1º 1ª Evaluación Fis - Gobierno de Canarias

La Teoría de la Gravitación Universal:
una revolución científica
Física 2º Bachillerato 1º
1ª
Evaluación
“La Teoría de la Gravitación
Universal: una revolución científica”
Newton creó un modelo matemático para describir al Sistema Solar, del que han podido
deducirse multitud de consecuencias. Una de ellas fue la predicción y posterior
identificación de planetas desconocidos. Así se descubrieron Neptuno en 1846 y
Plutón en 1930.
La generalidad de la ley de la gravitación permite su aplicación, además de sobre la
Tierra y en el Sistema Solar, también fuera de él. El descubrimiento de pares de estrellas
- sistemas binarios - que orbitan cada una alrededor de la otra, de galaxias con
complicado movimiento o de cometas que durante años desaparecen de nuestro campo
de visión, encajan totalmente con la descripción de Newton de la acción gravitatoria
entre partículas aisladas.
La concepción Pitagórica del Universo y el Modelo Aristotélico.
Explicar la caprichosa disposición de astros y planetas, así como describir su
movimiento, ha sido una de las preocupaciones del ser humano desde que es capaz de
emitir juicios. La forma del pensamiento de cada época, más que buscar el rigor
científico, daba respuestas satisfactorias para cada momento.
La Escuela Pitagórica (Pitágoras)explicó la estructura del Universo en términos matemáticos.
El gran “Fuego Central” , origen de todo, se relacionaba con el Uno , origen de los
números. A su alrededor giraban la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas conocidos. El
periodo de la Tierra en torno al “Fuego Central” era de 24 horas, y ofrecía a este
siempre su cara oculta, donde no habitan las personas. Otros periodos conocidos eran el
de la Luna (un mes) y el del Sol (un año). El universo concluía en una esfera celeste de
estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo.
Pitágoras nació en Samos (Jonia) , alrededor del año 582 a. C.
La obsesión matemática de los pitagóricos, les llevó a pensar que el número de cuerpos
que formaban el universo era de diez, pues este sería el número perfecto. Como sólo
observaban nueve, suponían que el décimo se encontraba entre La Tierra y el gran
Fuego (por eso no era visible), y lo denominaron Antitierra.
El modelo de Aristóteles
Aunque actualmente puedan causar sorpresa algunas de las concepciones que
Aristóteles tenía de la naturaleza, es importante destacar que estuvieron asentadas
durante más de dos mil años, influyendo en el pensamiento social ya que procedían de
la observación (aunque simplista) de la naturaleza, y no carecían de cierto rigor
científico.
El Universo, según Aristóteles, estaba constituido por dos regiones esféricas,
separadas y concéntricas. La Tierra, que ocupaba el centro del Universo, era la región
de los elementos, fuego , aire , agua y tierra. Más allá, en la esfera lunar, se
encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible
quinta esencia. Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas
con La Tierra, eran perfectos, es decir, circulares y perpetuos. El universo terminaba
en la esfera de las estrellas fijas.
Las aportaciones de Aristóteles llegan más allá que las de cualquier otro filósofo de su
época, definiendo los primeros conceptos de lo que después será la mecánica ,
Aristóteles afirmaba que los cuerpos tienden a ocupar su lugar natural, si no son
obstaculizados para ello. Los cuerpos ligeros tienden a ir hacia arriba, y los pesados,
hacia abajo. Estos serían los movimientos naturales . Los demás movimientos son
“forzados” Todo movimiento ocurre porque hay un motor que lo produce. En los
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movimientos naturales , el motor es eterno y está en el cuerpo que se mueve; en los
forzados, el motor es externo y origina el movimiento.
La idea principal que introdujo Aristóteles fue la de que para mantener o producir el
movimiento de un cuerpo, es necesaria una fuerza.
El Geocentrismo de Ptolomeo
Claudio Ptolomeo vivió en Alejandría en el siglo II, y fue el más célebre astrónomo
de la Antigüedad. Su modelo del Universo es, al igual que el de Aristóteles,
geocéntrico , y mantuvo su primacía durante varios siglos sobre los modelos
heliocéntricos.
