MRU MRUA

#EGNGTCEKxP WPKHQTOG
El guepardo es un felino
con características para
la rapidez. Su fuerza
y agilidad le permiten
alcanzar una rapidez
máxima de 100 km /h, la
cual sólo puede mantener
durante 10 segundos,
aproximadamente.
(Fotografía © vol. 44
PliotoDisc/Getty.)
1DLGVKXQU
&XDQGRWHUP LQHGHHVWXGLDUHVWHFDStWXORHLDOXPQR
'HILQLUi\DSOLFDUi ODVGHILQLFLRQHVGHYHORFLGDGP HGLD\DFHOHUDFLyQ P HGLD
5HVROYHUiSUREOHP DVTXHLQFOX\DQWLHP SRGHVSOD]DP LHQWRYHORFLGDGPHGLD\
DFHOHUDFLyQ P HGLD
$SOLFDUiXQDGH ODVFLQFRHFXDFLRQHVJHQHUDOHVGHO P RYLP LHQWRXQLIRUP HP HQȟ
WH DFHOHUDGR SDUD GHWHUP LQDUDOJXQR GH ORV FLQFR SDUiP HWURV YHORFLGDG LQLȟ
FLDOYHORFLGDGILQDODFHOHUDFLyQWLHP SR\GHVSOD]DP LHQWR
5HVROYHUi SUREOHP DVJHQHUDOHVUHODFLRQDGRVFRQ FXHUSRVHQFDtGD OLEUHHQXQ
FDP SRJUDYLWDFLRQDO
([SOLFDUi SRU P HGLR GH HFXDFLRQHV \ GLDJUDP DV HO P RYLP LHQWR KRUL]RQWDO \
YHUWLFDOGHXQ SUR\HFWLO ODQ]DGRFRQGLIHUHQWHViQJXORV
'HWHUP LQDUi OD SRVLFLyQ \ ODYHORFLGDGGH XQ SUR\HFWLO FXDQGR VH FRQRFHQ VX
YHORFLGDG LQLFLDO\VX SRVLFLyQ
&DOFXODUiHODOFDQFHODDOWXUDPi[LPD\HOWLHP SRGHYXHORGHSUR\HFWLOHVFXDQȟ
GRVHFRQRFHQ ODYHORFLGDG LQLFLDO\HO iQJXORGHSUR\HFFLyQ
%CRsVWNQ #EGNGTCEKxP WPKHQTOG
4CRKFG\[XGNQEKFCF
El tipo más sencillo de movimiento que puede experimentar un objeto es el movimiento rectilíneo uniforme. Si el objeto recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo,
se dice que se mueve con rapidez constante. Por ejemplo, si un tren recorre 8 m de vía por
cada segundo que se mueve, se dice que tiene una rapidez constante de 8 m /s. Ya sea que la
rapidez sea constante o no, la rapidez media de un objeto en movimiento se define como
distancia recorrida
rapidez media = --------------------------tiempo transcurrido
v =
(6. 1 )
~
La línea sobre el símbolo v significa que la rapidez representa un valor promedio para el espacio de tiempo t.
Recuerde que la dimensión de la rapidez es la razón de una longitud a un intervalo de
tiempo. Por tanto, las unidades de millas por hora, pies por segundo, metros por segundo y
centímetros por segundo son unidades comunes de la rapidez.
Un golfista logra un hoyo 3 segundos después de que golpea la pelota. Si ésta viajó con una
rapidez media de 0.8 m /s, ¿a qué distancia estaba el hoyo?
5QNWEKxP Si se despeja.* en la ecuación (6.1) queda
x = vt = (0.8 m /s)(3 s)
Por tanto, la distancia que hay hasta el hoyo es de
x = 2.4 m
Es importante observar que la rapidez es una cantidad escalar totalmente independiente
de la dirección. En el ejemplo 6.1 no fue necesario conocer la rapidez de la pelota de golf
a cada instante ni la naturaleza de su trayectoria. De forma similar, la rapidez media de un
automóvil que viaja de Atlanta a Chicago es función únicamente de la distancia registrada en
su odómetro y del tiempo requerido para realizar el viaje. En lo que se refiere a los cálculos,
no hay ninguna diferencia, ya sea que el conductor del automóvil haya tomado la ruta directa
o la panorámica, o incluso si tuvo que detenerse a comer.
Debemos distinguir claramente entre la cantidad escalar rapidez y su contraparte direccional, la velocidad. Esto es fácil si recordamos la diferencia entre distancia y desplazamiento
expuesta en el capítulo 3. Supongamos, como se indica en la figura 6 .1, que un objeto se mueB
B
(KIWTC El desplazamiento y la velocidad son cantidades vectoriales, mientras que la distancia y la rapidez son independientes de la dirección; s, distancia; &desplazamiento; v, velocidad; í, tiempo.
$ FHOHUDFLy Q ve a lo largo de la trayectoria de la línea punteada, de A a B. La distancia recorrida en realidad
se denota con s, mientras que el desplazamiento se representa con las coordenadas polares
D = (D, 9)
Como ejemplo, considere que la distancia 5 de la ñgura 6.1 es de 500 km y que el desplazamiento es de 350 km a 45°. Si el tiempo real de travesía es de 8 h, la rapidez media es
5
500 km
8h
= 62.5 km /h
En esta obra seguiremos la convención de usar el símbolo s para denotar las trayectorias curvas y los símbolos x y y para representar las distancias en línea recta.
La velocidad media, sin embargo, debe tomar en cuenta la magnitud y la dirección del
desplazamiento. La velocidad media está dada por
En choques de frente,
las bolsas de aire han
dem ostrado su utilidad
para prevenir lesiones
en la cabeza y el pecho.
En im pactos con una
dism inución súbita en
velocidades de 10 a
15 m i/h , un dispositivo
d e te c to r instalado al
frente del vehículo
activa un sistema de
e ncendido que causa
la descom posición
de gránulos de azida de
sodio. Esto produce
gas nitró g e n o que infla
las bolsas de nailon
y las fuerza a salir de sus
com partim ientos donde
están guardadas. El
tie m p o que transcurre
entre el choque y el
llenado de la bolsa
es m enor de 40 ms.
Cuando el pasajero y
la bolsa inflada hacen
contacto, el gas es
forzado a salir y la bolsa
se desinfla en 2 s.
_
D
350 km, 45°
V ~ t ~~
8h
v = 43.8 km/h, 45°
Por lo tanto, si la trayectoria del objeto en movimiento es curva, la diferencia entre rapidez y
velocidad es tanto en magnitud como en dirección.
Los automóviles no siempre pueden viajar a rapidez constante por largos espacios de
tiempo. Al ir del punto A al B , quizá sea necesario ir más despacio o más rápido debido a las
condiciones del camino. Por ello, a veces es útil hablar de rapidez instantánea o velocidad
instantánea.
/D UDSLGH]LQVWDQWiQHDHVXQDFDQWLGDGHVFDODUTXHUHSUHVHQWD OD UDSLGH]HQHO
LQVWDQWH HQ TXH HO DXWRPyYLO HVWi HQ XQ SXQWR DUELWUDULR C. 3RUFRQVLJXLHQWH
HVOD UD]yQ GHFDPELRGH ODGLVWDQFLD UHVSHFWRDOWLHPSR
/DYHORFLGDGLQVWDQWiQHDHVXQDFDQWLGDGYHFWRULDOTXHUHSUHVHQWDODYHORFLGDG
YHQFXDOTXLHUSXQWRC. (VHQFRQVHFXHQFLDODUD]yQGHFDPELRGHOGHVSOD]Dȟ
PLHQWRUHVSHFWRDOWLHPSR
En este capítulo nos ocuparemos del movimiento en trayectoria recta, de modo que las
magnitudes de la rapidez y la velocidad serán las mismas en cada instante. Si la dirección no
cambia, la rapidez instantánea es la parte escalar de la velocidad instantánea. Sin embargo, es
un buen hábito reservar el término velocidad para la descripción más completa del movimiento. Como veremos en secciones ulteriores, un cambio de velocidad puede originar también
un cambio de dirección. En tales casos, los términos velocidad y desplazamiento son más
apropiados que rapidez y distancia.
