Ejemplos

Ejemplos
Los ejemplos siguientes servirán para aclarar el desarrollo teórico
anteriormente presentado, así como para resaltar las importantes ventajas que
representa el uso del análisis espectral. Para resaltar esto último, tomaremos
como función ejemplo :
y(t) = M + Apcos(ct - ) + 
(5.1)
donde M designa el nivel medio, Ap designa la amplitud máxima
correspondiente al ritmo principal de la serie temporal, c (= 2/ Tc) es la
frecuencia angular asociada con el periodo principal T c,  es la acrofase y 
es generalmente ruido blanco superpuesto a la información verdadera que
interesa analizar. En ocasiones,  es un ritmo (o ritmos) de menor amplitud y
periodo que el ritmo principal, que superpuesto a éste, contribuye junto con
el ruido blanco a contaminarlo. El análisis de estos ritmos de menor amplitud
y periodo que el principal, es muchas veces tan interesante como analizar el
ritmo principal.
Ejemplo 1.
Tomaremos la función dada por la ecuación (5.1), en la cual
consideraremos que son nulos M, y  Así, consideraremos que tal función
es una simple función coseno, con la que construiremos la serie temporal
mostrada en la figura 5.1, en la cual :
ti = 12 s ,, tf = 1028 s ,, N = 128 ,, T = 8 s ,, T0 = 1024 s
Ap = 1.0 ,, Tc = 256 s
El análisis espectral de esta serie temporal nos dará un espectro de
amplitud (ver figura 5.2) y un espectro de fase. En ellos podemos fácilmente
leer los valores :
A = 64.0 ,, Tc = 256 s ,,  = 0º
Fig.5.1. Función coseno de amplitud unidad (tiempo en segundos).
Fig.5.2. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.1
(frecuencia en Hz).
El mayor valor del espectro de amplitud, es el que corresponde al
periodo principal Tc = 256 s, siendo este valor A = (Ap/2)(T0/T) (tal como se
indicó en la figura 4.5). Pero como T0 = NT, resulta que A = Ap(N/2).
La fase leída del espectro de fase para el periodo anterior (T c = 256 s),
nos da la acrofase mediante la relación  = 360º - , donde  es el valor leído
en el espectro de fase de la serie analizada. Las figuras 5.3, 5.5 ilustran casos
similares al considerado. Lo único que cambia de uno a otro caso es el valor
de la acrofase  , cuyo valor es el indicado en los pies de figura.
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Fig.5.3. Función coseno con una constante de fase de 57º (tiempo en
segundos).
Fig.5.4. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.2
(frecuencia en Hz).
Podemos ver que el espectro de amplitud obtenido en cada caso es
siempre el mismo. Hallando la acrofase, también en cada caso, mediante la
relación  = 360º - , la cual nos dará :
360º - 303º = 57º ,, 360º - 270º = 90º ,, 360º - 242º = 118º
(figura 5.3)
(figura 5.5)
(figura 5.7, M = 2.6)
este resultado es consecuencia una propiedad de la transformada de Fourier,
presentada anteriormente con el nombre desplazamiento en tiempo.
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Fig.5.5. Función coseno con una constante de fase de 90º (tiempo en
segundos).
Fig.5.6. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.5
(frecuencia en Hz).
Ejemplo 2.
Ahora consideramos que en la función dada por la ecuación (5.1), es
nulo solamente Así, consideraremos igual que antes :
ti = 12 s ,, tf = 1028 s ,, N = 128 ,, T = 8 s ,, T0 = 1024 s
Ap = 1.0 ,, Tc = 256 s ,,  =118º
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Fig.5.7. Función coseno con una constante de fase de 118º, y un nivel medio
de 2.6 (tiempo en segundos).
Fig.5.8. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.7
(frecuencia en Hz).
pero en este caso M será distinto de cero, concretamente M = 2.6 (ver figura
5.7). El análisis espectral de esta serie temporal nos dará un espectro de
amplitud y un espectro de fase, similares a los anteriores. El espectro de fase
será el mismo, pero el espectro de amplitud difiere de los anteriores, al tener
en la frecuencia cero (ver figura 5.8) el valor 332.8, que es precisamente M
por N, es decir :
2.6 x 128 = 332.8
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Fig.5.9. Ilustración de la linealidad de la transformada de Fourier.
Esto es debido a que la transformada de Fourier de la función
constante, es la función impulso en la frecuencia cero. Entonces, cuando
consideramos una serie temporal con M distinto de cero, tenemos una
situación similar a la ilustrada en la figura 5.9. Por tanto, cuando obtengamos
el espectro de amplitud de una serie de tiempo dada, el valor del mesor podrá
ser leído directamente en el espectro de amplitud de dicha serie, siendo éste
el valor de la amplitud correspondiente a la frecuencia cero.
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Fig.5.10. Función coseno con una constante de fase de 118º, contaminada
con ruido blanco (tiempo en segundos).
Fig.5.11. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.10
(frecuencia en Hz).
Ejemplo 3.
Una importante aplicación del análisis espectral es poder distinguir una
contaminación debida a ruido blanco, de otras posibles contaminaciones de
un registro temporal. Las figuras 5.10 y 5.12 son similares, pero representan
dos contaminaciones distintas. La primera es la representación de la función
dada por la ecuación (5.1), cuando  es un ruido blanco. La segunda es la
representación de la función dada por la ecuación (5.1), cuando  es otra
función coseno con amplitud 0.15, acrofase 24º y periodo 32 s.
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Fig.5.12. Función coseno con una constante de fase de 118º, contaminada
con otra función coseno (tiempo en segundos).
Fig.5.13. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.12
(frecuencia en Hz).
Aunque las representaciones de tales series en el dominio tiempo son
similares, en el dominio frecuencia se pueden distinguir sin ninguna duda.
Esto permite analizar los distintos ritmos que puedan existir en un mismo
registro temporal, y distinguirlos de cualquier otra contaminación indeseable
que pueda existir en la serie dada. Así, finalmente, combinamos los distintos
tipos de registro considerados, en un último caso (representado en la figura
5.14) en el cual tenemos un ritmo de periodo corto, superpuesto a otro de
largo periodo, junto con una contaminación de ruido blanco. La eficiencia del
análisis espectral queda de esta forma bien demostrada.
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Fig.5.14. Función coseno contaminada con otra función coseno y con ruido
blanco (tiempo en segundos).
Fig.5.15. Espectro de amplitud de la función ilustrada en la figura 5.14
(frecuencia en Hz).
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