C) Axioma de la Independencia

Programa:
UNIDAD 9: INCETIDUMBRE Y RIESGO Y CONCEPTOS DELA TEORIA DE LOS JUEGOS.
Distinción. Axiomas de von Neumann y Morgenstern. La utilidad esperada. Funciones cóncavas
y convexas de utilidad. El seguro y el juego. La masximización de la utilidad esperada en la teoría del
consumidor y de la empresa. Comparación con modelos de certeza. Juegos cooperativos y no
cooperativos en forma estratégica. Conceptos de solucion. Extensiones: apliaciones
microeconomicas.
Bibliografía:
UNIDAD 8: RIESGO E INCERTIDUMBRE Y CONCEPTOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS.
Parkin, M. Microeconmía Cap. 13 Competencia monopolística y oligopolio. Cap. 17 Incertidumbre e
información.
Varian H. Microecoonomía intermedia. Cap. 12 La incertidumbre. Cap. 27 La teoría de los juegos.
Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 3 Temas sobre la teoría de la conducta del
consumidor: puntos 3-8 EL problema de la eleccion en situacion con riesgo. Los axiomas. Utilidad
esperada. Cap. 5 Temas sobre la teoría de la empresa: punto 5-5 Producción en un contexto de
incertidumbre. Cap. 6 El equilibrio del mercado: punto 6-10 Los mercados de futuros. Cap. 8
Duoplio, oligopolio y monopolio bilateral: punto 8-4 Teoría de los juegos.
Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 4 El análisis de la incertidumbre basado en la utilidad.
Baumol W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 17 Utilidad cardinal de NeumannMorgenstern. Cap. 18 teoría del juego. Cap. 19 Teoría de los acuerdos.
Gibbons, R. Un primer curso de teoría delos juegos. Cap. 1 y 2
Bibliografía complementaria.
Stigler G. y Boulding K. Ensayos sobre la teoría de los precios. Cap. 3.
Friedman, Milton y Savage, L. Estudio de las elecciones que implican un riesgo, a la luz de la teoría
de la utilidad.
Dorfman R, Samuelson P y Solow R. Programación lineal y análisis económico. Cap. 15 Elementos
de la teoría de los juegos.
Ejercicios resueltos.
Dieguez H. yPorto A. Problemas de microeconomía. Problema 42 Elecciones en situación de riesgo
(I) Problema 43 Elección en situaciones de riesgo (II).
RIESGO E INCERTIDUMBRE
EL enfoque de Neumann y Morgenstern (N-M) se centra en la conducta del consumidor en situaciones de
riesgo o de incetidumbre. Las normas de razonamientos -axiomas- se aplican a situaciones de riesto cuando se pueden cuantificar las posibilidades de éxito o fracaso, evaluarlas- o bien a situacion de
incertidumbre -aquellas en las cuales no se conocen ni se pueden calcular esas probabilidades y existe
ignorancia absoluta sobre una posible contingencia; como si no hubiera oponente-
I ) RIESGO
Ya hemos visto en oligopolios la alternativa de la teoría de los juegos de suma cero o no cero,
cooperativos o no. El jugador determina el peor resultado posible de cada acción del oponente y elige la
acción cuyo peor resultado sea lo mejor para él (regla minimax, maximim, Bayer, Saavage, etc. según
W. Baumol en TEyAO)
Otro ejemplo:
TEORÍA DE LOS JUEGOS COOPERATIVOS: Solución según Nash. Explicación conceptual y gráfica
para la siguiente matriz con los beneficios de 2 empresas duopólicas.
(200;250)
(150;950)
(100;200)
(800;800)
Juegos cooperativos. Solución de Nash.
Un juego de suma 0, puede tener solución o puede no tenerla.
Cuando no tiene solución hay múltiples cambios pero nunca se llega
a un equilibrio. Una solución alternativa es el empleo de estrategias
mixtas (los jugadores eligen sus estrategias al azar sobre unas
probabilidades que el mismo selecciona). Esa estrategia tiene un
índice de utilidad esperada para cada posible respuesta del otro
jugador. Las posibilidades de las distintas estrategias mixtas dan
diferente niveles de seguridad máxima para el jugador. El jugador
busca el nivel de seguridad mas alto posible. Si A pone en juego esta
estrategia óptima, lo mejor que B puede hacer es seleccionar otra
estrategia óptima que no eleve las ganancias de A sobre su máximo
nivel de seguridad.