$FHOHUDFLyQ
En la mayor parte de los casos, la velocidad de un objeto cambia mientras éste se mueve. El
movimiento en el que la magnitud o la dirección cambia respecto al tiempo se llama aceleración. Supongamos que observa el movimiento de un corredor durante un tiempo t. La
velocidad inicial Xdel cuerpo se define como su velocidad al inicio del intervalo de tiempo
(en general, t = 0). La velocidad final (vf) se define como la velocidad al terminar el intervalo
de tiempo (cuando t = t). Por tanto, si somos capaces de medir las velocidades inicial y final de
un objeto en movimiento, entonces afirmaremos que su aceleración está dada por
cambio de velocidad
Aceleración = ---------------------------intervalo de tiempo
V f~ v0
C t
( 6. 2)
%CRsVWNQ #EGNGTCEKxP WPKHQTOG
Si la aceleración se escribe como en la ecuación (6.2), se trata de una cantidad vectorial
y, por consiguiente, depende del cambio tanto de dirección como de magnitud. Si la dirección
no se modifica y el movimiento es en línea recta, sólo la rapidez del objeto cambia. No obstante, si se sigue una trayectoria curva, habría aceleración aun cuando la rapidez no cambie.
Para el movimiento en un círculo perfecto y con rapidez constante, la aceleración siempre
formará ángulos rectos respecto a la velocidad. Más adelante abordaremos este movimiento
circular uniforme.
/QXKOKGPVQWPKHQTOGOGPVGCEGNGTCFQ
El tipo de aceleración más sencillo es el movimiento rectilíneo, en el que la rapidez cambia
a razón constante. Este tipo especial de movimiento se conoce como movimiento uniform em ente acelerado o de aceleración uniforme. Puesto que no hay cambio en la dirección, la
diferencia de vectores en la ecuación (6.2) se transforma simplemente en la diferencia entre
los valores con signo de las velocidades final e inicial. Sin embargo, conviene recordar que la
velocidad sigue siendo una cantidad vectorial y que el signo asignado a ella indica la dirección y no la magnitud. Para una aceleración constante escribimos
vf ~ v0
a =
Por ejemplo, considere un automóvil que se mueve con aceleración uniforme de una rapidez inicial de 12 m /s a una final de 22 m /s, como se indica en la figura 6.2. Si consideramos
la dirección a la derecha como positiva, la velocidad del auto en A es de + 12 m /s y su velocidad final en B es de + 22 m /s. Si el incremento en la velocidad requiere 5 s, la aceleración
puede determinarse a partir de la ecuación (6.2).
a =
vf
vo
22 m /s — 12 m /s
5s
10 m /s
5s
= 2 m /s-
La respuesta se lee como dos metros por segundo por segundo o dos metros por segundo
al cuadrado. Esto significa que cada segundo el automóvil incrementa su rapidez en 2 m /s.
Puesto que el auto ya iba a 12 m /s cuando empezamos a contar el tiempo, después de 1, 2 y
3 s tendría valores para la rapidez de 14, 16 y 18 m /s, respectivamente.
Á v = vf - v
t = tiempo
12 m/s
22 m/s
22 m/s - 12 m/s
A
t= 5 s
(KIWTC Movimiento uniformemente acelerado.
0 RYLP LHQWRXQLIRUP HP HQWHDFHOHUDGR
Un tren reduce su velocidad de 60 a 20 k m /h en un tiempo de 8 s. Encuentre la aceleración
en unidades del SI.
2NCP Primero debe realizarse la conversión a unidades del SI (m /s). Luego hay que recordar que la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
5QNWEKxP La velocidad inicial es
km
1000 m
6 0 — X ----------h
1 km
1h
3600 s
= 16.7 m /s
De igual forma, se determina que 20 km/h es igual a 5.56 m /s. Como las velocidades siguen la misma dirección y muestran la misma aceleración se suponen constantes, entonces
la ecuación (6.3) resulta en
a =
VfJ-Vg
5.56 m /s — 16.7 m /s
t
8s
a = —1.39 m /sComo la dirección original del tren del ejemplo 6.2 se consideró positiva, el signo negativo de la aceleración significa que el tren redujo su rapidez en 1.39 m/s cada segundo. Tal
movimiento se conoce a veces como desaceleración, pero este término resulta problemático
porque a = —1.39 m /s2 significa en realidad que la velocidad se vuelve más negativa en esa
cantidad cada segundo. Si la rapidez se incrementa en dirección negativa, la aceleración también es negativa. La aceleración se refiere al cambio de velocidad, lo cual significa que puede
tratarse de un incremento o una disminución de la rapidez.
