Conceptos básicos (II) Raíces

Álgebra
IES Complutense
Tema 3. Potencias y raíces (II)
Resumen
Raíz cuadrada: a = b , a > 0 ⇔ b 2 = a . Raíz cúbica:
3
a = b ⇔ b3 = a .
Ejemplos: a) 49 = 7 , pues 72 = 49; también 49 = −7 , pues igualmente (−7)2 = 49.
b) 3 8 = 2 , pues 23 = 8; 3 − 8 = −2 , pues (−2)3 = −8.
Raíz de índice n (raíz n-ésima). Se dice que la raíz enésima de un número a, y se escribe
es b, si b n = a . Esto es, n a = b , n∈ N ⇔ b n = a .
Al número a se llama radicando, a n índice y al conjunto
5
Ejemplos: a)
•
5
32 = 2 , pues 2 = 32.
a radical.
b) 16 = ±2 , pues (±2)4 = 16.
4
Las raíz de índice n puede expresarse como una potencia de exponente racional: n a = a1 / n .
( )
1/ 2 2
2
1
·2
3
1
3
( )
b)
5
34 = 34 / 5 .
c)
5
·3
32 = 5 2 5 = 2 5 / 5 = 21 = 2
Radicales equivalentes: simplificación
Dos radicales son equivalentes cuando valen lo mismo.
Ejemplos: a) 9 y 4 81 son radicales equivalentes, pues
•
= an/n = a .
⇔ a 2 = a 2 / 2 = a 1 = a ; y (a 1 / 3 ) = 3 a ⇔ a 3 = a 3 / 3 = a 1 = a
n
En general, si
es una fracción, se define a n / m = m a n .
m
Ejemplos: a) 5 2 / 3 = 3 5 2 .
b)
n
En particular, a 1 / 2 = a y a 1 / 3 = 3 a . Ambos expresiones son consistentes, pues:
(a ) = ( a )
•
a ,
n
Notación que resulta coherente, pues aplicando la definición se tiene que a 1 / n
•
n
4
25 y
5 son radicales equivalentes o iguales, pues
4
9 = ±3 y
2
4
25 = 4 5 = 5
81 = ±3 .
2/4
= 51 / 2 = 5 .
En general, para obtener un radical equivalente a otro basta con multiplicar (o dividir) el
índice y el exponente del radicando por el mismo número. Así,
n
m
a es equivalente a
pn
a pm ,
p·m
pn
ya que n a m = a m/n = a p ·n = a pm .
Este proceso realizado de derecha a izquierda nos permite simplificar radicales.
Ejemplo: Los siguientes radicales son iguales:
12
3 6 = 6 33 = 3 . El más simple es el último.
Operaciones con radicales
En general las operaciones con radicales no pueden realizarse, salvo con calculadora.
Ejemplos: a) Las siguientes operaciones no pueden hacerse: 1) 2 + 3 ; 2) 3 − 5 .
b) Las siguientes operaciones pueden simplificarse como sigue:
2
( )
(
)( )
1) 3 2 + 4 2 = 7 2 2) 5 · 5 = 5 = 5 3) 15 3 : 5 3 = (15 : 5) = 3
Para operar con radicales hay que tener en cuenta las siguientes propiedades básicas:
Producto de radicales:
n
a · n b = a 1 / n ·b1 / n = (a·b)1 / n = n a·b .
En particular, para raíces cuadradas: a·b = a · b .
Ejemplos:
a) 36·81 = 36 · 81 = 6·9 = 54 . La primera raíz se ha calculado con cierta facilidad.
Matemáticas 3º de ESO
Álgebra
b)
b)
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3· 27 = 3·27 = 81 = 9 . El producto de raíces ha podido realizarse.
72 = 36·2 = 36 · 2 = 6 2 . En este caso se ha extraído el factor 6 de la raíz.
Potencia de un radical:
Ejemplos:
72 = 7 ;
a)
b)
4
( 2)
3
=
3
2
( 11)
24 = 3
( a)
m
n
=
4
( 3) =
16 ; ( 5 ) =
= 11 ;
3
n
Cociente de radicales:
n
a m . En particular:
n
a
3
=n
( a)
n
n
=
n
an = a .
3 4 = 3 4 / 2 = 32 = 9 .
3
53 = 5 3 / 3 = 5 .
a
. En particular, para raíces cuadradas:
b
b
50
50
50
50
Ejemplos: a)
=
= 5.
b)
=
= 25 = 5 .
10
2
10
2
En ambos casos se ha conseguido un resultado simple.
a
b
=
a
.
b
La suma y resta de radicales sólo puede “hacerse” cuando son radicales semejantes. Alguna
vez los radicales pueden hacerse semejantes, extrayendo o introduciendo factores en la raíz.
Para raíces cuadradas, la introducción o extracción de factores se hace como sigue:
•
a· b = a 2 ·b . Para introducir un factor se eleva al cuadrado.
Introducción:
Ejemplos: a) 2· 3 = 2 2 ·3 = 12 .
b) 4· 5 = 4 2 ·5 = 80 .
Extracción: Si N = A·b , entonces N = A·b = A· b = a· b , supuesto que A = a .
Ejemplos: a) 500 = 100·5 = 100 · 5 = 10· 5 . b) 98 = 49·2 = 49 · 2 = 7 2 .
•
• Para sumar o restar radicales deben ser equivalentes (los que tienen el mismo índice y el
mismo radicando).
Ejemplos:
a) 8 5 − 3 5 + 2 5 = (8 − 3 + 2 )· 5 . Ha bastado con sumar (sacando factor común).
b) La operación 8 2 + 3 32 − 98 no puede hacerse inicialmente; pero operando dentro de
los radicales pueden extraerse factores y hacer que los radicales sean semejantes, para después
sumar o restar. Así:
8 2 + 3 32 − 98 = 8 2 + 3 16·2 − 49·2 = 8 2 + 3· 16 · 2 − 49 · 2 =
= 8 2 + 3·4· 2 − 7· 2 = 8 2 + 12 2 − 7 2 = (8 + 12 − 7 )· 2 = 13 2 .
Operaciones combinadas
Para realizar operaciones combinadas hay que tener en cuenta tanto las propiedades de los
radicales como las de las operaciones ordinarias, cuidando los signos y la prioridad de las
operaciones.
Ejemplos:
a) 3( 2 − 5 ) = 3·2 − 3· 5 = 6 − 3 5 .
b) ( 3 − 1)(2 2 + 5) = 2· 3· 2 + 5· 3 − 2 2 − 5 = 2 6 + 5 3 − 2 2 − 5 .
2
2
(
) = (3 2 ) − 2·3 2 ·2 + 2 = 9·2 − 12
d) (3 − 6 )(3 + 6 ) = 3 − ( 6 ) = 9 − 6 = 3 .
c) 3 2 − 2
2
2
2 + 4 = 22 − 12 2 .
2
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