Matem ticas II
Anuncio
Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. ÍNDICE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS II 1.OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS I I(Currículo oficial) ....................................................................... 2 2.CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS II (Desglosados por unidades) ........................................................................................... 8 3.SECUENCIACION Y DISTRIBUCIÓN TEMPORAL EN MATEMÁTICAS II ........................................................................................................................................ 34 4. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS EN BACHILLERATO(Currículo) . 35 5. MATERIALES DIDÁCTICOS ............................................................................... 40 6. PLAN DE COMPETENCIA LECTORA Y PLAN DE INTEGRACIÓN CURRICULAR DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN ....................................................................................................... 41 7. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN ....................... 42 8. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN ........................................................................ 42 9.MÍNIMOS EXIGIBLES PARA OBTENER UNA CALIFICACIÓN POSITIVA ........................................................................................................................................ 43 10. MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD ............................................. 48 11. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES PROPUESTAS .............................................................................................................. 50 12 EVALUACIÓN DEL DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN Y LA PRÁCTICA DOCENTE ............................................................................................. 50 13. INFORMACIÓN A LOS ALUMNOS .................................................................. 50 14. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO CON LAS MATEMÀTICAS DE 1º PENDIENTES................................................................................................................51 15. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE PERMANECEN UN AÑO MÁS EN 2º CURSO......................................................................................................51 Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 1 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. MATEMÁTICAS II (BACHILLERATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA) Nota La programación didáctica de este curso se apoya totalmente en el Currículo de Matemáticas establecido en el Principado de Asturias y publicado en el Boletín Oficial del mismo, los objetivos así como los contenidos y criterios de evaluación por bloques del currículo oficial aparecen en primer lugar y a continuación el desarrollo y desglose por unidades coincidiendo plenamente con dicho currículo. 1. OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS II (Currículo oficial) OBJETIVOS (Currículo) La enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y de diferentes ámbitos del saber. 2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, como una necesidad para lograr la consistencia de las teorías matemáticas, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos. 3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y explorar situaciones y fenómenos nuevos. 4. Emplear los recursos aportados por las tecnologías para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos, servir como herramienta en la resolución de problemas y soporte para la comunicación y exposición de resultados y conclusiones. 5. Interpretar con precisión textos y enunciados y utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar razonamientos y afirmaciones carentes de rigor científico. 6. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el interés por el trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas. 7. Expresarse con corrección de forma verbal y escrita, e incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente. Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos, notaciones y representaciones matemáticas. . Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 2 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 8. Analizar y valorar la información procedente de diversos medios, utilizando estrategias científico-matemáticas para formarse una opinión propia sobre los problemas actuales y defenderla razonadamente ante los demás, mostrando actitudes de tolerancia y respeto, contribuyendo así a la formación personal y al enriquecimiento cultural. 9. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar, comprender y valorar la relación entre las matemáticas, la realidad y otras áreas del saber. Apreciar el conocimiento y el desarrollo histórico de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, al que han contribuido tanto hombres como mujeres a lo largo de la historia, adoptando actitudes de solidaridad, tolerancia y respeto, contribuyendo así a la formación personal y al enriquecimiento cultural. CONTENIDOS MATEMÁTICAS II (Currículo oficial) 1. Contenidos comunes − Planteamiento y desarrollo de estrategias propias de resolución de problemas como formulación de hipótesis, verificación, nuevas alternativas y generalización. − Reconocimiento y valoración de las herramientas matemáticas para interpretar, comunicar y resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana, de la ciencia y la tecnología. − Valoración de la matemática como herramienta necesaria en la toma de decisiones. Sentido crítico ante las informaciones que emplean datos e información matemática y sus posibles interpretaciones. − Valoración y utilización de recursos tecnológicos (calculadora, hoja de cálculo y software matemático de representación gráfica) para representar números, tablas, gráficos, funciones y figuras geométricas, analizar propiedades y características. − Identificación de situaciones de la realidad o estudiadas en otras materias y valoración de la utilidad de las Matemáticas como herramienta en el estudio de estas situaciones. − Expresión verbal y escrita de argumentaciones, justificaciones y procesos en la resolución de problemas con el rigor preciso y adecuado a cada situación. − Presentación ordenada de los conceptos y procedimientos aplicados, explicación del proceso seguido utilizando la terminología adecuada y valoración crítica de los resultados obtenidos, cuidando la precisión y la claridad en los cálculos realizados. 2. Álgebra lineal − Matrices. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Propiedades. − Matriz inversa. Resolución de ecuaciones matriciales sencillas utilizando las operaciones con matrices y la matriz inversa. − Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. − Aplicación de las operaciones de matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. − Rango de una matriz. Obtención del rango de una matriz utilizando el método de Gauss. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 3 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. − Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Cálculo de determinantes de orden dos o tres utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por los elementos de una fila o columna. − Utilización de los determinantes para calcular el rango de una matriz. − Cálculo de la matriz inversa utilizando determinantes. Justificación de una condición necesaria y suficiente para su existencia. − Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Matrices asociadas. Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. − Sistemas de Cramer. Resolución de sistemas por métodos diversos. − Teorema de Rouché-Fröbenius. Sistemas dependientes de un parámetro. − Planteamiento, discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 3. Geometría − Vectores en el espacio tridimensional. Operaciones con vectores. − Vectores paralelos, vectores ortogonales. Módulo de un vector. − Producto escalar, vectorial y mixto. Expresión analítica y significado geométrico. − Obtención de las distintas ecuaciones de la recta. − Deducción de las distintas ecuaciones del plano a partir de un punto y dos vectores directores o un punto y un vector normal asociado. − Obtención de la ecuación de la recta como intersección de dos planos. − Resolución de problemas de posiciones relativas entre dos rectas, dos o tres planos o una recta y un plano. − Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, perpendicularidad, paralelismo, incidencia, distancias, áreas y volúmenes. − Cálculo del punto simétrico de un punto respecto a otro punto, una recta o un plano. − Búsqueda de la perpendicular común a dos rectas que se cruzan y los puntos de mínima distancia. − Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales. 4. Análisis − Concepto de límite de una función. Cálculo del límite de una función en un punto y en el infinito. Límites laterales. Interpretación gráfica de los distintos casos. − Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidad. Interpretación gráfica. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 4 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. − Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto. − Obtención de la recta tangente a una curva en un punto. − Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivación logarítmica. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función: crecimiento, curvatura, extremos y puntos de inflexión. − Resolución de problemas de optimización. − Utilización de la derivada para el cálculo de límites y la resolución de indeterminaciones: Regla de L’Hôpital. − Determinación de las asíntotas de una función y de la posición de la función respecto a ellas. − Representación de funciones: dominio, cortes, periodicidad, simetría, crecimiento y extremos, curvatura, asíntotas. − Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades. − Técnicas elementales para el cálculo de primitivas: inmediatas, cambio de variable, por partes, descomposición en fracciones simples (denominador con raíces reales simples). − Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. − Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas utilizando la regla de Barrow. CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS II (Currículo oficial) 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas. Se trata de evaluar que el alumnado sea capaz de enfrentarse a problemas de la vida real comprendiendo y aplicando un lenguaje matricial, mediante un planteamiento algebraico utilizando sistemas de ecuaciones. Utilizar las operaciones con matrices, el cálculo de determinantes y sus propiedades, así como discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales, como máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas y dependientes de un parámetro, determinando antes el método de resolución más adecuado y comprobando la validez de las soluciones encontradas. 2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. Este criterio pretende comprobar la capacidad del alumno o la alumna para resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre los distintos elementos del espacio, identificando y utilizando las distintas ecuaciones de la recta y del plano. También se valorará la capacidad de calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes. Los estudiantes deberán describir correctamente, con un razonamiento lógico, el proceso seguido en la resolución de los problemas planteados, ayudándose siempre que sea preciso de una representación gráfica. Deberán saber aplicar las herramientas algebraicas y podrán utilizar software matemático de representación geométrica que faciliten la visualización, el análisis de Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 5 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. la situación y la búsqueda y justificación de la solución. 3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumnado para resolver problemas de actividades cotidianas o de otros ámbitos, trabajando de forma individual o en equipo, utilizando las herramientas aprendidas en los bloques de álgebra y geometría, empleando un lenguaje apropiado a cada caso y haciendo una representación geométrica siempre que sea necesario. Se valorará la disposición favorable a asumir tareas, la flexibilidad ante las diversas propuestas, el análisis crítico, la claridad del planteamiento y del razonamiento seguido, el análisis de la validez de las soluciones, el manejo de las unidades adecuadas, así como la expresión escrita u oral ante el grupo. 4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita. Se pretende comprobar con este criterio que el alumno o la alumna es capaz de utilizar los conceptos básicos del análisis y las técnicas para el cálculo de límites y derivadas y que los emplean para analizar las propiedades globales y locales de una función expresada algebraicamente (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, puntos de corte, periodicidad, crecimiento, curvatura y asíntotas) para construir su representación gráfica, usando la terminología adecuada. El estudio se limitará a funciones polinómicas, racionales o irracionales sencillas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas con un máximo de dos funciones compuestas, de modo que la capacidad a evaluar sea más el manejo de las herramientas propias del análisis, sin complicados procesos de cálculo, y su aplicación a la interpretación gráfica de las mismas. 5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización. Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones de mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir y aplicar los resultados del análisis al contexto del fenómeno, y encontrar valores que optimicen alguna condición establecida, utilizando, si fuese preciso, aplicaciones informáticas que faciliten el estudio de las funciones y sus propiedades. 6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitada por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables. Este criterio pretende evaluar la capacidad para comprender el significado y algunas técnicas sencillas de búsqueda de primitivas, integración inmediata, integración por partes, descomposición en fracciones elementales y cambios de variables sencillos. También se trata de valorar si el alumno o la alumna comprende el significado de la integral definida, y la relacionen con el cálculo de primitivas. Ha de ser capaz de utilizar el cálculo integral para medir el área de una región plana limitada por rectas, por dos funciones, o por rectas y funciones de las que sea sencillo hacer una representación aproximada. