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Método de Newton-Raphson
Consideremos el problema de búsqueda de raíces de una función fC2[a,b].
Sea p0[a,b] una aproximación a la raíz p de f tal que f '(p0) 0 y |p-p0| es
pequeño. Entonces, podemos escribir
donde c(x) está entre x y p0. Sustituimos x = p en la fórmula de Taylor anterior
y tenemos en cuenta que f(p)=0,
El método de Newton-Raphson, o habitualmente de Newton, se obtiene
despreciando el término que involucra a (p-p0)2 ya que se supone |p-p0|
pequeño. Entonces,
y el método de Newton parte de una aproximación inicial p0 y genera la
sucesión {pn} de la siguiente forma:
Interpretación geométrica: La figura 8 muestra cómo las aproximaciones se
obtienen usando tangentes sucesivas. El punto p1 se obtiene como el punto de
intersección del eje de abscisas con la recta tangente a la curva en el punto
(p0, f(p0)), el punto p2 es el punto de intersección del eje de abscisas con la
recta tangente a la curva en el punto (p1, f(p1)) y así sucesivamente.
Figura 8. Representación de las dos primeras iteraciones del método de Newton.
Teorema 4: Sea fC2[a,b]. Si p[a,b] es tal que f(p) = 0 y f '(p) 0, entonces
existe δ > 0 tal que el método de Newton genera una sucesión {pn}
convergente a p para cualquier aproximación inicial p0[p-δ,p+δ].
Ejemplo de la esfera:
Aproximamos el cero de f(x)=x3-30x2+2400 en el intervalo [10,15], aplicando
el método de Newton.
En la figura 9 podemos ver la gráfica de la función:
Figura 9. Representación gráfica de f(x)=x3-30x2+2400
Escogemos como aproximación inicial p0=14 (en este caso podemos tomar
como dato inicial cualquier punto del intervalo [10,15].
Como f '(x)=3x2-60x, el esquema del método de Newton en este caso es:
La primera iteración es
Velocidad de convergencia
Si p es una raíz simple de f(x)=0, entonces el método de Newton converge
muy rápidamente, ya que prácticamente se dobla el número de cifras exactas
en cada iteración. Si {pn} es una sucesión que converge a p y En=p-pn, n≥0, y
existen dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que
entonces se dice que la sucesión converge a p con orden de convergencia R y
A es la constante asintótica del error.
Cuando R = 1 se dice que la convergencia es lineal y cuando R = 2, la
convergencia se llama cuadrática.
El método de Newton tiene convergencia cuadrática si el cero que aproxima
es simple. Esto no ocurre si p es una raíz múltiple.
El método de la secante
El método de Newton es un algoritmo muy eficaz , pero tiene el inconveniente
de tener que conocer el valor de la derivada de f en cada iteración. La derivada
de f puede ser difícil de obtener y muchas ocasiones su cálculo requiere de
más operaciones aritméticas para calcularse que f.
Es posible evitar el cálculo de la derivada mediante la siguiente aproximación:
obteniendo el siguiente algoritmo en el que son necesarias dos aproximaciones
iniciales, p0 y p1: