Completando el cuadrado (Guia Estudiante)

Alianza para el Aprendizaje de ciencias y Matemáticas
Completando el cuadrado
Guía del estudiante
Analiza la siguiente situación:
Desde el suelo, se lanza verticalmente hacia arriba un cohete de juguete. La velocidad
inicial es 120 pies/seg., y la única fuerza que actúa es la gravedad. En estas
condiciones, la altura sobre el suelo, h (en pies), del cohete, al transcurrir t segundos,
2
está expresada por h  16t  120t pies.
a) Construye una tabla con las alturas correspondientes a los primeros 7 segundos.
b) De acuerdo con la tabla, ¿en qué momentos el cohete estará a 180 pies del suelo?
c) Si quieres hallar el número exacto en segundos cuando el cohete esté a 180 pies
del suelo, ¿cómo lo harías?
Parte I
1. En cada diagrama, completa el cuadrado, identifica cada región dentro del cuadrado y
escribe dos expresiones para hallar el área del cuadrado.
b.
a
1
x
3.
1
x
32
3
1
1
c
x.
x
1
1
1
1
1
1
x
x
x2
x
4
x
2. Determina las dimensiones del cuadrado y escribe dos expresiones para el área del
cuadrado.
Parte II
1.
Observa y analiza las siguientes ecuaciones:
2
2
a) x  9
b) b  5
2
2
c) (c  3)  16
d) (d  4)  18
¿Qué tienen en común? ¿Qué tienen diferente?
Construye un diagrama para representar cada una. Describe cada uno.
Escribe al menos un enunciado lingüístico para representar cada ecuación.
2.
¿Cómo resolverías cada una de las ecuaciones anteriores?
Una posible manera sería usar un proceso similar al que se usa al resolver una
ecuación lineal.
Ejemplo:
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5 
Resta 5 en ambos lados para deshacer la
suma.
2x 6

Divide entre 2 para deshacer la multiplicación y despejar
2
2
para x.
x=3
Considera la ecuación
2
x  9.
¿Qué operación me permite despejar para x? Explica.
3.
Desarrolla y explica el proceso para resolver las ecuaciones del paso # 1.
2
( 2t  3 )  12 . Justifica cada paso.
Resuelve:
Ejercicio: Usando el método anterior, resuelve las ecuaciones del paso # 1.
Ejercicio # I
1.
Escribe en tus propias palabras el proceso para resolver ecuaciones de la forma:
2
a) x  d , d es un número positivo
2
b) (x  a)  d , d es un número positivo
2.
¿Qué condiciones deben existir para aplicar el proceso?
3.
¿Puedes mencionar un ejemplo de ecuación en el cual no se pueda usar el proceso
anterior para resolverla? Explica.
4.
Resuelve las ecuaciones siguiendo el proceso.
2
a) b  64
2
b) 27  h
2
e) 18  (2x  5)
2
2
2
c) (1  x)  25
f ) b  6b  9
d) 2(a  3)  16
2
g) x  8x  9
5.
¿Será posible construir un cuadrado cuya área sea 5 pulgadas cuadradas? Explica.
6.
En los diagramas que siguen, halla el valor de x.
1
x
a.
b.
x
-1 -1
x
= 36
1
x
= 18
-1
-1
7. Un lado de un cuadrado mide 2 cm menos que el triple del largo de un rectángulo. El
área del cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el largo del rectángulo?
Parte III
1.
Parea cada polinomio con el diagrama que corresponda.
2
2
a) (x  1)
2
2. (x  1)
x
-1 -1
x
x
b.
a.
-1
2
3. (x  2)
4. (x  2)
x
-1
1
c. x
x
1
-1
-1
x
1
1
x
x
e.
d.
1
1
1 1
x
-1
a. ¿Cómo describes cada expresión algebraica?
b. ¿Cómo describes cada diagrama pareado con las expresiones algebraicas?
c. Describe el patrón entre las expresiones algebraicas y los diagramas.
2. Efectúa las operaciones en cada expresión:
2
b. (a  8)
2
d. (b  6)
a. (x  5)
c. (c  7)
2
2
2
e. ¿Cómo se efectúan las operaciones en una expresión de la forma (x  m) ?
f. ¿Qué características tiene el resultado?
2
3. La expresión que se obtiene al expandir una expresión de la forma (x  m) se conoce
como un trinomio cuadrado perfecto.
a. ¿Qué características tiene un trinomio cuadrado perfecto?
b. ¿Cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos? Justifica tu
respuesta.
1.
2
x  10x  25
2
3. b  8b  25
9
2
5. x  3x 
4
2
2. a  6a  9
4.
2
x  12x  27
2
6. 4x  12x  9
2
c. Usando los manipulativos, completa el cuadrado para la expresión x  6x .
Ilustra paso a paso, cómo se representa el proceso.
d. Determina el término que falta para que el trinomio sea cuadrado perfecto.