A menudo se usa la misma ecuación para calcular diferentes cantidades; por tanto, debe
resolverla literalmente para cada símbolo que aparece en ella. Una forma práctica de escribir
la ecuación (6.3) se presenta cuando se despeja la velocidad final, como sigue
Velocidad final = velocidad inicial + cambio de velocidad
vf = v 0 + at
; automóvil mantiene una aceleración constante de 8 m /s 2. Si su velocidad inicial era de
m /s al norte, ¿cuál será su velocidad después de 6 s?
2NCP La velocidad inicial aumentará en 8 m /s cada segundo que el auto se desplace. Para
obtener la velocidad final sólo se requiere sumar este cambio a la velocidad inicial.
5QNWEKxP La velocidad final se obtiene a partir de la ecuación (6.4).
vf — v0 + at = 20 m /s + (8 m /s 2)(6 s)
= 20 m /s + 48 m /s = 68 m /s
Así, la velocidad final es de 68 m /s, también al norte.
Ahora que se han comprendido los conceptos de velocidad inicial y final, analicemos la
ecuación de la velocidad media y expresémosla en términos de valores inicial y final. Mientras la aceleración sea constante, la velocidad media de un objeto se determina igual que el
promedio aritmético de dos números. Dadas una velocidad inicial y una final, la velocidad
media es simplemente
%CRsVWNQ #EGNGTCEKxP WPKHQTOG
Recordará que la distancia x es el producto de la velocidad media por el tiempo. Por ende,
es posible sustituir esto en la ecuación (6.1) para obtener una expresión más útil para calcular
la distancia cuando la aceleración es uniforme:
x
=
'vf Y1
-—
)t
66
| —
|r Un objeto en movimiento incrementa uniformemente su velocidad de 20 a 40 m /s en 2 min.
¿Cuál es la velocidad media y cuán lejos llegará en esos 2 min?
2NCP Primero convertimos los 2 min de tiempo en 120 s con el fin de obtener congruencia de unidades. Luego reconocemos que la velocidad media es el promedio entre los
valores inicial y final para la aceleración constante. Por último, la distancia recorrida es el
producto de la velocidad media por el tiempo.
5QNWEKxP La velocidad media se calcula con base en la ecuación (6.5).
Vf + v0
V ~~
2
40 m /s + 20 m /s
”
2
v = 30 m /s
Se usa entonces la ecuación (6 .6) para obtener la distancia recorrida en los 120 s.
x = (30 m /s)(120 s) = 3600 m
1VTCUTGNCEKQPGU}VKNGU
Hasta ahora hemos presentado dos relaciones fundamentales. Una surgió de la definición de
velocidad y la otra de la definición de aceleración. Se trata de las siguientes:
'vf + v0N
X = v t — I ------------- 11
\
(6.6)
vf = v o + at
Aunque éstas son las únicas fórmulas necesarias para abordar los múltiples problemas
que se presentan en este capítulo, hay otras tres relaciones útiles quepueden obtenerse a partir
de ellas. La primera se deduce eliminando la velocidad final de las ecuaciones (6.6) y (6.4).
Sustituyendo ésta en aquélla se obtiene
(v0 + at) + v0
X~
_U
Al simplificar se obtiene
x
=
v0t
+
1 9
~ar
Una ecuación similar se obtiene eliminando v0 en las mismas dos ecuaciones:
1 9
x — Vft ~ — at
(6.8)
5HVROXFLyQ GHSUREOHP DVGHDFHOHUDFLyQ
La tercera ecuación se obtiene mediante la eliminación del tiempo Ven las ecuaciones básicas.
Con un poco de álgebra se obtiene
la x = vj - v2
0
A pesar de que estas ecuaciones no nos proporcionan información nueva, son útiles para
resolver problemas donde se conocen tres de los parámetros y es necesario hallar uno de los
otros dos.