Si ambos jugadores emplean sus estrategias mixtas óptimas, el
piso mas alto de A, será el igual al techo mas bajo que B puede
ponerle a las ganancias de A.
Siempre existirán dos estrategias mixtas que constituyen el par
de equilibrio. La ganancia de A (de seleccionar los dos la estrategia
mixta), será el valor L y de no seleccionar A su estrategia mixta, será
menor.
En los problemas de suma constante el comportamiento de los
jugadores no tiene resultados en la suma de sus compensaciones (lo
que gana uno lo pierde el otro). Por lo tanto no hay lugar a la
cooperación o colusión (entendimiento mutuo). Los problemas
económicos de la realidad suelen ser de variedad de suma no
constante. En el caso del duopolio, los dos productores tendrán el
máximo beneficio conjunto si actúan como un cartel.
Es de dudar que los jugadores resulten ser verdaderamente tan
racionales que pueda solucionarse la división aceptable de lo que está
en juego. El criterio de Nash, afirma que la combinación correcta es
estrategias es la que haga máximo el producto de U1 y U2.
Duopolista 2.
Duopolista 1.
Líder.
Seguidor.
Lider.
(200, 250).
(1000, 200).
Seguidor.
(150, 950)
(800, 800).
Se obtiene el mejor resultado cuando es lider y el competidor es
seguidor. Por eso los dos van a tener incentivos de ser lider;
quedándose ambos con un beneficio reducido (200, 250). La solución
de ambos seguidores asegura un alto beneficio para A y para B, pero
no es una solución estable. Si A piensa que B va a ser seguidor, será
lider.
No hay una solución estable (que luego de producida ninguno
tenga incentivos para cambiar de actitud), excepto la de los dos lider
(200, 250) con baja compensación para ambos.
A, b, c y d son los cuatro beneficios obtenidos en las
estrategias puras, medidos en utilidad esperada (N-M).
Cada punto del plano representa una combinación de
estrategias mixtas, (una de A y una de B) que genera distintos índices
de utilidad esperada para las dos empresas. Si los duopolistas no
consiguen ponerse de acuerdo cada uno puede amenazar al otro con
vender su output a un precio rebajado obteniendo un beneficio
garantizado. Estos beneficios son las coordenadas del punto t.
El cuadrilátero abcd es la región factible para negociar.
W= (U1- U1’) * (U2 – U2’).
Deberán ponerse de acuerdo en las estrategias que maximizan w.
c
e.
u2’.
b
t.
d
u1’.
a
u1.
Solución,
B ambos seguidores.
C a seguidor y b lider.
La estrategia de A será pura (seguidor).
La de b, mixta. La probabilidad de ser lider es ec/bc y la
de ser seguidor eb/ cb.
2) TEORÍA DE LOS JUEGOS: Solución según Nash.
La teoría de los juegos estrictamente competitivos no es completamente satisfactoria como
explicación del comportamiento oligopolista. Los intereses de los oligopolistas no siempre son opuestos y
su comportamiento se caracteriza por una combinación de elementos competitivos y cooperativos.
A través de los juegos de suma no cero (no constante) se pueden conseguir resultados preferidos.
En el ejemplo tenemos un mercado en el que cada duopolista tiene dos estrategias:
1) Declararse líder y producir una cantidad de output relativamente grande ó 2) declararse seguidor y producir una cantidad de output relativamente pequeña.
Observando el ejemplo se obtiene mejor resultado cuando uno es líder y el competidor es seguidor
Y el peor resultado cuando ocurre lo contrario. Si los dos fueran lideres ó los 2 seguidores se
comportarán no cooperativamente y no podrán comerciar en el mercado.
Según Nash si A, B, C y D son los cuatro beneficios que se pueden obtener, suponiendo que se
Pueden emplear estrategias mixtas, la región factible viene dada por el cuadrilátero ABCD. En la
Negociación hay que escoger un punto de dicho conjunto.
T es la estrategia de amenaza y ningún duopolista está dispuesto a aceptar un beneficio menor.