1.
2
x  6x  ___
2
3. c  ___  25
2
5. b  b  ___
2
2.
x  12x  ___
4.
x  5x  ___
2
2
6. p  2 2p  ___
Parte IV
1. En la parte II, se estableció cómo resolver una ecuación de la forma
2
x d
2
(x  m)  d . En la parte III, vimos cómo obtener un trinomio cuadrado
ó
2
2
2
perfecto, esto es, un trinomio de la forma x  2mx  m  (x  m) . En esta parte,
vamos a ver cómo resolver una ecuación cuadrática en la cual haya que crear un
trinomio cuadrado perfecto. Este método de resolver una ecuación cuadrática se llama
completar el cuadrado.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones usando el método de completar el cuadrado y
justifica cada paso.
2
b) x  6x  8  0
2
2
d) x  12x  4  0
a) x  6x  0
c)
2
x  4x  2  0
2
2
f) 3p  6p  72
e) 3c  12c  6  0
¿En qué difieren las ecuaciones (e) y (f) de las anteriores?
¿Qué paso adicional es necesario hacer para resolver esas ecuaciones completando
el cuadrado?
3. Usando el método de completar el cuadrado, resuelve las siguientes ecuaciones:
2
b. t  t  6  0
2
d. q  5q  18  6
a. x  10x  9  0
c. p  2p  4
2
2
2
e. 2z  20z  50  10
2
f. 3m  5m  8  0
4. Describe y corrige el error al resolver las siguientes ecuaciones:
2
2
x  10x  13  0
4x  24x  11  0
2
4(x  6x)  11
2
2
4(x  6x  9)  11  9
x  10x  13
2
x  10x  25  13  25
2
2
(x  5)  12
4(x  3)  20
x  5   12
(x  3)  5
x  5  12
x  5  4 3
x3   5
x  3  5
2
5. Resuelve los siguientes problemas:
a) Un número es 3 veces otro y la suma de sus cuadrados es 20. Halla los números.
b) Un cateto de un triángulo rectángulo es 2 cm más que el otro cateto. La hipotenusa
mide 16 cm. Halla las medidas de los catetos.
Parte V
1. En la parte anterior, resolviste ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado para
cada ecuación en forma separada. Podemos usar el método de completar el cuadrado
2
una sola vez a la ecuación general ax  bx  c  0, a  0 , para obtener una fórmula
que nos permita obtener las soluciones de cualquier ecuación cuadrática. La fórmula
para obtener las soluciones se llama fórmula cuadrática.
2
2. Usa el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación 3x  12x  6  0 .
Describe brevemente cuáles fueron los pasos para obtener las soluciones.
2
3. Aplica el procedimiento anterior para resolver la ecuación general ax  bx  c  0 y
describe el resultado que obtienes. El resultado que se obtiene se llama la fórmula
cuadrática.
4. Resuelve las siguientes ecuaciones usando el método de la fórmula cuadrática.
2
a. x  6x  8  0
2
2
b. x  5x  14
2
c. 4x  24x  11  0
d. x  4  12x
e. 3x(x + 2) = 72
f. 7x  10x  2x  155
2
2
5. José usó la fórmula cuadrática para resolver una ecuación y obtuvo
2
9  9  4(1)(10)
x
. Escribe la ecuación con la cual José empezó.
2(1)
6. Demuestra que la media aritmética de las dos soluciones que provee la fórmula
b
cuadrática es 
. Explica qué información nos ofrece esto sobre la gráfica.
2a
Assessment de la lección
1. Un compañero y amigo tuyo estuvo ausente el día que se discutió la lección anterior
sobre el método de completar el cuadrado para resolver una ecuación cuadrática y te
pide que le explique el método. Redacta una breve explicación para tu amigo.
2. Compara el método de completar el cuadrado y la fórmula cuadrática en términos de
ventajas y desventajas para resolver ecuaciones cuadráticas.
3. Usa el diagrama para completar el cuadrado en cada trinomio.
b. 25y2 + ____ + 81
a. 9x2 + 12x + ____
25y2
9x2
c. 25x2 + 30x + ____
25x2
81
4. Completa cada ecuación:
a. x2 + ___ + 49 = (x + ___)2
b. x2 – 10x + ___ = (___ - ___)2
c. x2 + 3x + ___ = (
d. 2x2 + ___ + 8 = 2(x2 +___ + ___)
=___(x + ___)2
+
)2
5. Resuelve cada ecuación:
a. x2 = 8
b. (x + 3)2 = 9
c. 2(x – 4)2= 8
d. x2 – 3x = 18
e. 0= x2 - 5x + 3
d. 72 = (40 – 2t)t
2
6. Reescribe cada expresión de la forma a(x  h)  k
a) x2 + 16
b) x2 -14x+3
c) x2+ 6x – 4
d) 3x2 + 24x + 5
7. María y José resolvieron la ecuación 4x2 – 20x = 24 en dos formas. El proceso que
uso María aparece en el lado izquierdo y el que uso José en la derecha. Explica y
justifica cada paso de ambos procesos. ¿Cuál proceso te parece más conveniente y
por qué? ¿Son correctos ambos procesos?