5HVROXFLyQGHSUREOHPDVGHDFHOHUDFLyQ
Aunque la resolución de problemas en los que interviene una aceleración constante se basa
fundamentalmente en elegir la fórmula correcta y sustituir los valores conocidos, hay varias
sugerencias para ayudar al alumno principiante. Los problemas con frecuencia se refieren al
movimiento que parte de un estado de reposo o, bien, se detiene a partir de cierta velocidad
inicial. En cualquier caso, las fórmulas presentadas pueden simplificarse por la sustitución ya
sea de vQ= 0 o vf = 0, según el caso. En la tabla 6.1 se resumen las fórmulas generales.
6CDNC
5HVXP HQGHIyUP XODVGH ODDFHOHUDFLyQ
( v0 + Vf\
[ 9
2 ■>
(2) Vf = Y + at
1 0
(3) x v0t - a r -
1 ,
(4) x = vf t - - a t
(5) la x = vj - Vq
Un análisis más detallado de las cinco ecuaciones generales revela un total de cinco
parámetros: x, vQ, vf, a y t. Si se conocen tres de estas cantidades, las dos restantes pueden
calcularse a partir de las ecuaciones generales. Por tanto, el punto de partida para resolver
cualquier problema consiste en leerlo cuidadosamente a fin de detectar las tres cantidades
necesarias para resolverlo. También es importante elegir una dirección como la positiva y
aplicar congruentemente este criterio a la velocidad, al desplazamiento y a la aceleración
cuando se sustituyan sus valores en las ecuaciones.
Si se le dificulta decidir qué ecuación debe usar, puede ser útil recordar las condiciones
que requiere satisfacer cada ecuación. Primero, debe incluir el parámetro desconocido. Segundo, es necesario conocer todos los demás parámetros que aparecen en la ecuación. Por
ejemplo, si en un problema se conocen los valores de
vQy Ves posible determinar C en la
ecuación (2).de la tabla 6.1.
'UVTCVGIKCRCTCTGUQNXGTRTQDNGOCU
2TQDNGOCUFGCEGNGTCEKxPEQPUVCPVG
1. Lea el problema; luego trace un bosquejo y escriba en
él los datos.
Indique la dirección positiva de forma congruente.
3. Establezca los tres parámetros conocidos y los dos desconocidos. Asegúrese de que los signos y las unidades
son congruentes.
D ados:__________
Encontrar:___________
Seleccione la ecuación que incluya uno de los paráme-
tros desconocidos, pero no al otro.
v0 + Vf
la x = vj — V5
: Vf — v0 + at
Z X C
C V
1 ,
x = Vnt H— a t
2
Sustituya las cantidades conocidas y resuelva la
ecuación.
%CRsVWNQ #EGNGTCEKxP WPKHQTOG
Los ejemplos siguientes se han abreviado y no incluyen los bosquejos, pero sí ejemplifican el proceso anteriormente expuesto.
Una lancha de motor parte del reposo y alcanza una velocidad de 15 m /s en un tiempo de
6 s. ¿Cuál era su aceleración y cuán lejos viajó?
2NCP Se traza un bosquejo y se escriben en él los datos conocidos, además de que se
indica la dirección positiva de forma congruente con la velocidad inicial. Se organizan los
datos conocidos, se eligen las ecuaciones apropiadas y se resuelve para la aceleración y la
distancia recorrida.
5QNWEKxP En este caso, todos los parámetros proporcionados son positivos:
Dados: v. = 0
7
Encontrar: a = ?
15 m/s
x = ?
t —6 s
Para encontrar la aceleración debemos elegir una ecuación que incluya a pero no x. Puede
usarse la ecuación (2) de la tabla 6.1, y en ella vQ= 0. Así,
vf = 0 + at
vf ~ a t
Al resolver para la aceleración a, se obtiene
15 m/s
7
t
6s
= 2.50 m /s2
El desplazamiento puede hallarse con base en una ecuación que incluya x pero no a.
La ecuación (1) de la tabla 6.1 produce
' vf + vp\
_ (15 m /s + 0)(6 s)
x = 45.0 m
Note que como se conoce la aceleración a, pudimos haber despejado x en las ecuaciones
(3), (4) o (5); sin embargo, eso hubiera supuesto emplear el valor calculado de a, que podría ser incorrecto. Es mejor usar la información original.