El objetivo de la solución cooperativa es seleccionar un punto al nordeste de T, en la frontera de
La región factible. Según Nash los duopolistas deben ponerse de acuerdo en aquellas estrategias
Que maximizan la función de utilidad. Intentarán buscar la curva más alta de isobeneficio: el
punto
E (Solución de Nash).
C
XE
T
B
D
A
II)
TEORÍA INCERTIDUMBRE:
El esquema de la utilidad N-M satisface varios principios de comportamiento lógico y coherente, o
axiomas cruciales: de orden completo, de la continuidad, de la independencia, de la probabilidad desigual
y de la complejidad. El individuo puede así obtener su función de "utilidad esperada", enfrentándose con
una serie de elecciones entre un gasto cierto por un lado y una combinación probabiliística de dos gastos
inciertos por el otro.
La función de utilidad así obtenida es única, incluyendo transformaciones lineales y proporciona un orden
de alternativas para estas situaciones que no implican riesto sino en este caso incertidumbre. Los
consumidores maximizan la utilidad esperada (UE) según N-M; estas UE son cardinales, en el sentido
de que pueden conbinarle para calcular las utilidades esperadas y comparar las difrencias de utilidad.
No funciona aquí la regla minimax, maximim, etc. ya que no hay aquí oponente activo con intereses
contrarios; solo contingencias que pueden o no ocurrir según la evolución de la naturaleza o cosas.
Ejercicio: a) Axiomas b) En cual acción invertirá un inversor si compra Acciones A
Puede ganar $420,00 ó perder $110,00 (sin término medio). Si compra Acciones B puede ganar
$650,00 ó perder $300. Las probabilidades de ganar con A y B son iguales P=0,5 y no puede dividir
su inversión entre ambas. c) Cuál probabilidad de ganar deberá tener para estar indeciso entre A y B
Utilidad Cardinal Neumann- Morgestern.
Medida de utilidad cardinal para la clasificación de situaciones que
comportan riesgo.
Un billete de lotería puede calificarse con un índice de utilidad,
mediante el cálculo N- M de la siguiente manera.
Si el individuo gana el premio el billete ofrece un premio A con una
utilidad para el individuo de U(A) y de perder, el premio B con
utilidad U(B). Las probabilidades de ganar son P y las de perder 1-p.
De esta manera la utilidad del billete es,
U = P* U(A) + (1-P)* U(b).
Creando un billete de utilidad artificial que brinde como premio el
bien que mas desee el individuo E y que de perder, le asigne el bien
d, con probabilidades p y (1-p) de ganar y perder, existirá siempre un
valor de p mayor a 0 y menor a 1, para el cual el individuo se sienta
indiferente entre el billete de lotería artificial y el bien A. Calculando
la utilidad esperada del billete artificial puede calcularse la de un
bien A cualquiera.
El individuo, cuando se le presentan dos situaciones con riesgo
y probabilidades, elegirá la opción que le de mayor utilidad esperada
siempre y cuando cumpla con algunos supuestos de conducta.
5 Supuestos.
1- Transitividad. Si el individuo se muestra indiferente entre dos
premios a y b, entre b y c, entonces es indiferente entre a y c.
2- Continuidad de las preferencias como una función de p. Es
posible establecer un valor intermedio de probabilidades para el
cual el individuo sea indiferente entre el billete artificial y un bien
a.
3- Independencia. Si el individuo se muestra indiferente entre un
Ford y un Chevrolet, será indiferente entre dos billetes de lotería
identicos en todos los sentidos, excepto que uno brinde como
premio un ford y el otro un chevrolet.
4- Deseo de grandes probabilidades de éxito. Dados dos billetes de
lotería idénticos el individuo prefiere el que tenga mayores
probabilidades de ganar.
5- Probabilidades compuestas. Si a la persona se le ofrece un billete
de lotería cuyos premios son a la vez, otros billetes de lotería, su
actitud respecto a este billete de lotería compuesta será la misma
cual si hubiese pasado por todos los cálculos de probabilidades de
ganar el premio final.
Validez de la predicción.
Dado el billete de lotería que ofrece los premios A y B (A es
preferido a B), con las probabilidades p de ganar y 1-p de perder,
U(P, A, B) = PU (A) + (1-P) * U(B).
