Apunte - Matemáticas - Álgebra Lineal V

Matemáticas
Álgebra Lineal
Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai ∈ R }.Demostrar que V es un espacio
vectorial sobre el campo de los R y calcular la dim(V).
Sean α,β ∈ R , f(x),p(x),g(x) ∈ P(x)
i)
condicion cerradura
P.D.
f(x)+g(x) ∈ P(x)
f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)
= (a0+b0)+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn) ∈ P(x)
P.D αp(x)∈ P(x)
αp(x)= α ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= αa0+αa1x+αa2x2+…+αanxn
∈ P(x)
∴la suma y la multiplicación por escalar son cerrados
ii)
condición Asociativa.
P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x)
f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) +
[(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)]
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+…..+ ( (bnxn + cnxn)]
= (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+…..+ (anxn + (bnxn + cnxn))
= ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)……+(anxn + bnxn)+cnxn)
=[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)]
+(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)
= [f(x) + g(x)] + p(x)
∴ se cumple la condición
iii)
Elemento neutro
∃! e ∈ P(x) ∩ ∀ a ∈ P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x)
sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn
e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )
= (0+a0) + (0x + a1x )+…..+(0xn + anxn)
= (a0 + 0) + (a1x + 0x)+….+(anxn + 0xn)
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn
= p(x)
∴se cumple
iv)
Elemento inverso
∀ p(x) ∈ P(x)
∃! p(x)-1 ∈ P(x)∩ p(x) + p(x)-1 = e(x)
sea p(x)-1 = (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+(-an )xn
p(x) + p(x)-1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+
(-an )xn
= (a0 – a0) + (a1x - a1x)+…..+(anxn – anxn)
= 0+0x+….+0xn = e(x)
∴se cumple
v)
P.D. (α+β) p(x) = αp(x) + βp(x)
(α+β) p(x) = (α+β) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )
= [(α+β)a0 + (α+β)a1x+…+ (α+β)anx2]
=[αa0+βa0 + αa1x+βa1x+….+ αanxn+βanxn]
= [α(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+β (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )]
= αp(x) + βp(x)
∴se cumple
vi)
P.D.
α(βp(x)) = (αβ)p(x)
α(βp(x)) = α[β (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = α(βa0 )+ α(βa1x)+…+ α(βanxn)
= (αβ)a0 + (αβ) a1x +…..+ (αβ)anxn
=(αβ)(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)
=( αβ)p(x)
∴se cumple
vii) P.D.
α[p(x) + f(x)] = αp(x) + αf(x)
α[p(x) + f(x)] = α[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)]
=α[(a0+b0) )+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)]
=αa0 + αb0 + αa1x + αb1x+….+αanxn + αbnxn
=α (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + α(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)
=α p(x) + αf(x)
∴ se cumple
viii) ∀ x ∈ P(x) , 1*p(x) = p(x)
1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)
=1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x)
∴se cumple
ix) Suma Conmutativa
f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)
=((a0+b0)+((a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn))
=((b0+a0)+((b1x + a1x)+……+(bnxn + anxn)
=(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)
= g(x) + f(x)
⇒ como se cumplen las nueve propiedades
∴P(x) es un espacio vectorial
la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del espacio
vectorial.
P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1………..an]
∴dim(V)=n
Dado W ={P(x) / grado P(x)≤}, verificar que {α1 α2 α3} es una base de W donde : α1 =-3x ,
α2 = 1+x2 , α3 =x2-5
¿Es generador?
Sean β1 ,β2 ,β3 ∈ R y a0 + a1x + a2x2 ∈ P(x)
a0 +a1x + a2x2 = β1 (-3x) + β2 ( 1+x2) + β3 (x2-5)
β2
-
5β = a0
-3,β1
=a1
β2 + β3
=a2
∴si es generador
es linealmente independiente?
(a0,a1,a2) = (0,0,0)
⇒ ∴α1 = α2 = α3= 0
∴ es una base para P(x)
Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si
U1 = v1
U2 = v1 + v2
.
.
un = v1 + v2 +.......+ vn
entonses {u, u,.......,un} es base de V
Si V= { p(c) / grado p(x) ≤ 4 } y si A = { p(x) ∈ V/ p(4) =p(2) =0}, demostrar
que A es un sub espacio de V
•
•
¿ 0 ∈ A? Si
¿ α(x+y) ∈ A ?
sea α ∈ R, x,y ∈ A
α[(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)]
= α[(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] ∈ A
∴ A es un subespacio de P(x)
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