el momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica se pierde tras el
impacto?
20 g · vch · i + 0 = 1020 g · vm-ch · i
Por otro lado, aplicando el principio de conservación de la energía (después del
choque):
½ 1020 g · vm-ch2 = 1020 g · 9,8 m/s2 · 0,01 m
De donde se obtiene que: vm-ch = (2 ·9,8 m/s2 · 0,01 m)½ = 0,44 m/s
Sustituyendo en a): vch = 22,6 m/s
EM0 = Ec0 = ½ 20 g ·(22,6 m/s)2 + 0 = 5,11 J
EM1 = Ec1 = ½ 1020 g ·(0,44 m/s)2 = 0,099 J
5,11 J – 0,099 J
% EM perdido = ———————— · 100 = 98,1 %
5,11 J