Por el axioma 2,
=P* U(Pa, E, D) + (1-P) *U(Pb, E, D).
Por el axioma 5,
= P* (Pa* U(E) + (1-Pa)* U(D)) + (1-P) (Pb* U(E) + (1Pb)*U(D)).
= (P*Pa + (1- p)* Pb)* U(E) + (P* (1-Pa) +( 1-p)* (1-Pb))* U(D).
= (p*pa + (1-p)*pb) * U(E) + (1 – P*Pa- (1-p)* Pb)* U(d).
= r* U(E) + (1-r)* U(D).
Dado un billete de lotería (P’, A’, B’), su utilidad es,
U= r’* U(E) +(1-r’)* U(d).
El primer billete de lotería tendrá un número de utilidad mas
alto solo si r es mayor a r’. Por el supuesto de altas probabilidades de
éxito de ser iguales los billetes, va a preferir el de probabilidad mas
alta.
2) aTEORIA DE LA INCERTIDUMBRE: Axiomas.
A) Axioma de orden ó de transitividad.
Si A y B son distintos y B y D son distintos, entonces A es distinto de D
B) Axioma de la continuidad
Si el suceso S es preferible al A cuando la probabilidad p=1 y si A es preferible a S
cuando
La probabilidad p=0. Surgirá un valor intermedio de p para el cual S(p) y A son distintos.
C) Axioma de la Independencia
Si el individuo es indiferente entre un Fiat y un Ford, será indiferente entre 2 billetes de
loteRía que premien con un Fiat y un Ford indistintamente.
D) Probabilidades iguales ó deseos de probabilidades de éxitos.
Dados dos billetes de lotería con igual premio, el individuo preferirá el billete de lotería
con
más alta probabilidad de éxito.
E) Axioma de la Lotería compuesta.
Si se ofrecen billetes de lotería cuyos premios son otros billetes de lotería, su actutud
hacia
Los mismos será como si hubiera hecho todos los cálculos de probabilidades para enconttrar las últimas probabilidades de ganar ó perder pero que tengan los primeros billetes de
Lotería.
b)
Ganancia de A
$ 420
($ 110)
Probab(A)
Ganancia de B
0,50
0,50
$ 650
($ 300)
Probab(B)
0,50
0,50
Ut. Esperada A = 420 * (0,50) + (110) * 0,50 = $155
Ut. Esperada B= 650 * (0,50) + (300) * 0,50 = $175 Invertirá en B.
c)
igualo ut. Esperada  u(a) + u(b) = 420p – 110(1-p) = 650p –300 (1-p)
420p + 110 (–110p) = 650p + 300(-300p)
420p +110p - 650p –300p = 300 + 110
p= 0,45
1-p= 0,55
Ej.: Si Teresa compra acciones A puede ganar $ 420 en una semana, o perder $110, sin términos
medios.
Si compra acciones B puede ganar $650 o perder $300 en ese lapso
Sabe que las probabilidades de ganar en A y en B son iguales
La probabilidad de ganar es 0,5
1) en cual decide invertir?
2) cuales probabilidades de ganar requerirá para estar indeciso entre A y B ?
1)
Ganancia
420
-110
Pa
0,5
0,5
Ganancia
650
-300
Pb
0,5
0,5
Utilidad esperada: UEa = 420 (0,5) + (-110) (0,5) = 155
UEb = 650 (0,5) + (-300) (0,5) = 175
Por consiguiente decidirá invertir en acciones B.-
2)
Igulando las utilidades esperadas
UEa = Ueb
420 p -110 (1-p) = 650 p -300 (1-p)
420 p + 110 p - 110 = 650 p + 300 p - 300
420 p + 110 p -650 p -300 p = -300 + 110
- 420 p = -190
p = 0,45 con 1-p = 0,55
Es decir que estará indeciso entre A y B si la probabilidad de ganar es 45% y la de perder 55%
Ejemplo:
Andrés acepta un juego para ganar $1000 si la probabilidad de gnar es 0,6. Logra así una utilidad de 100
unidades. Cuánta utilidad pierde si no gana el juego?
La Utilidad Esperada de ganar es 0,6 (100 u.)
