Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai " R }.Demostrar que V es un espacio vectorial sobre el campo de los R y calcular la dim(V). Sean , " R , f(x),p(x),g(x) " P(x) • condicion cerradura P.D. f(x)+g(x) " P(x) f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) = (a0+b0)+(a1x + b1x)++(anxn + bnxn) " P(x) P.D p(x)" P(x) p(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= a0+a1x+a2x2++anxn " P(x) "la suma y la multiplicación por escalar son cerrados • condición Asociativa. P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x) f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + [(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)] = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+..+ ( (bnxn + cnxn)] = (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+..+ (anxn + (bnxn + cnxn)) = ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)+(anxn + bnxn)+cnxn) =[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] +(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn) = [f(x) + g(x)] + p(x) " se cumple la condición • Elemento neutro "! e " P(x) " " a " P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x) sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) = (0+a0) + (0x + a1x )+..+(0xn + anxn) = (a0 + 0) + (a1x + 0x)+.+(anxn + 0xn) 1 = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x) "se cumple • Elemento inverso " p(x) " P(x) "! p(x)−1 " P(x)" p(x) + p(x)−1 = e(x) sea p(x)−1 = (−a0+(−a1)x+(−a2 )x2+(−a3 )x3+......+(−an )xn p(x) + p(x)−1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (−a0+(−a1)x+(−a2 )x2+(−a3 )x3+......+ (−an )xn = (a0 − a0) + (a1x − a1x)+..+(anxn − anxn) = 0+0x+.+0xn = e(x) "se cumple • P.D. (+) p(x) = p(x) + p(x) (+) p(x) = (+) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) = [(+)a0 + (+)a1x++ (+)anx2] =[a0+a0 + a1x+a1x+.+ anxn+anxn] = [(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )] = p(x) + p(x) "se cumple vi) P.D. (p(x)) = ()p(x) (p(x)) = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = (a0 )+ (a1x)++ (anxn) = ()a0 + () a1x +..+ ()anxn =()(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) =( )p(x) "se cumple vii) P.D. [p(x) + f(x)] = p(x) + f(x) [p(x) + f(x)] = [ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] 2 =[(a0+b0) )+(a1x + b1x)++(anxn + bnxn)] =a0 + b0 + a1x + b1x+.+anxn + bnxn = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) = p(x) + f(x) " se cumple viii) " x " P(x) , 1*p(x) = p(x) 1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) =1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x) "se cumple ix) Suma Conmutativa f(x) + g(x) = g(x) + f(x) f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) =((a0+b0)+((a1x + b1x)++(anxn + bnxn)) =((b0+a0)+((b1x + a1x)++(bnxn + anxn) =(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = g(x) + f(x) ! como se cumplen las nueve propiedades "P(x) es un espacio vectorial la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del espacio vectorial. P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1..an] "dim(V)=n Dado W ={P(x) / grado P(x)"}, verificar que { } es una base de W donde : =−3x , = 1+x2 , =x2−5 ¿Es generador? Sean , , " R y a0 + a1x + a2x2 " P(x) a0 +a1x + a2x2 = (−3x) + ( 1+x2) + (x2−5) 3 − 5 = a0 −3, =a1 + =a2 "si es generador es linealmente independiente? (a0,a1,a2) = (0,0,0) !"= ==0 " es una base para P(x) Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si U1 = v1 U2 = v1 + v2 . . un = v1 + v2 +.......+ vn entonses {u, u,.......,un} es base de V Si V= { p(c) / grado p(x) " 4 } y si A = { p(x) " V/ p(4) =p(2) =0}, demostrar que A es un sub espacio de V • ¿ 0 " A? Si • ¿ (x+y) " A ? sea " R, x,y " A [(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)] = [(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] " A " A es un subespacio de P(x) 4