Conceptos básicos (II) Polinomios y fracciones algebaicas

Álgebra
IES Complutense
Tema 4. Operaciones con polinomios (II)
Resumen
Suma y resta de polinomios
Para sumar polinomios se suman o restan los términos semejantes, manteniéndose los
términos no semejantes.
Ejemplos: Para los polinomios: 4 x 3 + 5 x − 6 y 3 x 3 − 2 x 2 + 7 x :
a) 4 x 3 + 5 x − 6 + 3 x 3 − 2 x 2 + 7 x = 4 x 3 + 3x 3 − 2 x 2 + (5 x + 7 x ) − 6 = 7 x 3 − 2 x 2 + 12 x − 6 .
b) 4 x 3 + 5 x − 6 − 3 x 3 − 2 x 2 + 7 x = 4 x 3 − 3 x 3 − − 2 x 2 + (5 x − 7 x ) − 6 = x 3 + 2 x 2 − 2 x − 6 .
Observación: Es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos.
(
(
) (
) (
) (
) (
)
) (
)
Multiplicación de un polinomio por un monomio
Se multiplica cada término del polinomio por el monomio; para ello se utiliza la propiedad
distributiva del producto y las reglas de la potenciación.
(
) (
) (
) (
)
Ejemplo: 4 x 2 · 3 x 3 − 2 x + 7 = 4 x 2 ·3 x 3 + 4 x 2 ·(− 2 x ) + 4 x 2 ·7 = 12 x 5 − 8 x 3 + 28 x 2 .
Observación: Es imprescindible tener en cuenta las reglas de los signos.
Multiplicación de dos polinomios
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo:
“todos por todos”. Esto es, se aplica la propiedad distributiva del producto y las reglas de la
potenciación. Una vez realizados los productos deben agruparse los términos semejantes.
(
)
(
) (
)
)
Ejemplos: a) (5 x − 6 )· 2 x 2 − 3 x + 1 = (5 x )· 2 x 2 − 3 x + 1 − 6· 2 x 2 − 3 x + 1 =
= 5 x·2 x 2 + (5 x·(−3 x) ) + (5 x·1) − 6·2 x 2 − (6·(−3 x) ) − (6·1) =
= 10 x 3 − 15 x 2 + 5 x − 12 x 2 + 18 x − 6 = 10 x 3 − 27 x 2 + 23 x − 6
b) 4 x 3 + 5 x − 6 · − 2 x 2 + 7 x =
= 4 x 3 ·(−2 x 2 ) + 4 x 3 ·7 x + 5 x·(−2 x 2 ) + (5 x·7 x ) − 6·(−2 x 2 ) − (6·7 x ) =
= − 8 x 5 + 28 x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 + 12 x 2 − 42 x = − 8 x 5 + 28 x 4 − 10 x 3 + 47 x 2 − 42 x
Observación: Hay que observar las reglas de los signos, tanto al multiplicar como al agrupar.
(
(
)
(
)(
(
)
) (
) (
)
2
(
)
2
(a + b )(· a − b )
Productos notables: (a + b )
(a − b )
En todos los casos, multiplicando como dos polinomios se tendrá:
2
• (a + b ) = (a + b )(
· a + b ) = a·(a + b ) + b·(a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
(a − b )2 = (a − b )(· a − b ) = a·(a − b ) − b·(a − b ) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
• (a + b )(
· a − b ) = a·(a − b ) + b·(a − b ) = a 2 − ab + ba − b 2 = a 2 − b 2 .
2
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b )(· a − b ) = a 2 − b 2
Se tiene: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2
2
Ejemplos:
a) (3 x + 5) = (3 x ) + 2·3 x·5 + 5 2 = 9 x 2 + 30 x + 25 .
•
2
2
2
2
b) (x 2 + 3) = (x 2 ) + 2·x 2 ·3 + 3 2 = x 4 + 6 x 2 + 9 .
c) (4 x − 1) = (4 x ) − 2·4 x·1 + 12 = 16 x 2 − 8 x + 1 .