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso, tomando decisiones en el grupo de trabajo y debatiendo en entornos de respeto las ideas que sustentan la investigación. Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse a situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación, usando un lenguaje adecuado y las Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 6 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. destrezas matemáticas adquiridas. Es importante señalar que tales situaciones no tienen que estar directamente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas, incluidos los recursos proporcionados por las tecnologías de la información y la comunicación y el software matemático específico, así como estrategias diversas, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido. 8. Utilizar recursos diversos tanto para la obtención de la información necesaria como para la realización de cálculos y gráficos, para establecer conjeturas, en la búsqueda de soluciones, sirviendo de apoyo en argumentaciones y en la exposición de conclusiones en las situaciones que lo requieran. Se pretende con ello observar la capacidad de alumnas y alumnos para utilizar tecnologías de la información y la comunicación, así como software matemático específico (hoja de cálculo, sistemas de representación de objetos matemáticos, de álgebra computacional y de geometría dinámica), para abordar situaciones problemáticas planteadas que precisen, por un lado la búsqueda de datos de forma selectiva, interpretándolos y analizándolos con rigor, y por otro la realización de cálculos en progresiva complejidad, así como para presentar resultados y gráficos de forma atractiva y clara. Se trata también de valorar el interés por el uso de estos recursos para realizar conjeturas y contrastar estrategias con autonomía. 9. Realizar trabajos en equipo, asumiendo las tareas con responsabilidad, exponiendo sus propias ideas, valorando las ajenas y aceptando el trabajo desarrollado por los demás miembros del grupo. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 7 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 2.CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS II (Desglosados por unidades) UNIDAD 1: Matrices I. OBJETIVOS Utilizar las matrices como forma de representar y transmitir información. Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y propiedades. Conocer el significado del rango de una matriz o de una familia de vectores, saber calcularlo y aplicarlo. Saber determinar si una matriz es invertible y, en caso de que lo sea, saber calcular su inversa aplicando la definición o utilizando el método de Gauss-Jordan. Utilizar las matrices en la resolución de problemas geométricos. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que conllevan datos estructurados en forma de tablas o grafos. B. Realizar sumas y productos de matrices entre sí y por números reales. C. Realizar operaciones combinadas con matrices. Resolver ecuaciones matriciales sencillas. D. Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de Gauss. E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro. F. Determinar si un conjunto de vectores fila o columna son linealmente dependientes o independientes. G. Determinar si una matriz cuadrada es o no invertible mediante el cálculo de su rango. H. Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el método de Gauss-Jordan. I. Calcular el transformado de un punto por uno o varios movimientos. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico en general y el matricial en particular para describir y resolver situaciones problemáticas en distintos contextos. Desarrollar habilidades para procesar y comunicar información a través de tablas numéricas, grafos y matrices siendo capaces de pasar de unos métodos a los otros. Utilizar aplicaciones informáticas para operar con grandes cantidades de datos estructurados, utilizando para ello los comandos de cálculo matricial que dichas aplicaciones incorporan . Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas de las propias matemáticas o de otras ciencias . IV. CONTENIDOS Conceptos Matrices. Conceptos básicos. Tipos de matrices: fila, columna, rectangular, cuadrada, diagonal, triangular, nula, identidad, traspuesta, simétrica, etc. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 8 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Operaciones con matrices: suma y producto por un número. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades. Matrices invertibles. Cálculo de la matriz inversa. Dependencia lineal de filas y columnas. Rango de una matriz. El método de Gauss en el cálculo del rango de una matriz. Grafos y matrices. Matrices asociadas a los movimientos del plano. Procedimientos Utilizar las matrices en la representación, interpretación y manipulación de datos numéricos estructurados. Conocer y utilizar la nomenclatura básica de las matrices y su clasificación. Calcular la suma de dos matrices, del producto de un número por una matriz y del producto de dos matrices. Determinar la regularidad de matrices cuadradas de orden menor o igual a 3 y calcular la inversa a partir de la definición o por el método de Gauss-Jordan. Utilizar el método de Gauss en el cálculo del rango de una matriz. Utilizar el cálculo matricial en el estudio de los movimientos del plano y la teoría de grafos. Actitudes Aprecio por los métodos de representación tabulada de datos numéricos. Valoración positiva de las matrices y el álgebra matricial para resolver situaciones problemáticas relacionadas con las matemáticas o con otras ciencias. Gusto por facilitar de forma clara y precisa la información mediante la utilización de tablas, grafos y matrices. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en el tratamiento y manipulación de grandes cantidades de información. UNIDAD 2: Determinantes I. OBJETIVOS Conocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y saber calcular su valor para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3. Conocer la regla de Sarrus y aplicarla en el cálculo de determinantes de orden 3. Conocer las propiedades de los determinantes y utilizarlas en la simplificación del cálculo de determinantes de matrices de orden mayor o igual a 3. Utilizar los determinantes en el cálculo matricial. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular determinantes de orden 2. B. Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3. C. Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden mayor o igual a 3. D. Calcular el rango de una matriz mediante el uso de determinantes. E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro. F. Comprobar mediante determinantes si una matriz cuadrada es invertible. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 9 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. G. Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular. H. Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices regulares de orden menor o igual a 3. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico en general, y el relativo a matrices y determinantes en particular, para describir y resolver situaciones problemáticas en distintos contextos . Diseñar, a partir de la definición y propiedades de los determinantes, nuevas estrategias que faciliten el cálculo de los mismos y puedan utilizarse en la resolución de otras situaciones propias del álgebra, la geometría, etc. Utilizar los medios tecnológicos para simplificar los largos y tediosos cálculos que en ocasiones conlleva la resolución de los problemas de álgebra lineal, y, en concreto, el cálculo de determinantes de matrices de órdenes elevados Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de elegir el método más apropiado en la resolución de problemas propios del álgebra lineal y del cálculo de determinantes en particular IV. CONTENIDOS Conceptos Determinantes de segundo y tercer orden. Determinantes de matrices de orden superior. Propiedades de los determinantes. Adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna. Matriz adjunta. Caracterización de la regularidad de una matriz mediante determinantes. Cálculo de la matriz inversa de una matriz regular mediante determinantes. Calculo del rango de una matriz mediante determinantes. Ecuaciones matriciales. Procedimientos Calcular determinantes de orden dos y tres (regla de Sarrus). Utilizar las propiedades de los determinantes en la simplificación de su cálculo. Calcular determinantes desarrollando por los elementos de una fila o columna. Usar transformaciones lineales para hacer cero varios elementos de una fila o columna de una matriz. Calcular determinantes por triangulación. Método de Gauss. Obtener la matriz adjunta de una dada. Determinar la regularidad o singularidad de una matriz cuadrada. Obtener la inversa de una matriz regular mediante determinantes. Calcular el rango de una matriz mediante determinantes. Determinar el rango de una matriz dependiente de un parámetro. Resolver ecuaciones matriciales usando matrices inversas. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 10 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Actitudes Valoración de los determinantes por su utilidad en la resolución de problemas del álgebra lineal y de la geometría. Interés por los procedimientos que permiten simplificar cálculos laboriosos utilizando las propiedades inherentes a determinados objetos matemáticos. Gusto por la presentación ordenada y explicada de las técnicas aplicadas para la obtención del valor de un determinante. Interés por la utilización de distintos métodos en la resolución de un mismo problema valorando las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos. Gusto por la investigación de relaciones y pautas que pueden seguir ciertos determinantes. Valoración de las nuevas tecnologías por su precisión y rapidez en los cálculos matriciales y de determinantes. UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones I. OBJETIVOS Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. Conocer la regla de Cramer y utilizarla, cuando sea posible, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conocer el teorema de Rouché y utilizarlo en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Comprender la interpretación geométrica de los sistemas de dos ecuaciones lineales. Determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro y resolverlos en los casos en que sea compatible. Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para plantear y resolver problemas en diversos contextos. . II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. B. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes. C. Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. D. Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser compatibles. E. Resolver sistemas homogéneos. F. Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano. G. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro. H. Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 11 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico para describir y resolver situaciones problemáticas en distintos contextos . Interpretar y analizar la validez de los resultados obtenidos al resolver los sistemas de ecuaciones lineales utilizados para describir problemas en diversas situaciones. Utilizar los medios tecnológicos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conocer la evolución histórica del álgebra lineal y de los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto . IV. CONTENIDOS Conceptos Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Criterios de equivalencia. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. Teorema de Rouché. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas lineales homogéneos. Interpretación geométrica de sistemas lineales con dos incógnitas. Procedimientos . Sistemas dependientes de un parámetro. Discusión y resolución. Plantear matricialmente un sistema de ecuaciones lineales dado en su forma clásica y viceversa. Obtener sistemas equivalentes a uno dado mediante transformaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. Resolver sistemas de ecuaciones de Cramer mediante la matriz inversa de la matriz de coeficientes. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer. Aplicar el teorema de Rouché en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Discutir sistemas que dependen de un parámetro. Resolver sistemas homogéneos. Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano. Actitudes Interés en la búsqueda de nuevas estrategias de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 12 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Curiosidad por los procesos que conducen a la generalización de situaciones y métodos. Confianza en la capacidad para describir situaciones relacionadas con lo cotidiano o con otras disciplinas a través del lenguaje algebraico de los sistemas de ecuaciones. Valoración positiva de las técnicas relativas a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales como herramientas eficaces, que se pueden aplicar a numerosos problemas en diversos contextos y relacionados con las ciencias o con la tecnología. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con un elevado número de variables y condiciones. UNIDAD 4: Vectores en el espacio I. OBJETIVOS Comprender y manejar adecuadamente los conceptos de combinación lineal y de independencia lineal para poder expresar un vector en función de los vectores de una base y determinar sus coordenadas. Efectuar correctamente el producto escalar de vectores y aplicar esta operación para resolver problemas de ortogonalidad, y para calcular el módulo de un vector y el ángulo que determinan dos vectores Efectuar correctamente el producto vectorial y el mixto con vectores de V3 y comprender su interpretación geométrica para aplicarlos a la resolución de problemas métricos. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados. B. Determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores. C. Multiplicar escalarmente dos vectores tanto en la forma geométrica como en la analítica. D. Determinar condiciones de ortogonalidad de dos vectores dependientes de un parámetro. E. Saber hallar el ángulo de dos vectores y determinar vectores ortogonales a uno dado. F. Calcular correctamente productos vectoriales y productos mixtos con unos vectores conocidos. G. Aplicar el producto vectorial para determinar una dirección ortogonal al plano vectorial V2 determinado por dos vectores. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar los vectores para expresar magnitudes físicas vectoriales del mundo cotidiano, como la fuerza, la aceleración o la velocidad . Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de la vida diaria: señales de tráfico, mapas meteorológicos, diagramas de flujo, etc.Resolver de manera clara, rigurosa y exacta, utilizando Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 13 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. vectores y representaciones gráficas, problemas cercanos tanto de Geometría como de Física . Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de puntos y vectores . IV.CONTENIDOS Conceptos Los conjuntos R2 y R3. Vectores fijos y libres en el espacio. Equipolencia. Operaciones con vectores libres. Propiedades. Combinación lineal de vectores y dependencia lineal. Base de V3. Coordenadas de un vector. Producto escalar de vectores. Expresión analítica. Vectores ortogonales. Ángulo de dos vectores. Producto vectorial. Producto mixto de tres vectores. Procedimientos Efectuar operaciones en R2 y en R3. Determinar los elementos de un vector fijo (origen, extremo, dirección, sentido y módulo). Resolver problemas de paralelogramos con la equipolencia de vectores. Efectuar operaciones con vectores, tanto analítica como gráficamente. Expresar un vector como combinación lineal de otros dos. Determinar si dos vectores son linealmente dependientes o independientes. Hallar coordenadas de vectores respecto de la base canónica y respecto de otras bases. Multiplicar escalarmente dos vectores. Hallar el ángulo que determinan dos vectores. Determinar vectores ortogonales y unitarios. Efectuar productos vectoriales de dos o más vectores. Hallar el producto mixto de tres vectores a partir del producto vectorial. Realizar el producto mixto en forma analítica y comparar con el otro procedimiento. Actitudes Disposición favorable para el estudio y conocimiento del cálculo vectorial y reconocer la necesidad y la utilidad de los vectores y sus operaciones. Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en las que aparezcan los vectores o sean imprescindibles para su resolución o representación. Predisposición para aprender conceptos, relaciones, y técnicas nuevas para resolver problemas. Gusto por la representación gráfica clara y precisa de vectores y puntos en el espacio. Valoración positiva del uso de los productos de vectores para la resolución de problemas de geometría, como determinación de ángulos y de ortogonalidad, y cálculo de distancias, áreas y volúmenes. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 14 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en el cálculo vectorial y su representación gráfica. UNIDAD 5: Planos y rectas en el espacio I.OBJETIVOS Determinar las coordenadas del punto que verifica ciertas condiciones según su posición en el espacio. Aprender a determinar de distintas formas la ecuación de la recta y el plano y, recíprocamente, a reconocer los puntos y las direcciones de las rectas y los planos mediante su ecuación. Conocer y comprender la determinación normal del plano y sus aplicaciones a los problemas de perpendicularidad y proyecciones ortogonales. Reconocer la posición relativa de rectas y planos en el espacio y manejar correctamente los conceptos de incidencia, paralelismo e intersección. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Dividir un segmento en partes iguales. B. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo. C. Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos de la recta y su vector director. D. Saber determinar un plano de distintas formas y saber hallar en cada caso su ecuación. E. Hallar la ecuación de un plano del que se conoce un punto y la dirección del vector normal. F. Saber hallar proyecciones de puntos sobre rectas y de puntos y rectas sobre planos. G. Resolver problemas de paralelismo, perpendicularidad e intersección de rectas y planos. H. Efectuar el estudio de la posición relativa entre dos rectas, entre una recta y un plano, y entre dos o tres planos. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático (algebraico), de diferentes formas, la relación que verifican los puntos de una recta o de un plano . Reconocer la utilidad de las distintas expresiones de la ecuación de una recta o de un plano, y usar en cada caso la más adecuada . Potenciar la creatividad de los alumnos permitiéndoles y sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver un problema geométrico . Resolver de manera clara, precisa y exacta, utilizando elementos geométricos y representaciones gráficas adecuadas, problemas geométricos en el plano y en el espacio mediante las nuevas tecnologías . Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 15 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. IV. CONTENIDOS Conceptos Sistemas de referencia. Punto medio de un segmento. Elementos geométricos, dimensión y grados de libertad. Ecuaciones de la recta. Vector director. Ecuaciones del plano. Planos coordenados. Plano que pasa por tres puntos. Vector normal a un plano y ecuación normal. Posiciones relativas de una recta y un plano. Posiciones relativas de dos y de tres planos. Posiciones relativas de dos rectas. Haces de planos. Problemas de incidencia y paralelismo. Procedimientos Determinar las coordenadas de un punto en un sistema de referencia dado. Hallar las coordenadas del punto medio de un segmento. Dividir un segmento en partes iguales o en partes proporcionales a ciertas cantidades. Determinar de distintas formas la ecuación de una recta cuando se conoce un punto y el vector director o dos puntos. Obtener puntos de una recta y su vector director cuando se conoce su ecuación. Hallar la ecuación del plano en sus distintas expresiones. Calcular en forma paramétrica la ecuación de la recta definida por dos planos. Estudiar la posición relativa de dos rectas, de dos planos, y de recta y plano. Hallar la proyección de un punto sobre una recta y sobre un plano. Hallar intersecciones de rectas, de planos y de recta y plano. Resolver problemas de incidencia mediante haces de planos. Actitudes Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la geometría analítica. Reconocimiento de la necesidad y la utilidad de conocer y poder determinar la ecuación de la recta y el plano. Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sean precisas las condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas. Gusto por la representación gráfica clara y precisa de puntos, rectas y planos en el espacio. Valoración positiva del uso de la geometría analítica para la resolución de problemas de simetría y de lugares geométricos. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la Geometría, especialmente la representación gráfica. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 16 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. UNIDAD 6: Propiedades métricas I. OBJETIVOS Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la geometría analítica. Reconocimiento de la necesidad y la utilidad de conocer y poder determinar la ecuación de la recta y el plano. Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sean precisas las condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas. Gusto por la representación gráfica clara y precisa de puntos, rectas y planos en el espacio. Valoración positiva del uso de la geometría analítica para la resolución de problemas de simetría y de lugares geométricos. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la Geometría, especialmente la representación gráfica. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Hallar el ángulo que determinan dos vectores y el ángulo entre dos rectas. B. Hallar el ángulo que determinan dos planos secantes y el ángulo entre recta y plano. C. Efectuar proyecciones de puntos sobre rectas y planos. D. Calcular la proyección de una recta dada sobre un plano determinado. E. Hallar la distancia entre dos puntos, entre punto y recta, punto y plano, rectas y planos paralelos, y rectas que se cruzan. F. Calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro cuando se conocen las coordenadas de sus vértices. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático (algebraico), de diferentes formas, las fórmulas que permiten calcular ángulos, distancias y condiciones de perpendicularidad en el espacio . Efectuar representaciones gráficas precisas, utilizando el material adecuado, de cada uno de los elementos geométricos en el espacio tridimensional .Potenciar la creatividad de los alumnos, permitiéndoles y sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver problemas métricos de geometría en el espacio . Resolver los problemas de manera clara, precisa y exacta, utilizando elementos geométricos y representaciones gráficas adecuadas, mediante las nuevas tecnologías . IV. CONTENIDOS Conceptos Ángulo entre dos rectas. Ángulo entre dos planos. Ángulo entre recta y plano. Proyecciones ortogonales sobre recta y plano. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a un plano. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 17 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Distancia entre planos paralelos. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Distancia entre rectas que se cruzan. Perpendicular común. Áreas de paralelogramos y de triángulos. Volúmenes de paralelepípedos y tetraedros. Procedimientos Determinar los vectores directores de rectas y normales de planos. Calcular el ángulo de dos rectas. Calcular el ángulo entre recta y plano utilizando la recta proyectada sobre el plano. Calcular directamente el ángulo entre recta y plano. Determinar la distancia entre dos puntos. Calcular la distancia entre un punto y un plano mediante la proyección ortogonal del punto. Hallar la distancia entre rectas paralelas, entre planos paralelos y entre recta y plano paralelos. Calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan y la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas. Calcular productos vectoriales, hallar sus módulos e interpretar el resultado. Calcular las áreas de paralelogramos y triángulos, conocidas las coordenadas de sus vértices. Obtener el volumen de un tetraedro en función de las coordenadas de sus vértices. Contrastar el resultado obtenido en el cálculo del volumen del tetraedro, mediante el producto mixto, con el cálculo clásico del volumen de una pirámide. Actitudes Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la geometría analítica y de las herramientas vectoriales en la resolución de problemas métricos. Interés por la búsqueda de distintos métodos para afrontar la resolución de problemas en Geometría. Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas geométricos. Gusto por la representación gráfica clara y precisa de los elementos en el espacio. Valoración positiva del rigor científico en la obtención de resultados y en la resolución de problemas geométricos. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en facilitar los cálculos métricos y representar gráficamente los resultados. UNIDAD 7: Lugares geométricos en el espacio I. OBJETIVOS Determinar curvas en el plano mediante sus ecuaciones paramétricas, implícitas y explícitas, así como pasar de unas a otras. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 18 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Obtener las ecuaciones de lugares geométricos (curvas y superficies) en el espacio y, recíprocamente, identificar a partir de su ecuación de qué curva o superficie se trata. Hallar la ecuación de la superficie esférica determinada de diferentes formas y reconocer su posición relativa respecto a otras superficies esféricas, planos, rectas y puntos. Conocer las coordenadas esféricas y cilíndricas, y hallar las ecuaciones de superficies cónicas, cilíndricas, de traslación, de revolución y cuádricas. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Escribir las ecuaciones paramétricas de cualquier cónica en el plano. B. Expresar la ecuación de una cónica en forma implícita cuando se conoce su ecuación paramétrica, y viceversa. C. Calcular puntos y hallar la ecuación en forma implícita de curvas y superficies en el espacio, dadas mediante sus ecuaciones paramétricas. D. Determinar la ecuación de cuádricas sencillas (elipsoide, paraboloide, hiperboloide). E. Hallar la ecuación de la superficie esférica conociendo: centro y radio, extremos de un diámetro, centro y recta o plano tangente, cuatro puntos no coplanarios. F. Identificar una superficie esférica, su centro y radio a partir de su ecuación en cualquiera de sus formas. G. Resolver problemas de incidencia, tangencia, intersección y posición relativa con superficies esféricas. H. Calcular las ecuaciones de superficies cónicas, cilíndricas, de traslación, de revolución y cuádricas en las coordenadas apropiadas en cada caso. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar y definir mediante un lenguaje matemático preciso, riguroso y adecuado conceptos de Geometría, como lugares geométricos, curvas, superficies, rectas, planos, etc. Representar de forma clara y precisa elementos geométricos tanto del plano como del espacio, utilizando para ello técnicas y recursos adecuados . Potenciar la creatividad de los alumnos permitiéndoles y sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver los problemas de Geometría espacial . Aplicar al entorno y a otras ciencias los elementos geométricos objeto de estudio, como antenas parabólicas, esferas, órbitas elípticas de los planetas, espirales, superficies cónicas, etc. IV. CONTENIDOS Conceptos Lugares geométricos en el plano. Cónicas. Ecuaciones de una curva en el plano (paramétricas, implícita y explícita). Curvas en coordenadas polares. Lugares geométricos en el espacio. Ecuaciones de curvas y superficies en el espacio. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 19 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. La superficie esférica. El plano tangente. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Superficies cilíndricas y cónicas. Cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una y de dos hojas, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico. Procedimientos Definir, identificar y hallar la ecuación de lugares geométricos en el plano: mediatriz, bisectriz, cónicas, etc. Transformar las ecuaciones paramétricas en implícitas, y viceversa. Pasar de coordenadas polares a cartesianas, y viceversa. Hallar puntos y representar curvas sencillas dadas en coordenadas polares. Reconocer, diferenciar e identificar curvas y superficies en el espacio a partir de sus ecuaciones paramétricas. Hallar ecuaciones de superficies esféricas y estudiar posiciones relativas. Dada la ecuación de una superficie esférica, determinar su centro y su radio. Calcular el plano tangente a una esfera. Escribir las ecuaciones e identificar las superficies cilíndricas y cónicas. Calcular superficies de traslación y revolución. Identificar las ecuaciones reducidas y los elementos del elipsoide, hiperboloide, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico. Actitudes Curiosidad por el estudio de objetos geométricos en el espacio. Valoración positiva del uso de las ecuaciones paramétricas en el estudio y determinación de la ecuación de curvas y superficies en el espacio. Interés por conocer los diferentes sistemas de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas. Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas. Gusto por el cálculo ordenado y la representación gráfica clara y precisa de los elementos geométricos en el espacio. Curiosidad e interés por el uso de nuevas tecnologías en la representación de curvas y superficies en el espacio. . UNIDAD 8: Límites de sucesiones y de funciones I.OBJETIVOS Relacionar la acotación y la monotonía de una sucesión con la existencia de límite. Calcular el límite de las sucesiones convergentes y distinguir entre sucesiones divergentes y oscilantes. Adquirir de forma intuitiva y definir de manera formal los conceptos de límites laterales y límite de una función en un punto. Resolver indeterminaciones en el cálculo de límites de funciones, tanto por métodos algebraicos como por equivalencias de infinitésimos. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 20 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Saber estudiar la monotonía de una sucesión y determinar sus cotas si las tuviera. B. Conocer y aplicar correctamente los métodos para resolver las indeterminaciones que surgen en las sucesiones. C. Clasificar correctamente las sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. D. Obtener los límites laterales de una función en un punto y determinar la existencia o no existencia del límite. E. Demostrar en casos sencillos, mediante la definición métrica de límite, que el límite hallado por métodos algebraicos verifica la definición. 0 , 0 , ,0 ,1 F. Resolver indeterminaciones del tipo utilizando métodos algebraicos. G. Resolver indeterminaciones por infinitésimos equivalentes. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Relacionar el cálculo de límites con otras ciencias, como la Física o la Economía, para comprender y expresar mejor ciertos conceptos, como la velocidad instantánea o las tendencias a largo plazo . Conocer la aritmética del infinito, las indeterminaciones y los procesos para resolverlas . A través del cálculo de límites, aprender, entender e investigar otros conceptos matemáticos más complejos . Reforzar el uso de la calculadora y de los programas informáticos, al obtener expresiones decimales para estimar el valor de un límite y para estudiar las discontinuidades y las asíntotas de una función . IV.CONTENIDOS Conceptos Sucesiones de números reales: monotonía y acotación. Límite y convergencia de una sucesión. Propiedades de los límites. Cálculo de límites de sucesiones. Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Cálculo de límites. Indeterminaciones. Infinitésimos equivalentes. Definición formal de límite. Procedimientos Estudiar la monotonía de una sucesión. Determinar si tiene o no cotas y hallarlas en su caso. Calcular límites de sucesiones, incluyendo la indeterminación 1 . Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 21 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Tomar sucesiones adecuadas y hallar con ellas, de manera intuitiva, el límite de una función en un punto. Calcular límites laterales en funciones definidas a trozos. Calcular límites en un punto y en el infinito en los que haya distintas indeterminaciones. Resolver indeterminaciones del tipo 1 a partir de la sucesión (o función) que sirve para definir el número e. Hallar límites con infinitésimos equivalentes. Determinar el ( ) que verifica la definición de límite. Actitudes Disposición favorable para buscar y reconocer la tendencia de los términos de una sucesión. Interés por la búsqueda de soluciones en casos de indeterminación. Valoración positiva de las técnicas para calcular límites y resolver indeterminaciones. Predisposición para aprender conceptos, relaciones y técnicas nuevas para resolver problemas. Gusto por la utilización de técnicas rigurosas en el cálculo de límites. Valoración positiva por el uso de las nuevas tecnologías para la determinación de límites. UNIDAD 9: Continuidad I.OBJETIVOS Adquirir el concepto intuitivo y formal de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo, tanto abierto como cerrado. Identificar las funciones continuas y las discontinuas, clasificando en estas las discontinuidades que presenten y determinando los intervalos en los que son continuas. Aprender a distinguir las ecuaciones que no pueden tener solución de las que seguro que tienen al menos una solución por simple aplicación del teorema de Bolzano, determinando intervalos en donde se hallen las soluciones. Adquirir los conceptos de acotación, cotas, supremo, ínfimo y extremos absolutos. II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Estudiar la continuidad de una función en un punto. B. Saber hallar el dominio de continuidad de una función y su relación con el dominio de la misma. C. Hallar los valores de ciertos parámetros en las funciones definidas a trozos para que sean continuas en un punto concreto o en un intervalo. D. Clasificar las discontinuidades de una función discontinua en varios puntos y efectuar una representación aproximada de la función en un entorno de esos puntos. E. Analizar si una función cumple, o no, las hipótesis del teorema de Bolzano. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 22 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. F. Determinar intervalos de la amplitud deseada en los que se encuentren las soluciones de una ecuación. G. Determinar si una función definida en un intervalo está acotada y, en caso afirmativo, encontrar el supremo y el ínfimo. H. Aplicar e interpretar los teoremas de los valores intermedios y de Weierstrass. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar tablas, el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico para transmitir informaciones referentes a la dependencia, evolución y tendencia de una magnitud física o social respecto de otra . Interpretar de manera racional la información difundida por los medios de comunicación relativa a funciones de carácter social o económico que pueden presentar discontinuidades en función del tiempo, como el pago de parquímetros, llamadas telefónicas, o de otros parámetros, como los tramos de cotización a Hacienda dependiendo de los ingresos . Trasladar a otras materias los conceptos de continuidad y discontinuidad, como por ejemplo en el mundo de la Física en donde las discontinuidades aparecen de forma natural, como ocurre en la cuantización de la energía . Utilizar las nuevas tecnologías para obtener, analizar y difundir informaciones, relativas a temas científicos o sociales que contengan tablas de datos relacionados, o representaciones gráficas de los mismos . IV.CONTENIDOS Conceptos Funciones definidas a trozos. Continuidad de una función en un punto. Continuidad de una función en un intervalo. Propiedades de las funciones continuas en un punto. Clasificación de los diferentes tipos de discontinuidad. Continuidad de las funciones elementales y de las operaciones con funciones. Continuidad de la función compuesta. Teorema de Bolzano. Aplicaciones. Teoremas de los valores intermedios. Teorema de Weierstrass. Hallar dominios de funciones. Procedimientos Representar funciones polinómicas de hasta segundo grado definidas a trozos. Calcular parámetros para que una función, dependiendo de uno o dos parámetros y definida a trozos, sea continua. Determinar los intervalos de continuidad de una función. Clasificar las discontinuidades y efectuar representaciones aproximadas de las funciones en las proximidades de los puntos de discontinuidad. Interpretar la gráfica de una función indicando los intervalos de continuidad y clasificando las discontinuidades. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 23 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Buscar funciones que presenten un tipo concreto de discontinuidad. Aplicar el teorema de Bolzano para resolver de forma aproximada alguna ecuación en la que no se pueda despejar x por métodos algebraicos. Comprobar gráficamente el teorema de los valores intermedios. Buscar cotas superiores e inferiores así como los máximos y mínimos absolutos de funciones continuas en intervalos cerrados. Actitudes Interés por el conocimiento de funciones elementales y de su representación. Valoración del conocimiento de las funciones elementales y de sus gráficas como medio de estudiar el comportamiento de muchos fenómenos sociales y naturales. Valoración de las aplicaciones del teorema de Bolzano en la resolución de ecuaciones. Gusto por la precisión, la limpieza y el orden a la hora de representar la gráfica de una función para observar su continuidad o tipos de discontinuidad. Interés en la búsqueda de problemas de la vida ordinaria en los que aparezcan funciones discontinuas. Curiosidad por conocer la evolución de los diferentes conceptos matemáticos y de la forma de resolución de ecuaciones a lo largo de la historia de las Matemáticas. UNIDAD 10 : Derivadas I.OBJETIVOS Conocer la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en un punto y saber calcular la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una curva en un punto. Saber calcular la función derivada de las funciones elementales y de las obtenidas mediante operaciones algebraicas de las elementales. Saber aplicar correctamente la regla de la cadena para calcular la función derivada de funciones obtenidas por composición de funciones elementales. Aprender a calcular diferenciales, comprender su significado geométrico y saber hacer uso de esta herramienta matemática para realizar ciertos cálculos numéricos de forma aproximada. II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular la derivada de una función en un punto mediante su definición como límite. B. Determinar la pendiente de la tangente a una curva en un punto y calcular su ecuación y la de la recta normal a la función en dicho punto. C. Determinar, mediante la aplicación de las reglas de derivar, la derivada de funciones que se obtienen operando con funciones elementales. D. Derivar funciones que sean composición de varias funciones elementales mediante la regla de la cadena. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 24 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. E. Aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de la función inversa. F. Aplicar la derivación logarítmica y la implícita. G. Hallar el valor de la diferencial de una función en un punto para un incremento conocido de la variable. H. Obtener diferenciales de funciones y en especial de funciones que expresen magnitudes físicas. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico y gráfico para describir la relación que existe entre las variaciones que se producen en una magnitud y las variaciones que, como consecuencia de estas, aparecen en otra . Conocer el desarrollo histórico de los conceptos de diferencial y de derivada y valorar la aportación de algunos científicos a este tema y su posterior influencia en el desarrollo científico y tecnológico . Utilizar las nuevas tecnologías para obtener funciones derivadas y efectuar representaciones gráficas de funciones definidas mediante una expresión algebraica y de su derivada . Reconocer cómo históricamente las matemáticas y sus aplicaciones tecnológicas han permitido progresar a la humanidad en el conocimiento de las distintas ciencias para conseguir una mejora en sus condiciones de vida . IV.CONTENIDOS Conceptos Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada. Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Derivadas laterales. Derivada de las operaciones con funciones. Derivada de la función compuesta. Derivada de la función inversa. Derivada de las funciones exponencial y logarítmica. Derivada de las funciones trigonométricas y sus inversas. Derivación logarítmica e implícita. Aproximación lineal de una función en un punto. Diferencial de una función. Procedimientos Determinar la derivada de una función sencilla en un punto utilizando la definición. Determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función en un punto dado. Obtener puntos de tangencia. Obtener derivadas laterales en puntos “conflictivos”. Obtener la derivada de la función suma-resta, producto-cociente y composición de otras funciones con derivadas conocidas. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 25 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Aplicar la regla de la cadena. Obtener la derivada de la función inversa en un punto, cuando no exista una expresión algebraica de dicha función. Hallar la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. Obtener mediante derivación logarítmica la derivada de funciones como cocientes, radicales, potencial-exponencial, etc. Derivar en general cualquier función. Hallar la diferencial de una función y hacer uso de ella para determinar valores aproximados de la función dada en puntos próximos a uno conocido. Actitudes Reconocimiento de la utilidad de los distintos lenguajes (verbal, gráfico y simbólico) para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias. Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos que permiten el cálculo de derivadas de funciones elementales para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias. Valoración del lenguaje simbólico como instrumento útil para describir la variación de una magnitud, respecto de otra, en un punto o en un intervalo. Valoración de las reglas de derivación y la regla de la cadena por su utilidad a la hora de calcular derivadas de funciones complejas. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad que proporciona el lenguaje matemático de funciones en el tratamiento de la información. UNIDAD 11: Funciones derivables I.OBJETIVOS Comprender y saber determinar las derivadas laterales de una función en un punto. Aprender a resolver límites indeterminados por aplicación de la regla de L’Hôpital. Utilizar las derivadas primera y segunda de una función para determinar con ellas los intervalos de monotonía, de curvatura y los extremos relativos. Plantear y resolver problemas de optimización con la herramienta de la función derivada y la determinación de los intervalos de monotonía. II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Obtener correctamente las derivadas laterales de una función en un punto, en especial en las funciones con valor absoluto o definidas a trozos. B. Determinar el valor de ciertos parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad y derivabilidad de una función en un punto. C. Conocer los teoremas de Rolle y del valor medio y aplicarlos a ejemplos concretos de funciones. D. Resolver límites de funciones en los que aparezca cualquiera de las indeterminaciones. E. Determinar los extremos relativos de una función y los intervalos de monotonía. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 26 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. F. Determinar los puntos de inflexión de una función y los intervalos de curvatura. G. Resolver problemas de optimización relacionados con la geometría. H. Plantear y resolver problemas de optimización relacionados con las ciencias experimentales y sociales. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar el comportamiento de un fenómeno dado por una expresión algebraica . Interpretar de manera racional la información gráfica difundida por los medios de comunicación o científicos relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de carácter social o económico . Acometer, utilizando la terminología adecuada, la resolución de problemas de optimización de carácter científico e incluso funcional o laboral . Utilizar las nuevas tecnologías para obtener límites y funciones derivadas que nos permitan la resolución de problemas sacados del mundo que nos rodea y cooperar con las ciencias que estudian estos fenómenos . IV.CONTENIDOS Conceptos Derivadas laterales. Continuidad de las funciones derivables. El teorema de Rolle. El teorema del valor medio de Lagrange. La regla de L’Hôpital y su aplicación al cálculo de límites. Indeterminaciones. Extremos relativos. Crecimiento y decrecimiento. Problemas de optimización. Curvatura y puntos de inflexión. Aplicaciones de la derivada a otras ciencias. Procedimientos Obtener las derivadas laterales de una función continua en un punto para determinar si es derivable o no lo es. Derivar funciones a trozos o con valores absolutos en los puntos de conflictividad. Analizar en cada caso las hipótesis del teorema de Rolle y calcular, cuando sea posible, el punto o puntos en los que se verifica la tesis del problema. Aplicar el teorema de Rolle para separar las raíces de una función. Aplicar el teorema del valor medio para determinar la pendiente de la tangente a un arco de curva que sea paralela a la cuerda que une los extremos del arco. Resolver indeterminaciones del tipo 0 por aplicación directa de la regla de 0 L’Hôpital. Resolver otras indeterminaciones después de transformarlas en cocientes del tipo 0 o . 0 Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 27 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Determinar los extremos relativos de una función y los intervalos de monotonía. Determinar los puntos de inflexión y los intervalos de curvatura de una función. Resolver problemas de optimización. Plantear y resolver problemas de otras disciplinas en las que sea preciso determinar tasas de variación instantánea u optimizar alguna magnitud. Reconocimiento de la utilidad de los distintos lenguajes (verbal, gráfico y simbólico) para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y de otras ciencias. Actitudes Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos de cálculo de derivadas de funciones elementales para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias. Valoración de las aplicaciones informáticas a la hora de representar de manera precisa la gráfica de una función dada por su expresión algebraica. Sensibilidad y gusto por la precisión, el orden y la claridad que proporciona el lenguaje matemático de funciones en el tratamiento de la información. Curiosidad por buscar casos que manifiesten cómo actúa la naturaleza para optimizar ciertas magnitudes: cantidad de luz, resistencia al viento, etc. UNIDAD 12: Representación de funciones I.OBJETIVOS Conocer y utilizar el procedimiento general para estudiar y representar gráficamente funciones. Deducir la forma de la gráfica de una función cuando a la función se le aplican transformaciones de diferentes tipos: traslaciones, contracciones, dilataciones, cambio de signo, etc. I. Representar las gráficas de las funciones: –f (x), f (x) + k, f (x+c), a·f (x), f (k·x), |f (x)|, f (|x|) cuando se conoce la gráfica de la función f (x). II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular el dominio de una función dada por su expresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado, así como su continuidad. B. Calcular los puntos de corte con los ejes y el signo de una función. C Estudiar las simetrías y la posible periodicidad de una función. D. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos aislados en los que no está definida E. Calcular las asíntotas de una función. F. Determinar la monotonía y extremos relativos de una función. G. Determinar la curvatura y los puntos de inflexión. H. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras hacer un estudio completo de sus características. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 28 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar el comportamiento de un fenómeno dado por una expresión algebraica . Interpretar de manera racional y crítica la información gráfica difundida por los medios de comunicación relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de carácter social o económico . Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones . IV.CONTENIDOS Conceptos Dominio y recorrido de una función. Puntos de discontinuidad. Puntos singulares. Puntos críticos. Puntos de corte con los ejes. Signo de la función. Simetrías y periodicidad. Ramas infinitas. Comportamiento asintótico. Asíntotas. Esquema general para el estudio de una función. Estudio general y representación gráfica de funciones y familias de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Construcción de funciones por traslación y por dilatación. Determinar el dominio y recorrido de funciones dadas por su expresión algebraica o por su gráfica. Procedimientos Determinar los puntos de corte con los ejes coordenados y los intervalos en los que la función es positiva o negativa. Determinar la paridad de una función y su período, caso de ser periódica. Estudiar la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos en los que no está definida, y calcular sus asíntotas. Calcular y estudiar el signo de las derivadas primera y segunda de la función. Realizar un estudio completo de diferentes tipos de funciones, en especial polinómicas y racionales, y trazar su gráfica. Esbozar la gráfica de una función de la que se conocen suficientes características. Dada la gráfica de una función f (x) representar las de las funciones: f (x) + k, – f (x), f (x+c), a·f (x), f (k·x), |f (x)|, f (|x|). Actitudes Gusto por el rigor y el orden a la hora de estudiar y representar funciones dadas por sus expresiones algebraicas. Valoración de la representación gráfica de una función a la hora de interpretar el comportamiento del fenómeno al que dicha gráfica está asociada. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 29 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Valoración crítica de la información recibida en forma gráfica. Valoración de la calculadora y los recursos informáticos a la hora de representar de manera precisa la gráfica de una función dada por su expresión algebraica. Interés por las nuevas tecnologías para aplicarlas al estudio y representación gráfica de funciones. UNIDAD 13: Cálculo de primitivas I.OBJETIVOS Calcular primitivas de funciones elementales que cumplan unas determinadas condiciones. Aplicar correctamente y en los casos apropiados el método de integración por partes. Descomponer las funciones racionales de la forma P ( x ) en fracciones simples para Q( x ) después hallar una primitiva de las mismas. Encontrar las transformaciones necesarias, y los cambios de variable oportunos para convertir una integral en inmediata y poder así resolverla. II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Hallar una función de la que se conoce su derivada y un punto de su gráfica. B. Resolver problemas elementales de cinemática por la aplicación del cálculo integral. C. Resolver por partes las integrales de funciones del tipo: ln x , arcsen x, arctg x, P( x )·ex , P( x )·sen x , etc. D. Resolver, por reiteración del método de integración por partes, integrales de funciones como sen(ax )·ebx . E. Calcular integrales de funciones racionales con raíces reales, simples y múltiples, en el denominador. F. Efectuar la descomposición y las integrales de funciones racionales con raíces complejas simples en el denominador. G. Efectuar transformaciones sencillas en la función integrando para transformar las integrales en inmediatas. H. Resolver integrales, especialmente trigonométricas, por cambio de variable. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático adecuado la relación que existe entre primitiva y derivada de una función, e incluso relacionando la primitiva con el área del recinto que limita la función . El cálculo integral está íntimamente relacionado con otras ciencias, como la Física, lo que permitirá comprender y expresar mejor y expresar mejor ciertos conceptos, como, por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria . Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 30 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Potenciar la creatividad de los alumnos sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver el problema del cálculo de primitivas de una función . Utilizar las nuevas tecnologías para encontrar de manera rápida una primitiva de una función cuando para ello sea preciso hacer cálculos largos y tediosos . IV.CONTENIDOS Conceptos Primitivas de una función. Relación entre todas las primitivas de una función. La integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida. Integrales inmediatas. Integración por partes. Integración de funciones racionales. Integración por cambio de variable. Integración de algunas funciones trigonométricas. Integrales no elementales. Procedimientos Buscar primitivas de una función con una condición dada. Aplicar a los problemas de cinemática los conceptos de primitiva de una función y determinar las constantes de integración mediante las condiciones iniciales. Calcular primitivas de funciones polinómicas. Buscar funciones primitivas de otras que precisen de una sencilla transformación para que se perciban como inmediatas. Aplicar a distintas funciones el método de integración por partes para distinguir cuándo el método es conveniente. Descomponer funciones racionales en fracciones simples. Integrar funciones racionales con raíces reales, simples y múltiples. dx dx , Integrar funciones racionales de la forma con b 2 4ac 0 . 2 2 ax c ax bx c Resolver integrales “cuasi-inmediatas” tratando de evitar el cambio de variable. Aplicar el cambio de variable para resolver algunas integrales de funciones trigonométricas o radicales. Actitudes Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos que permiten el cálculo de primitivas de funciones sencillas, para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias. Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la integración y sus aplicaciones. Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sea preciso el cálculo integral. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 31 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Gusto por la aplicación clara precisa y ordenada del método, a veces muy largo, de la descomposición en fracciones simples. Curiosidad por conocer cómo ha ido evolucionando el problema del cálculo diferencial e integral. UNIDAD 14: Integral definida I.OBJETIVOS Obtener sumas de Riemann de una función continua cualquiera en un intervalo [a, b]. Aplicar la regla de Barrow para obtener el resultado de integrales definidas de funciones continuas de las que se conoce una primitiva. Derivar funciones dadas bajo el signo integral por aplicación del teorema fundamental del cálculo. Aplicar el concepto de integral definida a la resolución de problemas geométricos o de otras ciencias. II.CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Hallar la suma de Riemann en un intervalo [a, b] de una función lineal. B. Obtener sumas de Riemann de otras funciones y calcular su límite cuando n . C. Resolver integrales definidas de funciones de las que se obtenga una primitiva de forma inmediata. D. Resolver integrales definidas en las que haya que utilizar la propiedad de aditividad del intervalo. v(x) E. Derivar funciones integrales de la forma g( x ) u( x ) f (t )dt F. Calcular el área del recinto limitado por una curva y el eje de abscisas, o por dos curvas. G. Hallar el volumen de un cuerpo de revolución. H. Calcular longitudes de arcos. I. Resolver mediante integral definida problemas relacionados con otras ciencias y en especial con la Física. III.COMPETENCIAS BÁSICAS Expresar de forma rigurosa y en lenguaje matemático adecuado la relación que existe entre una función y el área del recinto que limita El cálculo integral está íntimamente relacionado con otras ciencias, como la Física, lo que permitirá comprender mejor y expresar mejor ciertos conceptos, como por ejemplo el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria . Potenciar la creatividad de los alumnos sugiriéndoles distintos métodos para afrontar y resolver el problema del cálculo de área limitada por una curva . Utilizar las nuevas tecnologías para representar de manera precisa y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas . Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 32 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. IV.CONTENIDOS Conceptos Área bajo una curva. Sumas de Riemann. La integral definida. Propiedades. Teorema del valor medio del cálculo integral. La regla de Barrow. La función integral. Teorema fundamental del cálculo. Áreas de recintos planos. Volúmenes y longitudes de arco. Aplicaciones de la integral definida a otras ciencias. Procedimientos Calcular áreas bajo funciones rectilíneas. Calcular áreas mediante particiones del intervalo. Calcular sumas de Riemann. Aplicar la regla de Barrow a integrales definidas polinómicas. Aplicar la regla de Barrow a funciones definidas a trozos o con valores absolutos. Determinar el valor medio, cuando sea posible, cuya existencia asegura el teorema del valor medio del cálculo integral. Derivar funciones integrales y calcular los extremos relativos de estas. Hallar el área del recinto limitado por una función y el eje de abscisas y el limitado por dos funciones. Calcular el volumen de un cuerpo de revolución. Calcular la longitud de un arco de curva. Calcular por integración la superficie del círculo, el volumen de la esfera y la longitud de la circunferencia. Resolver problemas de cinemática y de dinámica utilizando la integral definida. Actitudes Valoración positiva de la utilidad y eficacia de los procedimientos que permiten el cálculo de primitivas de funciones sencillas, para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas o con las otras ciencias. Disposición favorable para el estudio y conocimiento de la integración y sus aplicaciones. Interés por la búsqueda de situaciones y problemas en los que sea preciso el cálculo integral. Gusto por la representación gráfica clara y precisa de las curvas que limitan los recintos cuyas áreas se pretende calcular. Curiosidad por conocer cómo ha ido evolucionando el problema del cálculo de áreas a lo largo de la historia de las matemáticas y cómo se ha resuelto con el teorema fundamental del cálculo. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 33 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Matemáticas I 3.SECUENCIACION Y DISTRIBUCIÓN TEMPORAL EN MATEMÁTICAS II EVALUACIONES BLOQUES TEMÁTICOS UNIDADES DIDÁCTICAS PRIMERA Álgebra lineal, Geometría(I) 1, 2, 3, 4,5 SEGUNDA Geometría(II), Análisis(I) 6, 7, 8, 9, 10 TERCERA Análisis(II), 11, 12, 13 y 14. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 34 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 4. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS EN BACHILLERATO(Currículo) Introducción Las matemáticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos basados en el estudio de patrones y relaciones inherentes a estructuras abstractas. Aunque se desarrollen con independencia de la realidad física, tienen su origen en ella y son de suma utilidad para representarla. Nacen de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales y dar rigor a los conocimientos científicos. Su estructura se halla en continua evolución, tanto por la incorporación de nuevos conocimientos como por su constante interrelación con otras áreas, especialmente en el ámbito de la ciencia y la técnica. Participar en la adquisición del conocimiento matemático consiste en el dominio de su «forma de hacer». Este «saber hacer matemáticas» es un proceso laborioso que comienza por una intensa actividad sobre elementos concretos, con objeto de crear intuiciones previas necesarias para la formalización. A menudo, los aspectos conceptuales no son más que medios para la práctica de estrategias, para incitar a la exploración, la formulación de conjeturas, el intercambio de ideas y la consolidación de los conceptos ya adquiridos. Las Matemáticas presentadas en variedad de contextos deberán contribuir a la construcción de una ciudadanía democrática, con una conciencia cívica responsable, que defiendan los derechos humanos y participen en el desarrollo de una sociedad justa, equitativa, crítica y creativa. Las matemáticas contribuyen a la adquisición de aptitudes y conexiones mentales cuyo alcance transciende el ámbito de esta materia; forman en la resolución de problemas genuinos - aquellos donde la dificultad está en encuadrarlos y encontrar una estrategia de resolución -, generan hábitos de investigación y proporcionan técnicas útiles para enfrentarse a situaciones nuevas. Estas destrezas, ya iniciadas en los niveles previos, deberán ampliarse ahora que aparecen nuevas herramientas, enriqueciendo el abanico de problemas abordables y la profundización en los conceptos implicados. Además de la importancia instrumental de las Matemáticas, hay que resaltar también su valor formativo en aspectos tan importantes como el desarrollo de aquellas capacidades personales y sociales que contribuyan a formar personas autónomas, seguras de sí mismas, decididas, curiosas, participativas, solidarias, tolerantes y emprendedoras; así como en la búsqueda de la belleza y la armonía, el estímulo de la creatividad y la capacidad para afrontar los retos con imaginación y abordar los problemas con garantías de éxito. La resolución de problemas tiene carácter transversal y será objeto de estudio relacionada e integrada en los contenidos de la materia. Las estrategias que se desarrollan constituyen una parte esencial de la educación matemática y activan las competencias necesarias para aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en contextos reales. La resolución de problemas debe servir para que el alumnado desarrolle una visión amplia y científica de la realidad, para estimular la creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, la valoración de las ideas ajenas, la resolución pacífica de conflictos, la habilidad para expresar las ideas propias con confianza y argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos. Las definiciones formales, las demostraciones (reducción al absurdo, contraejemplos) y los encadenamientos lógicos (implicación, equivalencia) dan validez a las intuiciones y confieren solidez a las técnicas aplicadas. Sin embargo, éste es el primer momento en que el alumnado se enfrenta con cierta seriedad al lenguaje formal, por lo que el aprendizaje debe ser equilibrado y gradual. El simbolismo no debe desfigurar la esencia de las ideas fundamentales, el proceso de Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 35 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. investigación necesario para alcanzarlas, o el rigor de los razonamientos que las sustentan. Deberá valorarse la capacidad para comunicar con eficacia esas ideas aunque sea de manera no formal. Lo importante es que el estudiante encuentre en algunos ejemplos la necesidad de la existencia de este lenguaje para dotar a las definiciones y demostraciones matemáticas de universalidad, independizándolas del lenguaje natural. Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y aplicaciones informáticas deben servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de conceptos y la resolución de problemas como para el procesamiento de cálculos complejos, sin dejar de trabajar la fluidez y la precisión en el cálculo manual introducido en progresiva complejidad. Por último, es importante presentar la matemática como una ciencia viva y no como una colección de reglas fijas e inmutables. Detrás de los contenidos que se estudian hay un largo camino conceptual, una elaboración intelectual de enorme magnitud, que ha ido evolucionando a través de la historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos. Los contenidos de Matemáticas, como materia de modalidad en el Bachillerato de Ciencias y Tecnología, giran sobre dos ejes fundamentales: la geometría y el análisis. Estos cuentan con el necesario apoyo instrumental de la aritmética, el álgebra y las estrategias propias de la resolución de problemas. En Matemáticas I, los contenidos relacionados con las propiedades generales de los números y su relación con las operaciones, más que en un momento determinado deben ser trabajados en función de las necesidades que surjan en cada momento concreto. A su vez, estos contenidos se complementan con nuevas herramientas para el estudio de la Estadística y la Probabilidad, completando así todos los campos introducidos en la Educación secundaria obligatoria. La introducción de matrices e integrales en Matemáticas II aportará nuevas y potentes herramientas para la resolución de problemas geométricos y funcionales. Estos contenidos proporcionan técnicas básicas, tanto para estudios posteriores como para la actividad profesional. En esta etapa aparecen nuevas funciones de una variable. Se pretende que los estudiantes sean capaces de distinguir las características de las familias de funciones a partir de su representación gráfica, así como las variaciones que sufre la gráfica de una función al componerla con otra o al modificar de forma continua algún coeficiente en su expresión algebraica. Con la introducción de la noción intuitiva de límite y geométrica de derivada, se establecen las bases del cálculo infinitesimal en Matemáticas I, que dotará de precisión el análisis del comportamiento de la función en las Matemáticas II. Asimismo, se pretende que alumnos y alumnas apliquen estos conocimientos a la interpretación del fenómeno modelado. Los contenidos se distribuyen en varios bloques, pero será la programación docente la que definirá cómo se introducen dichos contenidos a lo largo del curso, entendiendo que la secuenciación en bloques de contenidos no es un orden preestablecido que haya que mantener obligatoriamente. Uno de estos bloques hace referencia a contenidos comunes para cada uno de los cursos, en el que se plantean procedimientos relativos a la resolución de problemas, al uso de variados recursos o actitudes que han de desarrollar alumnos y alumnas a lo largo de la etapa. La programación docente definirá cómo se tienen en cuenta aspectos de carácter trasversal en el desarrollo del resto de los bloques. No se trata de que los estudiantes posean muchas herramientas matemáticas, sino las estrictamente necesarias y que las manejen con destreza y oportunidad, facilitándoles las nuevas fórmulas e identidades para su elección y uso. Nada hay más alejado del «pensar matemáticamente» que una memorización de igualdades cuyo significado se desconoce, incluso aunque se apliquen adecuadamente en ejercicios de cálculo. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 36 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Los criterios de evaluación, que constan de un enunciado y de una explicación, constituyen una referencia de primer orden en el desarrollo de los contenidos, en cuanto que indican los procesos cognitivos que deben desarrollarse en el aprendizaje, las metodologías de aula y la utilización de recursos tecnológicos propuestos para alcanzar los objetivos fijados para esta etapa educativa. Orientaciones metodológicas Las orientaciones metodológicas marcan la acción pedagógica y la didáctica en el aula. Tienen una gran relevancia en cuanto se refieren a aspectos fundamentales que han de ser contemplados en el proceso de enseñanza para lograr las finalidades de esta etapa, lo que supone proporcionar al alumnado formación, madurez intelectual y humana, conocimientos y destrezas que les permitan progresar en su desarrollo personal y social e incorporarse a la vida activa y a estudios posteriores. La consecución de los objetivos estará condicionada por la forma de presentar y trabajar los contenidos y es ésta la dirección a la que apuntan las orientaciones metodológicas que aquí recogemos. Constan de una reflexión y de una orientación consecuente con ella y se refieren a aspectos diversos, tales como el manejo del lenguaje, la funcionalidad de los contenidos, aprender a aprender, los recursos, la resolución de problemas, la investigación, la atención a la diversidad o la igualdad. - Uno de los objetivos fijados es el dominio de la lengua castellana, en sus expresiones oral y escrita, así como el uso del lenguaje racional y argumentativo. Para lograrlo se debe ir dando, de forma gradual, más importancia a la correcta utilización del lenguaje y la terminología matemática. La exposición oral o escrita de los pasos seguidos para resolver un problema y los razonamientos aplicados permiten progresar en la competencia lingüística. Se ha de dar importancia a las explicaciones del discurso racional: justificaciones, líneas argumentales, razonamientos rigurosos y detección de inconsistencias lógicas. - La funcionalidad del aprendizaje ha de estar presente en todo el proceso educativo de esta materia. Se desarrollarán estrategias y técnicas que permitan la resolución de problemas. Dichos problemas no tienen por qué ser relativos sólo a un bloque de contenidos, sino que pueden relacionar varios bloques. Siempre que sea posible, habrá que mostrar la aplicación práctica de los conceptos y destrezas matemáticas, su relación con otras áreas, su presencia en el arte, su influencia en el desarrollo científico y tecnológico, y su aplicación a situaciones reales. - Al concebir la educación como un aprendizaje permanente debemos pensar en facilitar y fomentar actitudes personales de trabajo, planificación y búsqueda de manera que alcancen autonomía en esas actividades. Ello contribuirá a garantizar la posibilidad de éxito en estudios posteriores y en otros ámbitos de la vida. Así, será conveniente proponer problemas o situaciones susceptibles de presentarse como tales, en las que sea necesario buscar información, seleccionarla, valorarla y analizarla críticamente. Además deberán aplicar las herramientas matemáticas adecuadas para su resolución y verificar los resultados obtenidos. - La sociedad actual tiene a su alcance recursos tecnológicos para obtener datos e información variada, ordenarlos, realizar los cálculos necesarios y presentar los resultados. La utilización solvente y responsable de estas tecnologías de la información y comunicación es uno de los objetivos de la etapa. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 37 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Nos referimos a la utilización de la calculadora y aplicaciones informáticas, como la hoja de cálculo, sistemas de representación de objetos matemáticos y sistemas de álgebra computacional y geometría dinámica así como otras utilidades para la presentación de trabajos y realización de exposiciones. Así en el estudio de la estadística, se pueden simplificar los cálculos más tediosos con una sencilla hoja de cálculo; en la geometría, el uso de software de geometría dinámica facilitará la visualización de la representación gráfica del enunciado de un problema; en el estudio de las funciones, permitirá ver rápidamente como varía una función al cambiar alguno de sus coeficientes, estudiando sobre la gráfica las características más importantes de cada función, etc. - Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida supone trabajar en la línea de los aspectos fundamentales de la competencia matemática. Han de plantearse situaciones en las que sea preciso aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas, integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar respuesta a las situaciones relacionadas con la ciencia. No se trata tanto de que alumnos y alumnas hayan de realizar complicados cálculos y desarrollar complejos procedimientos, como de que sean capaces de elegir determinadas estrategias, sean conscientes de las herramientas que manejan en cada momento y, finalmente, interpreten y expresen adecuadamente los resultados. - En esta etapa de educación postobligatoria se trata de que el alumnado comprenda los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos, conozca y valore de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida y su influencia en la realidad del mundo contemporáneo. El uso de referencias a hechos de la historia de las matemáticas y de la ciencia en la presentación de los contenidos, hace que se relacionen las matemáticas con otras áreas de conocimiento, a la vez que se muestran como algo vivo y se observa su implicación en los nuevos avances científico-tecnológicos. La realización de trabajos en los que intervengan varias áreas y que estén relacionados con la incidencia de la ciencia en la sociedad, hará que esa percepción de vinculación de las matemáticas a la realidad aumente. Igualmente los trabajos y proyectos de investigación que concluyen en la elaboración de informes escritos o exposiciones orales contribuyen a la competencia lingüística. Se facilitará la realización, por parte del alumnado, de trabajos de investigación, monográficos, interdisciplinares u otros de naturaleza análoga que impliquen la coordinación de uno o varios departamentos didácticos. - El Bachillerato de Ciencias y Tecnología ofrece muchas posibilidades a su término. Se pueden dar una gran variedad de enfoques que es necesario atender para que la mayoría del alumnado alcance los objetivos de la etapa según sus capacidades e intereses. El planteamiento de actividades de distinto nivel de dificultad y con enfoques diversos, la utilización de recursos informáticos que facilita el avance autónomo y a ritmos diferentes, así como el trabajo en grupo que fomenta la autonomía personal, la responsabilidad, la ayuda de sus componentes y una mayor confianza y autoestima, constituirán una estrategia metodológica fundamental. - A lo largo de esta etapa se ha de fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e impulsar la igualdad real y la no discriminación, prestando atención a las actitudes en el aula, utilizando un lenguaje no sexista y consiguiendo que los trabajos en grupo y los debates se hagan con Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 38 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. responsabilidad, tolerancia y respetando opiniones y puntos de vista diferentes. También se ha de promover el conocimiento e identificación de personalidades de ambos sexos que hayan contribuido al desarrollo de la ciencia matemática a lo largo de la historia. Será preciso proponer el análisis crítico de datos y situaciones en las que se manifiestan desigualdades y que, a través de su estudio, promuevan el respeto hacia todo tipo de personas independientemente de creencias, sexo, nacionalidades o peculiaridades diversas. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 39 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 5. MATERIALES DIDÁCTICOS A continuación nos referimos a los materiales que se disponen para el aprendizaje de las matemáticas. Algunos de ellos no estarán presentes en todos los bloques o unidades didácticas y serán empleados de forma oportuna en cada momento en que fueran precisos. Pizarra. Se hará un uso clarificador, presentándose la información de forma cuidad y ordenada. Libro de texto. Matemáticas II (Bachillerato Ciencias y Tecnología)- EDICIONES SM, Madrid Cuaderno del alumno. Complementará al libro de texto y servirá para hacer un seguimiento del trabajo diario del alumno. Material escrito. Este departamento elaborará fichas con los ejercicios y actividades más indicadas para cada situación. Material impreso. Se fomentará el uso de textos matemáticos y publicaciones divulgativas de carácter científico adecuados a los gustos y nivel de comprensión de los alumnos, facilitando a tal fin el acceso a la biblioteca y material impreso adquirido por el departamento. Calculadora. La calculadora constituye un material didáctico de gran potencia para la adquisición y el refuerzo de contenidos muy diversos por tanto se fomentará su uso racional. La calculadora no puede eximir del cálculo mental y el desarrollo de estrategias fundamentales del cálculo operativo por tanto no se utilizará antes de que las destrezas del cálculo elemental hayan quedado bien afianzadas ni cuando los números involucrados en los cálculos sean muy sencillos. Soportes informáticos e Internet. Wiris, Derive, Geogebra,... y unidades didácticas interactivas como las de Descartes2D, y las del portal de la editorial del libro de texto se usarán para facilitar el aprendizaje de forma autónoma y permitirá trabajar a niveles diferentes según las capacidades favoreciendo la atención a la diversidad. Se crearán cursosMoodle en el aula virtual del centro para facilitar el acceso de los alumnos a estos recursos Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 40 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 6. PLAN DE COMPETENCIA LECTORA Y PLAN DE INTEGRACIÓN CURRICULAR DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN Plan de competencia lectora “Las Matemáticas son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas Por ello, en todas las relaciones de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto.”(Currículo oficial) La integración de la lectura en el currículo de Matemáticas se hace partiendo de la consideración de que la adquisición de la competencia lectora consiste en el desarrollo de un conjunto de estrategias, destrezas y conocimientos que contribuyen a la comprensión y al uso de textos escritos, así como a la reflexión personal a partir de ellos con el fin de desarrollar el conocimiento y el potencial personal. En la clase habrá que prestar especial atención al desarrollo de la comprensión y expresión oral y escrita y al manejo del lenguaje. Será preciso hacer hincapié en verbalizar conceptos, explicar sus ideas, redactar por escrito conclusiones y razonamientos y por supuesto realizar la lectura comprensiva de enunciados diversos. Al final de cada unidad se realizarán las actividades propuestas en el libro de texto con el fin de mejorar las destrezas lectoras de nuestros alumnos, pues familiarizarse con el lenguaje matemático y la comprensión lectora de los enunciados de los problemas es clave para resolver cualquier tipo de problema planteado en clase de Matemáticas. Además con el objeto de contribuir al fomento del hábito de la lectura y favorecer el desarrollo de la competencia lectora se recomendará la lectura de textos literarios de contenido matemático adecuado a los gustos y nivel de comprensión de los alumnos y que pueden contribuir de forma importante a lograr tanto la competencia matemática como lingüística. Plan de integración de las TIC “La incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar la competencia en tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes”(Currículo oficial) En la construcción del conocimiento los medios tecnológicos son, hoy en día, herramientas esenciales para enseñar, aprender, y en definitiva, para hacer Matemáticas. Además la utilización de programas informáticos específicos puede facilitar el aprendizaje de forma autónoma y permitirá trabajar a niveles diferentes según las capacidades de los alumnos, favoreciendo de este modo la atención a la diversidad, con este fin y en la medida de lo posible se utilizarán los recursos disponibles en el centro (aula modelo, aula de tablet PCs, aula de pizarra digital interactiva) Para contribuir a mejorar la competencia digital de los estudiantes se fomentará el uso de Internet mediante la utilización del aula virtual del centro. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 41 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 7. PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Pruebas escritas especificas de evaluación, cada prueba versará sobre todos los contenidos explicados. 8. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN Como referente básico de la evaluación se tomarán los criterios de evaluación, entendidos como aprendizajes mínimos que todos los alumnos deben alcanzar. La evaluación buscará información sobre lo que los alumnos saben y no sobre lo que desconocen Está previsto hacer un examen por evaluación, con recuperaciones de la 1ª y 2ª evaluación a comienzos de la 2ª y 3ª respectivamente. Además, se efectuará un examen final de toda la asignatura y para todos los alumnos. La nota final del curso será: N E1 E2 E3 5 2 F F es la nota del examen final y Ei es la nota de la evaluación i, entendiendo como calificación de evaluación lo siguiente: Si el alumno aprobó la evaluación se tomara la nota del examen de evaluación. Si el alumno suspendió la evaluación y suspendió el examen de recuperación se tomará la mayor de las dos notas, la del examen de evaluación o la del examen de recuperación. Si el alumno suspendió la evaluación y aprobó la recuperación se tomará como Ex . recuperación calificación de dicha evaluación el valor : 2 , 5 2 Excepcionalmente, por diversas circunstancias que pudieran intervenir en el rendimiento del alumno a lo largo del curso, el profesor puede aumentar (nunca disminuir) la calificación final atendiendo a tales circunstancias excepcionales (como cambios positivos y radicales de actitud hacia la asignatura, problemas personales superados, etc). Al respecto, el profesor tendrá en cuenta y juzgará en consecuencia, en último caso, el grado de consecución de los objetivos y competencias previstos. Aquellos alumnos que no alcancen en la nota final del curso un 5, tendrán suspensa la asignatura y deberán acudir al examen extraordinario de Septiembre para superarla. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 42 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 9.MÍNIMOS EXIGIBLES PARA OBTENER UNA CALIFICACIÓN POSITIVA UNIDAD 1: Matrices A. Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que conllevan datos estructurados en forma de tablas o grafos. B. Realizar sumas y productos de matrices entre sí y por números reales. C. Realizar operaciones combinadas con matrices. Resolver ecuaciones matriciales sencillas. D. Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de Gauss. E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro. F. Determinar si un conjunto de vectores fila o columna son linealmente dependientes o independientes. G. Determinar si una matriz cuadrada es o no invertible mediante el cálculo de su rango. H. Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el método de Gauss-Jordan. I. Calcular el transformado de un punto por uno o varios movimientos. UNIDAD 2: Determinantes A. Calcular determinantes de orden 2. B. Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3. C. Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden mayor o igual a 3. D. Calcular el rango de una matriz mediante el uso de determinantes. E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro. F. Comprobar mediante determinantes si una matriz cuadrada es invertible. G. Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular. H. Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices regulares de orden menor o igual a 3. UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones A. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. B. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes. C. Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. D. Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser compatibles. E. Resolver sistemas homogéneos. F. Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano. G. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro. H. Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineal UNIDAD 4: Vectores en el espacio A. Expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados. B. Determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 43 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. C. Multiplicar escalarmente dos vectores tanto en la forma geométrica como en la analítica. D. Determinar condiciones de ortogonalidad de dos vectores dependientes de un parámetro. E. Saber hallar el ángulo de dos vectores y determinar vectores ortogonales a uno dado. F. Calcular correctamente productos vectoriales y productos mixtos con unos vectores conocidos. G. Aplicar el producto vectorial para determinar una dirección ortogonal al plano vectorial V2 determinado por dos vectores. UNIDAD 5: Planos y rectas en el espacio A. Dividir un segmento en partes iguales. C. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo. C. Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos de la recta y su vector director. D. Saber determinar un plano de distintas formas y saber hallar en cada caso su ecuación. E. Hallar la ecuación de un plano del que se conoce un punto y la dirección del vector normal. F. Saber hallar proyecciones de puntos sobre rectas y de puntos y rectas sobre planos. G. Resolver problemas de paralelismo, perpendicularidad e intersección de rectas y planos. H. Efectuar el estudio de la posición relativa entre dos rectas, entre una recta y un plano, y entre dos o tres planos. UNIDAD 6: Propiedades métricas A. Hallar el ángulo que determinan dos vectores y el ángulo entre dos rectas. B. Hallar el ángulo que determinan dos planos secantes y el ángulo entre recta y plano. C. Efectuar proyecciones de puntos sobre rectas y planos. D. Calcular la proyección de una recta dada sobre un plano determinado. E. Hallar la distancia entre dos puntos, entre punto y recta, punto y plano, rectas y planos paralelos, y rectas que se cruzan. F. Calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro cuando se conocen las coordenadas de sus vértices. UNIDAD 7: Lugares geométricos en el espacio C. Escribir las ecuaciones paramétricas de cualquier cónica en el plano. D. Expresar la ecuación de una cónica en forma implícita cuando se conoce su ecuación paramétrica, y viceversa. C. Calcular puntos y hallar la ecuación en forma implícita de curvas y superficies en el espacio, dadas mediante sus ecuaciones paramétricas. D. Determinar la ecuación de cuádricas sencillas (elipsoide, paraboloide, hiperboloide). E. Hallar la ecuación de la superficie esférica conociendo: centro y radio, extremos de un diámetro, centro y recta o plano tangente, cuatro puntos no coplanarios. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 44 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. F. Identificar una superficie esférica, su centro y radio a partir de su ecuación en cualquiera de sus formas. G. Resolver problemas de incidencia, tangencia, intersección y posición relativa con superficies esféricas. H. Calcular las ecuaciones de superficies cónicas, cilíndricas, de traslación, de revolución y cuádricas en las coordenadas apropiadas en cada caso. UNIDAD 8: Limites de sucesiones y de funciones A. Saber estudiar la monotonía de una sucesión y determinar sus cotas si las tuviera. B. Conocer y aplicar correctamente los métodos para resolver las indeterminaciones que surgen en las sucesiones. C. Clasificar correctamente las sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. D. Obtener los límites laterales de una función en un punto y determinar la existencia o no existencia del límite. E. Demostrar en casos sencillos, mediante la definición métrica de límite, que el límite hallado por métodos algebraicos verifica la definición. 0 , 0 , ,0 ,1 F. Resolver indeterminaciones del tipo utilizando métodos algebraicos. G. Resolver indeterminaciones por infinitésimos equivalentes. UNIDAD 9: Continuidad A. Estudiar la continuidad de una función en un punto. B. Saber hallar el dominio de continuidad de una función y su relación con el dominio de la misma. C. Hallar los valores de ciertos parámetros en las funciones definidas a trozos para que sean continuas en un punto concreto o en un intervalo. D. Clasificar las discontinuidades de una función discontinua en varios puntos y efectuar una representación aproximada de la función en un entorno de esos puntos. E. Analizar si una función cumple, o no, las hipótesis del teorema de Bolzano. F. Determinar intervalos de la amplitud deseada en los que se encuentren las soluciones de una ecuación. G. Determinar si una función definida en un intervalo está acotada y, en caso afirmativo, encontrar el supremo y el ínfimo. H. Aplicar e interpretar los teoremas de los valores intermedios y de Weierstrass. UNIDAD 10 : Derivadas A. Calcular la derivada de una función en un punto mediante su definición como límite. B. Determinar la pendiente de la tangente a una curva en un punto y calcular su ecuación y la de la recta normal a la función en dicho punto. C. Determinar, mediante la aplicación de las reglas de derivar, la derivada de funciones que se obtienen operando con funciones elementales. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 45 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. D. Derivar funciones que sean composición de varias funciones elementales mediante la regla de la cadena. E. Aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada de la función inversa. F. Aplicar la derivación logarítmica y la implícita. G. Hallar el valor de la diferencial de una función en un punto para un incremento conocido de la variable. H. Obtener diferenciales de funciones y en especial de funciones que expresen magnitudes físicas. UNIDAD 11: Funciones derivables A. Obtener correctamente las derivadas laterales de una función en un punto, en especial en las funciones con valor absoluto o definidas a trozos. B. Determinar el valor de ciertos parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad y derivabilidad de una función en un punto. C. Conocer los teoremas de Rolle y del valor medio y aplicarlos a ejemplos concretos de funciones. D. Resolver límites de funciones en los que aparezca cualquiera de las indeterminaciones. E. Determinar los extremos relativos de una función y los intervalos de monotonía. F. Determinar los puntos de inflexión de una función y los intervalos de curvatura. G. Resolver problemas de optimización relacionados con la geometría. H. Plantear y resolver problemas de optimización relacionados con las ciencias experimentales y sociales. UNIDAD 12: Representación de funciones A. Calcular el dominio de una función dada por su expresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado, así como su continuidad. B. Calcular los puntos de corte con los ejes y el signo de una función. C Estudiar las simetrías y la posible periodicidad de una función. D. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos aislados en los que no está definida E. Calcular las asíntotas de una función. F. Determinar la monotonía y extremos relativos de una función. G. Determinar la curvatura y los puntos de inflexión. H. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras hacer un estudio completo de sus características. UNIDAD 13: Cálculo de primitivas A. Hallar una función de la que se conoce su derivada y un punto de su gráfica. B. Resolver problemas elementales de cinemática por la aplicación del cálculo integral. C. Resolver por partes las integrales de funciones del tipo: ln x , arcsen x, arctg x, P( x )·ex , P( x )·sen x , etc. D. Resolver, por reiteración del método de integración por partes, integrales de funciones como sen(ax )·ebx . Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 46 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. E. Calcular integrales de funciones racionales con raíces reales, simples y múltiples, en el denominador. F. Efectuar la descomposición y las integrales de funciones racionales con raíces complejas simples en el denominador. G. Efectuar transformaciones sencillas en la función integrando para transformar las integrales en inmediatas. H. Resolver integrales, especialmente trigonométricas, por cambio de variable. UNIDAD 14: Integral definida A. Hallar la suma de Riemann en un intervalo [a, b] de una función lineal. B. Obtener sumas de Riemann de otras funciones y calcular su límite cuando n . C. Resolver integrales definidas de funciones de las que se obtenga una primitiva de forma inmediata. D. Resolver integrales definidas en las que haya que utilizar la propiedad de aditividad del intervalo. v(x) E. Derivar funciones integrales de la forma g( x ) u( x ) f (t )dt F. Calcular el área del recinto limitado por una curva y el eje de abscisas, o por dos curvas. G. Hallar el volumen de un cuerpo de revolución. H. Calcular longitudes de arcos. I. Resolver mediante integral definida problemas relacionados con otras ciencias y en especial con la Física. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 47 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 10. MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Dentro de la atención a la diversidad nos encontramos con tres grupos de alumnos: a) Aquellos que tienen "handicaps" psíco-físicos o ambientales, cuyo aprendizaje se debería planificar conjuntamente entre un profesor de apoyo a la integración y el profesor de la asignatura, en los aspectos en que se integre. En estos casos es necesario elaborar una diversificación curricular que valore la situación de partida de la persona y sus déficits en capacidades más notables. b) Los alumnos que por su historia educativa, perfil psico-ambiental o procedencia ambiental requieran un refuerzo en matemáticas para desarrollar las capacidades mínimas en forma de adaptación curricular individualizada. c) Aquellos cuyas capacidades cognitivas les permitan alcanzar más rápidamente los niveles de aprendizaje de la media del grupo-clase. Una correcta atención a la diversidad en el aula implica tener en cuenta una serie de aspectos: El distinguir entre contenidos mínimos y complementarios, de ampliación o refuerzo, graduando las distintas actividades que se pueden realizar en torno a un mismo contenido. El disponer de material didáctico diversificado. El proponer actividades diferenciadas según que tipo de alumnos a los que van dirigidas. El utilizar diferentes metodologías. Los materiales curriculares elegidos por este departamento responden a los citados aspectos, facilitando al profesorado actividades variadas dirigidas a los diferentes momentos del proceso de enseñanza y aprendizaje, con atención especial a los distintos ritmos y niveles que se dan en el grupo, para que sea el profesor el que seleccione aquellas que mejor se adapten a las características de su alumnado. Dichas actividades se clasifican en: Actividades de introducción a los temas: Con ellas se pretende conocer las ideas previas, opiniones o errores conceptuales que tienen los alumnos sobre los contenidos que se van a desarrollar. Actividades de desarrollo: Para que descubran, practiquen y asimilen los nuevos contenidos y construyan sus conocimientos. Actividades de síntesis: Para favorecer el enfoque globalizador y facilitar la relación entre los contenidos ya conocidos y los nuevos. Actividades de refuerzo: Para consolidar los conceptos y procedimientos que los alumnos no hayan alcanzado de forma satisfactoria. Actividades de ampliación y profundización: Enriquecen la visión de los alumnos sobre los contenidos estudiados. Para atender a la diversidad, cada unidad didáctica debe iniciarse especificando los conocimientos previos que dicha unidad requiere, una vez que el profesor ha detectado los distintos niveles de conocimientos. La atención a la diversidad se contemplará desde dos puntos de vista: Por una parte, se ofrecerá una gran variedad de contextos no matemáticos que puedan servir de motivación y punto de partida a distintos alumnos y alumnas, bien por su diferente interés, bien por la distinta familiarización que tengan con el contexto. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 48 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. Por otra parte, también se atiende a la diversidad en el planteamiento de las actividades. Por eso se proponen actividades básicas de refuerzo y actividades de ampliación y profundización. Las adaptaciones curriculares significativas, cuando sean precisas se realizarán personalmente para cada alumno por el profesor correspondiente con la supervisión y aprobación del Departamento. Las alteraciones que cabe realizar en la programación son de tres tipos: Temporalización, es decir, ralentizar la enseñanza. Objetivos y contenidos. Se deben marcar unos objetivos a corto plazo y hacer una selección de los contenidos correspondientes, procurando que estos queden afianzados. Metodología, antes que reducir los contenidos u objetivos, habrá que plantearse si una variación de la metodología con dichos alumnos sería suficiente para resolver el problema. La misma definición del Proyecto Curricular y de sus concreciones curriculares constituye una medida de atención a la diversidad. Por otro lado, su desarrollo en las programaciones didácticas y en sus unidades didácticas generará un conjunto de propuestas que favorezcan la adaptación a los intereses, capacidades y motivaciones de los alumnos respetando siempre un trabajo común de base e intención formativa global que permita la consecución de las competencias básicas y de los objetivos de cada curso y de la Etapa. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 49 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 11. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES PROPUESTAS El Departamento de Matemáticas fomentará la participación de los alumnos en aquellas convocatorias provenientes de diferentes organismos e instituciones, dirigidas a alumnos de este curso, siempre que se consideren positivas para completar y extender su cultura matemática y su aprecio por la proyección económica y social de esta disciplina. En particular, como en cursos anteriores, se ofrecerá a todos los alumnos de este curso que lo deseen, la información y el asesoramiento preciso para que puedan participar en la Olimpiada Matemática organizada por la Real Sociedad Matemática Española que habitualmente se celebra al comienzo del segundo trimestre, la Olimpiada de Estadística y el Concurso Incubadora de sondeos que organiza la Universidad de Oviedo. 12 EVALUACIÓN DEL DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN Y LA PRÁCTICA DOCENTE En las reuniones semanales del departamento se seguirá este desarrollo y se adoptarán las medidas correctivas que fueran precisas para su satisfactoria ejecución. 13. INFORMACIÓN A LOS ALUMNOS En las primeras semanas del curso cada profesor informará a sus alumnos de los siguientes apartados de la Programación: contenidos , criterios de evaluación, procedimientos de evaluación, mínimos exigibles y criterios de calificación. Así mismo se pondrá en conocimiento de los alumnos que la Programación del Departamento está a su disposición o a la de sus padres o tutores legales en la página WEB de centro, en la Biblioteca y en el propio Departamento. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 50 Programación Matemáticas II Curso 2015-2016. 14. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º PENDIENTES Los alumnos de 2º de Bachillerato, que tienen las Matemáticas de 1º pendientes estarán a cargo de un profesor del Departamento y que tendrán una hora semanal de clase impartida por dicho profesor. El Departamento de Matemáticas establece que el plan que debe de seguir el alumno para superar la asignatura de Matemáticas I, es el siguiente: El alumno deberá realizar trimestralmente una relación de ejercicios correspondientes a cada uno de los temas del programa de la asignatura. En la fecha que se indique el alumno entregará los ejercicios y responderá a determinadas cuestiones con el objeto de de comprobar que ha superado las dificultades que tenía. Si demuestra que ha superado estas deficiencias, superará la asignatura y su nota será de 5. En el caso de que alumno no realice los ejercicios, no demuestre que superado las deficiencias que presentaba o desea una nota superior a 5, tendrá que realizar una prueba escrita que se basará en los ejercicios entregados al profesor. Después de finalizar cada trimestre, el profesor realizará una recuperación para aquellos alumnos que no obtengan un 5. El alumno aprueba la asignatura si la nota media de las notas trimestrales es mayor o igual que 5. Esta nota trimestral será la mejor de las notas de cada trimestre. En caso contrario, realizará un examen final de toda la asignatura. Si en dicho examen continúa sin alcanzar un 5 deberá realizar una prueba extraordinaria en junio. 15. ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE PERMANECEN UN AÑO MAS EN 2º CURSO Para los alumnos repetidores que obtuvieron una calificación negativa en la materia el curso anterior, el profesor correspondiente recabará información sobre los antecedentes académicos del alumno de los cursos anteriores. Cada profesor elaborará un plan específico personalizado, orientado a la superación de las dificultades detectadas el curso anterior. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 51
