Tema 4. Fracciones (I) Resumen

2º de ESO
IES Complutense
Tema 4. Fracciones (I)
Resumen
Una fracción suele considerase como “la parte de un todo” que ha
3
sido dividido en porciones iguales. Así, indica que se toman 3
5
trozos de algo que se dividido en 5 trozos iguales. Es la parte coloreada en la figura.
El número de arriba se llama numerador e indica el número de partes que se toman; el número
de abajo se llama denominador, e indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
•
Para otras interpretaciones, véase, en esta web, los Conceptos Básicos del Tema 7 de 1º de ESO.
2 6
= .
5 15
Para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar o
dividir el numerador y denominador de la fracción dada por un mismo
a a·n a : n
número distinto de cero. Esto es:
=
=
b b·n b : n
Simplificar una fracción consiste en igualarla con otra cuyos términos
sean más sencillos. Para ello se dividen los dos términos entre el mismo número. Una fracción
que no se puede simplificar se llama irreducible.
24  24 : 2  12  12 : 6  2
375
15
3
Ejemplos: a)
b)
= [: 25] =
= [: 5] = .
=
=
=
=
1000
40
8
36  36 : 2  18  18 : 6  3
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo. Así,
Reducción de dos o más fracciones a común denominador
Para reducir fracciones a común denominador se halla un número que sea múltiplo de los
denominadores; a continuación se buscan fracciones equivalentes a las dadas pero con ese
denominador común.
Un denominador común se obtiene multiplicando los denominadores de todas las fracciones.
• Aunque sea más costoso, se prefiere hallar fracciones con el menor denominador común,
que se obtiene calculado el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3
7
Ejemplo: Dadas las fracciones y
, las equivalentes a ellas con el mismo denominador
8 12
3·12
7·8
36 56
son, respectivamente,
y
. Esto es:
y
.
8·12 12·8
96 96
• Si optamos por hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores, mcm(8, 12) = 24,
3·3
7·2
9
14
las fracciones obtenidas serán:
y
. Esto es:
y
. (Como el denominador 8 se
8·3 12·2
24 24
multiplica por 3, 24 = 8 · 3, también debe multiplicarse por 3 el numerador correspondiente.
Igualmente, como el denominador 12 se ha multiplicado por 2, 24 = 12 · 2, también su
numerador, 7, debe multiplicarse por 2.)
Suma y resta de fracciones
• Si las fracciones tienen el mismo denominador: la fracción suma o resta es la que tiene por
numerador la suma o resta de los numeradores y por denominador el común.
4 7 8 4−7+8 5 1
4 5 12 4 + 5 − 12 − 3
1
Ejemplo: a)
− +
=
b) + −
=
=
=
= .
=−
15 15 15
15
15 3
9 9 9
9
9
3
• Si las fracciones tienen distinto denominador: se reducen a común denominador y se
procede como antes.
13 5 52 15 52 + 15 67
7 4 21 20 21 − 20 1
Ejemplo: a)
+
=
+
=
=
. b)
− =
−
=
=
9 12 36 36
36
36
15 9 45 45
45
45
Matemáticas 2º de ESO
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Suma o resta de números enteros y fracciones
Si escribimos el número como una fracción con denominador 1, la operación se reduce a
alguna de las anteriores. También puede aplicarse directamente las fórmulas:
c ad ± c
a
a ± cb
;
a± =
±c =
d
d
b
b
4 3 4 3·15 + 4 49
3 4 3 4·7 − 3 25
Ejemplos:
a) 3 +
= +
=
b) 4 − = − =
=
=
15 1 15
15
15
7 1 7
7
7
4
4 2 4 + 2·7 18
3
3 5 3 − 5·8 − 37
a) + 2 = + =
b) − 5 = − =
=
=
7
7 1
7
7
8
8 1
8
8
Multiplicación de fracciones
La fracción resultante tiene como numerador el producto de los numeradores y como
a c a·c
denominador, el producto de los denominadores. Esto es: · =
b d b·d
4 (−5) 4·(−5) − 20
5
5 3
5·3
15 1
Ejemplo:
a) ·
=
=
=−
b) · =
=
=
7 12
7·12
84
21
12 10 12·10 120 8
Multiplicación de un número entero por una fracción
La fracción resultante tiene como numerador el producto del número por el numerador; el
c a·c
a
a·c
y ·c =
denominador será el mismo. Esto es: a· =
d
d
b
b
5 7·5 35
3
3·6 18 9
Ejemplos:
a) 7· =
=
.
b) ·6 =
=
=
11 11 11
14
14 14 7
División de fracciones
La fracción resultante tiene como numerador el producto del numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y como denominador, el producto del denominador de la primera
a c a·d
por el numerador de la segunda. Esto es, sus términos se multiplican en cruz → : =
b d b·c
6 3 6·9 54 18
3  6  3 ( − 6)
3·7
21
7
Ejemplos: a) : =
=
=
b)
: −  = :
=
=
=−
7 9 7·3 21 7
11  7  11 7
11·(−6) − 66
22
División de un número entero por una fracción y de una fracción por un número entero
Escribiendo el número entero como una fracción con denominador 1 la operación se hace
c a c a·d
a
a c
a
como se ha indicado en general. Esto es: a : = : =
;
:c = : =
d 1 d
c
b
b 1 b·c
5 4 5 28
3
3 ( − 2)
3
3
3
Ejemplos: a) 4 : = : =
.
b) : (−2) = :
=
=
=−
7 1 7 5
8
8 1
8·(−2) − 16
16
Prioridad de operaciones y uso de paréntesis
Cuando las operaciones aparecen combinadas, primero se resuelven los paréntesis, después
las multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas.
9  2 5   3 1  9  6 5   15 4  9 1 19
9
19
Ejemplos: a)
=
−  − · +  =
−  − · +  =
− · =
−
20  3 9   4 5  20  9 9   20 20  20 9 20 20 180
81 19
62 31
=
−
=
=
180 180 180 90
36 − 21
7
 2 5  3 1  6 5  3 1 1 3 1 3 1 15
b)  − · − =  − · − = · − =
− =
−
=
=−
60
 3 9  4 5  9 9  4 5 9 4 5 36 5 180 180 180
Matemáticas 2º de ESO