Las causas más importantes de la predominancia de los modelos geocéntricos frente a
los heliocéntricos fueron:
 La falta de cálculos y predicciones cuantitativas precisas, sobre las trayectorias de
los planetas.
 El hecho de que , si la Tierra no fuese el centro estático del universo, a lo largo de
su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este
fenómeno se denomina paralaje anual de las estrellas fijas.
Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y prediciendo
eclipses de Sol y de Luna. Estos resultados fueron muy útiles para el desarrollo de la
astrología, de gran interés en su época, y de la navegación, fundamental para la
expansión del comercio, que constituía una importante fuente de riqueza para los países.
El modelo de Ptolomeo En el sistema de Ptolomeo, las estrellas se describen como
puntos en la esfera celeste. Estos puntos giran en torno a la Tierra y mantienen las
distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezcan a una única esfera hueca.
El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente al de los planetas. Para ajustar
el modelo a los datos experimentales. Ptolomeo introdujo la excentricidad de las
trayectorias., es decir, un desplazamiento del centro de la órbita, respecto al centro de la
Tierra.
Estos ajustes explican los cambios de velocidad del Sol, a lo largo de su trayectoria.
La parte que matemáticamente es más confusa en su modelo, es aquella donde explica
el movimiento de los planetas : el planeta giraba alrededor de un punto, que era el que
en realidad rotaba con respecto a la Tierra. La órbita alrededor de la Tierra se
denomina eclíptica , y la del planeta epiciclo.
La complejidad del modelo hizo dudar a los escépticos; sin embargo, su capacidad
para la deducción de todo tipo de fenómenos lo mantuvo vigente durante catorce siglos,
hasta el perfeccionamiento de los modelos heliocéntricos.
La Revolución Copernicana.
En el Sistema Heliocéntrico, la Tierra pierde su protagonismo y pasa a considerarse
girando alrededor del Sol, junto con el resto de los planetas. La transición del modelo
geocéntrico al heliocéntrico, hay que estudiarla desde sus protagonistas.
Copérnico Nació en Polonia en 1473. Estudió matemáticas en Cracovia, y derecho
canónico, astronomía y medicina en Papua. Aunque era médico de profesión, su gran
afición era mirar las estrellas, a pesar de que el cielo brumoso del Báltico, no le permitía
demasiada precisión en sus observaciones.
Para Copérnico, el Sol debería desempeñar un papel único en el Universo, debido a su
mayor tamaño, con respecto al resto de los planetas, y a que es el que ilumina y
proporciona calor a la Tierra.
Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más
cercanos al Sol, tenían un brillo variable, a lo largo del año; lo que parecía indicar que
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las distancias con respecto a la Tierra, también variaban. No era por tanto concebible
que girasen alrededor de la Tierra, y sí , alrededor del Sol. ¿Por qué no podría
ocurrir lo mismo con los demás planetas?. Este planteamiento le permitió justificar con
sencillez, el movimiento retrógado de los planetas , para el que Ptolomeo, había
introducido los epiciclos.
Galileo Nació en 1564 en Pisa, donde estudió medicina y física, sin llegar a
graduarse. A pesar de todo, su ingenio y su talento, le hicieron adquirir tal reputación,
que fue nombrado profesor de matemáticas.
Galileo se hizo con un telescopio (por entonces, un juguete fabricado por artesanos
holandeses), construyó lentes de hasta 30 aumentos, y lo mejoró hasta que le permitió
observar las fases de Venus. Este hecho hizo que se convirtiera en el primer defensor, a
ultranza, del sistema copernicano. Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta
entonces, y llegó a describir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa.
En 1610,
descubrió los satélites de Júpiter , confirmando así que ya había algo
de lo que la Tierra no era el centro.