La Utilidad Esperada de perder es 0,4 (Ut.de pérdida)
Igualándolas y despejando:
0,6 (100 u.) = 0,4 (Ut.pérdida)
Ut.pérdida = 0,6 (100 u.) / 0,4
= 150 u.
Por consiguiente, si gana $1000 obtiene una UE de 100 u. Y si pierte $1000 obtiene una UE de 150u; es
decir que según su idea de utilidad es una individuo "asegurador" ( baja su Utilidad Marginal del dinero)
Ejercicio:
La función de utilidad esperada de Luís es: U = 10 + 2M
siendo M la ganancia monetaria
Tiene la oportunidad de invertir $25 en la firma XX, con 0,5 de probabilidad de perdir todo y 0,5 de
probabilidad de ganar $32.
a) utilidad esperada si invierte ?
b) Debe invertir ?
a) Si no invierte la utilidad esperada de $0 será
U(0) = 10 + 2 (0) = $10
La utilidad esperada de perder la inversión es:
U(-25) = 10 + 2 (-25) = $-40
La utilidad esperada de ganar con la inversión es:
U(32) = 10 + 2 (32) = $74
Por consiguiente, su Utilidad Esperada si invierte es:
b)
0,5 (-40) + 0,5 (74) = $17
Si no invierte gana $10. Si invierte gana $17. Entonces, le conviene invertir.
Ejemplo del Seguro contra incendio:
Supóngase un individuo con $1000 en una propiedad, que puede perder en caso de incencio $ 750 y
quedarle el valor del terreno por $250. Puede contratar un seguro a un costo del 33% (premio de 1/3),
pero la suma asegurada dependerá de su adversión o aficción al riesgo (su Etilidad Esperada)
Llamando X a la situación si no hay incendio e Y a la situacion con incendio, es posible representar sus
posibilidades de elección, analítica y gráficamente:
F=suma
Asegurada
Costo del
Seguro
X= haber final
sin incendio
Y= haber final
con incendio
0
100
200
300
400
500
750
0.0
33.3
66.6
100.3
133.3
166.6
250.0
1000.0
966.6
933.3
900.0
866.6
833.3
750.0
250.0
316.6
383.3
450.0
516.6
583.3
750.0
Cálculos
250 + 100 -33.3 = 316.6
250 + 200 - 66 = 383.3
250 + 300 - 100 = 450
250 + 400 -133.3 = 516.6
250 + 500 - 166.6 = 583.3
250 + 750 - 250 = 750
1) Caso de no incendio: X = $1000 - 1/3 F
2) Caso de incendio:
Y = $1000 - 750 - 1/3 F + F
(valor - pérdida incencio - costo seguro + monto seguro)
Despejando en 1)
X - 1000 = 1/3 F
Reemplazando en 2)
F = - 3X + 3000
Y = 1000 - 750 - 1/3 ( - 3X + 3000) + ( - 3X + 3000)
Y = 250 + X - 1000 - 3X + 3000
Y = 2250 - 2 X
ecuación lineal que relaciona la cantidad haber en
caso de incencio con la cantidad en caso sin incendio.
Se puede graficar como una recta de presupuesto del esquema paretiano, y con una fución de
Utilidad Esperada del individuo (curva de indiferencia) que indica la utilidad de un suceso por la
probabilidad de su ocurrencia si su conducta se rige por los cinco axiomas de von Neuman y O.
Morgenstern pero muestra determinadas preferencias por el riesgo.
Solamente tiene $1000 si corre el riesgo del posible incendio.
Pero si es neutral al riesgo tienen solamente $750.
La ordenada paretiana indica el caso Y=incencio; la abscisa el caso X=noincendio; la recta de
presupuesto es la ecuación lineal precedente ( con extremos X= 1125 e Y=2250); y las curvas de
indiferencia indican su mapa de utilidad esperada.
Este individuo neutral al riesgo maximiza su UE en el punto de tangencia de la curva mas alejada y la
recta indicada, con coordenadas X=750 e Y=750; su consumo contingente o demanda de seguros según
la utilidad esperada N-M es :
EU = p ( caso 1) + (1 - p) (caso 2) = 750
Y incendio
2250
750
E
UE = p (1) + (1 - p) (2) = 750 del individuo "neutral" al riesgo
750
SER
1125
X no incendio