Un avión aterriza en la cubierta de un portaaviones con una velocidad inicial de 90 m /s y
se detiene por completo en una distancia de 100 m. Encuentre la aceleración y el tiempo
necesario para detenerlo.
2NCP Se sigue el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores. Se elegirá con
cuidado la ecuación que incluya sólo la información original.
5QNWEKxP
Dados: vQ= 90 m /s
Encontrar: a = ?
vf = 0 m /s
t= ?
x = 100 m
Tras examinar la tabla 6.1, seleccionamos la ecuación (5) como la que contiene a y no t:
a =
2 ax = vj — Vq
Vf ~ vi
(O)2 - (90 m /s)2
2x
2(100 m)
a = —40.5 m /s2
& RQYHQFLyQ GHVLJQRVHQ SUREOHP DVGHDFHOHUDFLyQ
La aceleración negativa se debe a que la fuerza de detención tiene una dirección opuesta a
la velocidad inicial. Una persona sometida a una aceleración semejante experimentaría una
fuerza de detención aproximadamente igual a cuatro veces su peso.
A continuación hallamos el tiempo de detención eligiendo la ecuación donde aparece t y
no a. De nuevo, la ecuación (1) es la correcta
'vf + v0\
J
t
o
t =-
2x
Vf + Y
2(100 m)
t = ñ
™— r = 2.22 s
0 + 90 m /s
El avión experimenta una aceleración de —40.5 m /s 2 y se detiene en un tiempo de 2.22 s.
-—
l i —
~
www
~
,
Mtsz/f f/'jrz z s ^ .*\w m
»
Sr Un tren que viaja inicialmente a 16 m /s se acelera constantemente a razón de 2 m /s2 en la
misma dirección. ¿Cuán lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final?
2NCP Se ordenan los datos y se despejan las incógnitas de las ecuaciones.
5QNWEKxP
Dados: vQ= 16 m/s
Encontrar: x = ?
a = 2 m/s2
vf = ?
t = 20 s
Al elegir la ecuación (3) de la tabla 6.1, ya que contiene x y no v , se obtiene
1 ,
x = vfít i— a t
= (16 m /s)(20 s) + | ( 2 m /s2)(20 s)2
= 320 m + 400 m = 720 m
La velocidad final se halla a partir de la ecuación (2):
Vf = v 0 + at
= 16 m /s + (2 m /s 2)(20 s) = 56.0 m /s
El tren recorre una distancia de 720 m y alcanza una velocidad de 56 m /s.
%QPXGPEKxPFGUKIPQUGP RTQDNGOCU GHDFHOHUDFLyQ
Los signos de aceleración (a), desplazamiento (x) y velocidad (v) son interdependientes, y
cada uno se determina por criterios distintos. Tal vez éste sea el aspecto que más confunde a
los alumnos principiantes. Siempre que cambia la dirección del movimiento, como cuando un
objeto es arrojado al aire o cuando se sujeta un objeto a un resorte que oscila, el signo correspondiente al desplazamiento y a la aceleración resulta particularmente difícil de visualizar. Es
útil recordar que sólo el signo de la velocidad se determina por la dirección del movimiento.
El del desplazamiento depende de la ubicación o la posición del objeto, en tanto que el de la
aceleración queda determinado por la fuerza que hace que la velocidad cambie.
Imagine una pelota de béisbol lanzada hacia arriba, como se indica en la figura 6.3. La
pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo una trayectoria descendente en la misma línea. Consideraremos el punto de lanzamiento como el de desplazamiento cero (y = 0). Ahora, el signo del desplazamiento será positivo en cualquier punto
ubicado arriba del lanzamiento y negativo en cualquier punto por debajo de él. Observe que no
importa si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo\ sólo su ubicación (la coordenada y de su posición) es la que determina el signo del desplazamiento. El valor de y podría ser
+1 m en su movimiento hacia arriba y +1 m en su movimiento hacia abajo. Su desplazamiento
se vuelve negativo sólo cuando la pelota se encuentra por debajo del punto de lanzamiento.