Las Leyes de Kepler
Kepler, astrónomo alemán, nació de familia
humilde en 1571. Fue perseguido por sus ideas religiosas y se ocultó en Praga como
asistente del astrónomo danés Tycho Brahe . A la muerte de este , en 1601, fue
nombrado su sucesor como astrónomo, en la corte de Rodolfo II. A diferencia de su
maestro, Kepler era un seguidor ferviente de Copérnico, y únicamente aprovechó de
Brahe, la gran cantidad de datos que le había dejado, así como su fabuloso observatorio.
Primera Ley de Kepler
Los conocimientos matemáticos de Kepler eran limitados.
Su intención era construir tablas astronómicas.
Descubrió que la elipse era la curva
que podía describir el movimiento planetario.
Primera Ley : Los planetas describen órbitas elípticas, alrededor del Sol,
estando situado éste en uno de sus focos.
Segunda Ley de Kepler
Otro suceso que Kepler había observado era que la
velocidad de los planetas, dependía de su posición en la órbita ; intentó encontrar una
relación matemática, que permitiera definir dicha velocidad y, partiendo de las
siguientes hipótesis incorrectas, llegó , sorprendentemente, a un resultado correcto.:
 Primera hipótesis : Supuso que los planetas estaban sometidos a una fuerza de
atracción por el Sol, inversamente proporcional a la distancia.
(hoy sabemos que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia)
 Segunda hipótesis Defendía que la velocidad era proporcional a la fuerza, tal y
como indicaba la mecánica de Aristóteles.
 Tercera hipótesis Para su cálculo, supuso que las órbitas eran circulares (puesto
que aún no había establecido su primera ley) , pero no centradas en el Sol. Esto no
suponía un gran error, pues las órbitas son prácticamente circulares.
Segunda Ley : El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre
áreas iguales , de la elipse , en tiempos iguales.
El hecho de que la Tierra se mueva con mayor rapidez (es decir, de que el Sol visto
desde la Tierra , se mueva con mayor velocidad sobre el fondo de las estrellas) , en
invierno que en verano, era conocido por los astrónomos anteriores a Kepler.
Kepler nunca supo dar una explicación teórica a esta ley obtenida de forma empírica,
ya que la herramienta matemática necesaria para su demostración (el cálculo
diferencial , introducido por Leibniz y Newton , medio siglo después) , no existía
en la época de Kepler.
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La velocidad de un planeta en el afelio (punto en el que se encuentra lo más lejos
posible del Sol) , es menor que en el perihelio (punto en el que se encuentra lo más
cerca posible del Sol). Esto parecía estar de acuerdo con las dos primeras hipótesis
falsas planteadas, ya que si la velocidad del planeta es proporcional a la fuerza y esta
es inversamente proporcional a la distancia, entonces la velocidad del planeta debe ser
inversamente proporcional a la distancia.
El perihelio del planeta Tierra, se produce entre el 1 de enero y el 30 de enero
(es decir, en pleno invierno) , y su afelio lo presenta entre el 1 de Julio y el 30
de Julio ( es decir, en pleno verano).
Tercera Ley de Kepler
Es la ley que sirvió como base, de la ley de la gravitación universal de Newton y
permitió realizar muchos cálculos, entre ellos el de la masa de los planetas.
Kepler enunció su tercera ley, como consecuencia de su inquietud por encontrar un
modelo general para todos los planetas, algo que dirigiese este aparente orden del
Universo. Hasta entonces, cada planeta parecía tener su órbita propia y su velocidad
independiente del resto.
Su tercera ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo que
emplean los planetas en recorrerlas.
Tercera Ley : Los cuadrados del periodo de revolución de los planetas
alrededor del Sol (T) , son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores, o
radios medios, de sus órbitas (a):
T 2 = K . a3
donde K es una constante igual para todos los planetas
, que sólo depende de la
masa del Sol.
Como el Sistema Solar es un sistema aislado de fuerzas, la suma de los
momentos de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el Sistema Solar es cero,
por lo tanto se conserva el momento angular del Sistema Solar. Este sistema
justifica las dos primeras leyes de Kepler:
 La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre
giren en el mismo sentido y en órbitas planas
 La conservación del módulo justifica la ley de las áreas (segunda ley de Kepler)
La demostración de la tercera ley de Kepler tuvo que esperar la llegada de Newton.