2
2
d) (5 − 2 x 2 ) = 5 2 − 2·5·2 x 2 + (2 x 2 ) = 25 − 20 x 2 + 4 x 4 .
2
e) (4 x + 3)(
· 4 x − 3) = (4 x ) − 32 = 16 x 2 − 9 .
(
)(
f) 2 + x 2 · 2 − x 2
2
)
2
( )
= 22 − x 2
= 4 − x4 .
Matemáticas 3º de ESO
Álgebra
IES Complutense
Operaciones con fracciones algebraicas
Las fracciones algebraicas son de la forma
P ( x)
; aquellas en las que el numerador y el
Q( x)
denominador son polinomios.
Se operan del mismo modo que las fracciones ordinarias.
a c ad ± cb
a
a ± cb
a c ac
a c ad
Recuerda:
± =
y ±c =
.
· =
y : =
b d
bd
b
b
b d bd
b d bc
(Hay que observar que son frecuentes los errores de signos y los errores en el (no) empleo de
paréntesis; por tanto, debe procederse con cuidado.)
Equivalencia:
a c
= ⇔ ad = bc . Para obtener fracciones equivalentes se
b d
multiplica o divide el numerador y el denominador por un mismo número distinto de 0.
A( x) C ( x)
Con fracciones algebraicas:
=
⇔ A( x)·D( x) = B ( x)·C ( x) . Para obtener fracciones
B( x) D ( x)
equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por una misma expresión
algebraica no nula. Esta propiedad permite simplificar fracciones algebraicas.
x
x( x − 1)
y
Ejemplo: a) Las fracciones algebraicas
son equivalentes. En la
x+2
( x + 2)( x − 1)
segunda se han multiplicado el numerador y el denominador por la expresión x − 1 .
6x 2 + 9
b) La fracción algebraica
puede simplificarse como sigue:
3x
6 x 2 + 9 3( 2 x 2 + 3) 2 x 2 + 3
=
=
→ Se ha dividido numerador y denominador por 3.
3x
3x
x
Con fracciones ordinarias:
Suma de fracciones algebraicas
A( x) C ( x) A( x)·D( x) ± C ( x )·B ( x)
A( x)
A( x ) ± C ( x)·B( x)
±
=
;
± C ( x) =
B( x) D( x)
B( x)·D( x )
B( x)
B( x)
2
2
x
4x
x + 4x
Ejemplos: a)
+
=
→ (Las fracciones tienen el mismo denominador.)
x +1 x +1
x +1
x2
2 x − 3 x 2 ·2 x − (2 x − 3)( x + 1) 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 3 x − 3 2 x 3 − 2 x 2 + x + 3
b)
−
=
=
=
.
x +1
2x
( x + 1)·2 x
2x 2 + 2x
2x 2 + 2x
Recuerda que un signo − delante de un paréntesis cambia los signos de todos los términos.
2x 2 − 4
2 x 2 − 4 + 3 x( x − 5) 2 x 2 − 4 + 3x 2 − 15 x 5 x 2 − 15 x − 4
c)
+ 3x =
=
=
x−5
x −5
x −5
x −5
(
)
Multiplicación y división de fracciones algebraicas:
A( x) C ( x) A( x)·C ( x )
A( x) C ( x) A( x)·D ( x)
·
=
;
:
=
B( x) D( x) B( x)·D ( x)
B( x) D( x) B( x)·C ( x )
Ejemplos: a)
b)
2x − 2 x 2
( 2 x − 2) x 2
2x3 − 2x 2
·
=
=
x 2 + 1 x − 1 ( x 2 + 1)( x − 1) x 3 − x 2 + x − 1
x 2 − 9 x + 3 ( x 2 − 9)·( 3 − x) ( x + 3)( x − 3)(3 − x)
( x − 3) 2
:
=
=
=−
2 x + 1 3 − x (2 x + 1)( x + 3)
(2 x + 1)( x + 3)
2x + 1
Matemáticas 3º de ESO