María:
José
4x2 – 20x = 24
4x2 – 20x + 25 = 24 + 25
4x2 – 20x = 24
x2 – 5x = 6
25
25
x2 – 5x +
=6+
4
4
5
49
(x - )2 =
2
4
5
7
x= ±
2
2
5
7
x=
±
2
2
5±7
x=
2
x = 6 ó x = -1
4x2 – 20x + 25 = 49
(2x – 5)2 = 49
2x – 5 = ± 7
2x = 5 ± 7
5±7
2
x = 6 ó x = -1
x=
2
8. Explica cómo determinar la suma de las raíces de la ecuación ax  bx  c  0 .
2
9. Resuelve la ecuación x  bx  c  0 usando el método de completar el cuadrado.
b 2
2
10. ¿Para qué valores de k la ecuación x  bx  ( )  k tiene una raíz real? ¿dos raíces
2
reales?
11. Un rectángulo áureo es un rectángulo que puede dividirse
en un cuadrado y en otro rectángulo, que también es áureo,
semejante al original. En la figura, ABCD es un rectángulo a
áureo porque puede dividirse en un cuadrado AFED y en un
rectángulo áureo FBCE. Estableciendo una proporción de
A
D
a
F b
B
E
C
las longitudes de los lados de los rectángulos se obtiene
a
b
 . Si b = 1, resuelve
ab a
la ecuación para a.
12. Resuelve los siguientes problemas:
a) Un cuadrado y un rectángulo tienen áreas iguales. La longitud del largo del
rectángulo es 6 pulgadas más que el lado del cuadrado, pero con sólo 3 pulgadas
de ancho. Halla las dimensiones de las figuras.
b) La altura, h, en pies, sobre el suelo, que alcanza un cohete de juguete a los t
2
segundos de haber sido disparado, es h  16t  112t . ¿Cuándo llegará el
cohete a 160 pies sobre el suelo?
c) Una pelota de béisbol se arroja directo hacia arriba con una velocidad inicial de 64
pies/seg. El número de pies, s, sobre el terreno, después de t segundos está
2
expresado por s  16t  64t.
 ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el terreno?
 ¿Cuándo chocará con el suelo?
d) Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de un pedazo
cuadrado de cartón, cortando un cuadrado de 3 pulgadas en cada esquina, y
doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 48 pulgadas cúbicas,
¿qué dimensiones debe tener el pedazo de cartón?
e) Un jardín cuadrado se va a cercar. Si la cerca cuesta $1 por pie, y el costo de
preparar el terreno es 50¢ por pie cuadrado, calcula el tamaño del jardín que se
puede cercar con $120.
f) Una foto mide 8 pulgadas por 10 pulgadas. ¿Cuánto debe medir el ancho uniforme
de un marco que se coloca alrededor de la foto, si el área de la foto y del marco es
120 pulgadas cuadradas?
g) La escuela quiere añadir un área rectangular
al frente del edificio, a lo largo del lado de
70 pies, para área de comida. El área de
comida estará cercada por los tres lados
abiertos. La escuela tiene 120 pies de
”cyclone fence” y desea usar 1500 pies
cuadrados para el área de comida.
Halla las dimensiones aproximadas del área de
comida.
70 pies
Escuela
Área de comida
Hoja de cotejo para la autoevaluación
Criterios
Completo Parcial No
1. Uso del método de completar el cuadrado
 Identifica polinomios que sean
cuadrados perfectos
 Resuelve ecuaciones de la
forma:
2
x  d,

2
( x  m)  d
Usa correctamente el método
para resolver ecuaciones
cuadráticas.
 Explica claramente las ideas y
principios aplicados al método.
 Demuestra completo
entendimiento de las ideas y
procesos incluidos.
2. Uso de la fórmula cuadrática
 Deriva la fórmula
 Resuelve ecuaciones usando la
fórmula
 Ejecuta correctamente los
cómputos relacionados al uso de
la fórmula
3. Solución de problemas
 Usa representaciones para
ayudarse a entender y
comunicar el entendimiento de
los mismos
 Identifica la variable
 Identifica los elementos
desconocidos
 Establece la ecuación
 Resuelve la ecuación
 Interpreta el resultado de
acuerdo a las condiciones del
problema
 Contesta las preguntas usando
las unidades apropiadas
4. Otros aspectos
 El estudiante participa
activamente en las actividades
de la lección
 El estudiante usa correctamente
el vocabulario y simbolismo
matemático de la lección
 Hay comunicación efectiva entre
estudiantes y con el maestro.
Observaciones /
comentarios