(El momento de una fuerza es el producto vectorial entre el vector de posición de la
fuerza, multiplicado vectorialmente por la propia fuerza. Es una magnitud vectorial
que se mide en :
metros . Newton )
(El Momento Angular es el producto vectorial entre el vector de posición del
planeta, multiplicado vectorialmente por el momento lineal o cantidad de movimiento
de ese planeta. Es una magnitud vectorial que se mide en : metros . Kg . m / s )
(El momento lineal o cantidad de movimiento, es el producto escalar de la masa
por la velocidad. Es una magnitud vectorial y se mide en : Kg . metro / segundo).
Newton y la Gravitación Universal
Isaac Newton nació el día de Navidad de 1642, año en que murió Galileo. Fue
alumno y profesor en Cambridge, en una de las cátedras más importantes en el mundo
de la física, la de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica, actualmente ocupada por
Stephen W. Hawking.
Su aportación zanjó el problema de la estructura y dinámica del Universo, hasta la
teoría de la relatividad general de A. Einstein, dos siglos después. Antes de Newton ya
se admitía que la caída de los cuerpos se debía a la atracción que la Tierra ejercía sobre
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ellos. Al meditar sobre esta fuerza y preguntarse hasta dónde se extendía en el espacio,
Newton pensó que también la Luna la experimentaba.
Ley de la Gravitación Universal : Todos los cuerpos en el Universo se atraen con
una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
F = G m1 . m2 / r 2
Desde que Newton dedujo la ley de la gravitación universal hasta que la publicó,
transcurrieron veinte años. Se cree que ese retraso fue debido a que no había resuelto el
problema de que la Tierra no fuese una masa puntual.
En efecto, para estudiar el movimiento de caída de una piedra, es necesario evaluar la
atracción total de una esfera homogénea, sobre una partícula material situada fuera de
ella. Cada parte de la esfera atraerá a la partícula con una fuerza diferente, debido a
que se halla a diferente distancia.
Finalmente Newton resolvió el problema tras laboriosos cálculos: “La atracción de la
esfera actúa como si toda la masa estuviera concentrada en el centro”.
La importancia de la Ley de la Gravitación Universal , comenzó a valorarse
inmediatamente; el propio Newton pudo ir dando explicaciones a diversos fenómenos
, gracias a su Ley de Gravitación Universal, como:
--- las protuberancias de la Tierra y de Júpiter, a causa de su rotación.
--- el origen de las mareas
--- las trayectorias de los planetas
--- la variación de la gravedad con la altura
--- el cambio en el eje de rotación de la Tierra , etc .
Justificación de la Tercera Ley de Kepler
En 1797 , Henry Cavendish , verificó experimentalmente ,
el valor de la
Constante de Gravitación Universal G. Una vez conocido su valor, puede deducirse la
Tercera Ley de Kepler, a partir de la Ley de la Gravitación de Newton.
Puesto que en el sistema formado , por un planeta girando en torno al Sol , no hay
más fuerzas que la deducida por Newton, puede asegurarse que esta es la fuerza
centrípeta, que mantiene a los planetas en sus órbitas: F = Fc = m . an = m . v2 / r
= G M . m / r2
Que al despejar “v” nos queda igual a la raíz cuadrada de G . M / r
que indica la velocidad de un planeta o satélite, girando en una órbita de radio r
alrededor de un cuerpo de masa M .
Teniendo en cuenta que la velocidad es aproximadamente constante, pues la
trayectoria es casi circular, se puede sustituir:
v = e/t = 2.Π r / T
e igualando las dos expresiones anteriores para la velocidad , y despejando T2
se tiene:
T2 = ( 4.Π2 / G.M ) . r3
(3ª Ley de Kepler)
(Es decir, que la “K” de la 3ª Ley de Kepler coincide con el paréntesis)
Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta, conociendo el periodo y el
radio de uno de sus satélites.
( M es la masa en torno a la cual gira el planeta o satélite, que para que coincida
con la “K” que obtuvo Kepler , debemos hacer M = M Sol )
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