Taller 2 de Análisis Numérico - Laboratorio de Matemáticas Aplicadas

Taller 2 de Análisis Numérico
Métodos Iterativos para Ecuaciones en Una Variable
1-Implemente el método de Newton para resolver las siguientes ecuaciones, teniendo en
cuenta que ellas involucran una variable compleja.
z 2 1  0
z3 1  0
z5 1  0
2-Compare sus resultados con las soluciones exactas para estas ecuaciones que usted
debe conocer.
Llamamos sistema dinámico discreto a una sucesión xn  que admite una relación
iterativa entre cada término y su predecesor, como lo indica la siguiente fórmula:
xn1  F xn  .
3-Explique cuidadosamente por qué el método de Newton define un sistema dinámico
discreto.
Llamamos atractor de un sistema dinámico xn  a un conjunto A, con la propiedad de
que la sucesión xn  converge a un punto de A, sin importar cuál sea el punto inicial x0
del sistema dinámico. Entonces podemos ver con claridad que el conjunto de las tres
raíces de la ecuación z 3  1  0 es un atractor para el sistema dinámico que resulta al
aplicar el método de Newton, para estimar la solución a esta ecuación.
Sin embargo cada raíz tiene una cuenca de atracción, este es el conjunto de puntos
sobre el plano complejo que si se toman como puntos iniciales para la iteración de
Newton, convergerán finalmente hacia la raíz en cuestión. Esto sugiere el siguiente
ejercicio.
4-Dibuje las cuencas de atracción para cada una de las raíces en la ecuación z 3  1  0
tomando el sistema dinámico que proviene de aplicar en ella el método de Newton.
Los conjuntos que usted observará se denominan conjuntos de Julia y pertenecen a una
gran familia de conjuntos denominados fractales que se han estudiado intensivamente
en la segunda mitad del siglo XX.
5-Investigue a través de las bibliotecas o páginas web en internet sobre los siguientes
temas:
a)
b)
c)
d)
Conjuntos Fractales
Conjuntos de Julia
Sistemas Dinámicos
Caos