XV-104. (Primer Nivel) Hallar todos los números naturales de cuatro


XV-104. (Primer Nivel)
Hallar todos los números naturales de cuatro cifras
y

tales que
.
XV-204. (Segundo Nivel)
Hallar todos los números naturales n menores que 1000 tales que n2 termina
en 44, es decir, n2 tiene sus dos últimas cifras iguales a 4.

XV-304. (Tercer Nivel)
Sean a y b números reales distintos tales que 2a2 + 2b2 = 5ab. Hallar todos los
posibles valores de
(a + b) / (a - b)

XV-105. (Primer Nivel)
Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática.
Por cada problema se obtiene un punto si está bien resuelto y cero punto en
cualquier otro caso. Entre los cinco sumaron 73 puntos. Hay 9 puntos de
diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor
puntaje; hay 7 puntos de diferencia entre Beatriz y Carlos, pero no se sabe cuál
de los dos tiene mejor puntaje; hay 6 puntos de diferencia entre Carlos y Dora,
pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 13 puntos de
diferencia entre Dora y Eduardo, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor
puntaje; hay 23 puntos de diferencia entre Eduardo y Ana, pero no se sabe
cuál de los dos tiene mejor puntaje. ¿Cuántos puntos obtuvo cada
participante?

XV-205. (Segundo Nivel)
Consideramos todos los números naturales de cuatro cifras distintas que tienen
las cifras ordenadas de menor a mayor, como por ejemplo 2569.
Si hacemos la lista de todos estos números, ordenados de menor a mayor,
¿cuál es el número de cuatro cifras que ocupa la posición 97a?

XV-305. (Tercer Nivel)
¿Cuántos números enteros entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en
suma de un múltiplo positivo de 7 más un múltiplo positivo de 4?

XV-106. (Primer Nivel)
Una hoja de papel rectangular se divide mediante un sólo corte en un triángulo
y un pentágono. Las longitudes de los lados del pentágono son 17, 25, 28, 33 y
43, en algún orden. Calcular el área del pentágono.

XV-206. (Segundo Nivel)
Sea ABC un triángulo obtusángulo con ^A < ^C < ^B.La bisectriz exterior del
ángulo ^A intersecta a la prolongación del lado CB en X y la bisectriz exterior
del ángulo ^B intersecta a la prolongación del lado AC en Y. Si AX = AB = BY,
calcular la medida del ángulo ^A.
NOTA:



En un triángulo ABC, la bisectriz exterior del ángulo ^A es la recta
perpendicular a la bisectriz de ^A que pasa por A.
^A es "el ángulo A"
XV-306. (Tercer Nivel)
Sean A, B, C, D puntos de una circunferencia tales que AB es perpendicular a
CD y sea P el punto de intersección de AB y CD. Si AP = 8, DP = 6, CP = 15,
calcular el diámetro de la circunferencia.

-107. (Primer Nivel)
La Asociación Vida Silvestre de Saladillo tiene 50 miembros. El sábado cada
uno de los presentes plantó 17 árboles y el domingo cada uno de los presentes
plantó 20 árboles. En total se plantaron 1545 árboles. ¿Cuántos de los
miembros de la Asociación faltaron el sábado y cuántos faltaron el domingo?

XV-207. (Segundo Nivel)
La computadora de Juan tiene un programa tal que al apretar la tecla S
reemplaza al número n escrito en la pantalla por la suma de las cifras del
número igual a n más la suma de las cifras de n. Por ejemplo, si el número de
la pantalla es 9523, calcula 9 + 5 + 2 + 3 + 9523 = 9542, luego suma 9 + 5 + 4
+ 2 = 20, y el nuevo número que aparece en pantalla es 20.
Inicialmente el número escrito en la pantalla es 1. ¿Qué numero se tendrá en la
pantalla después de apretar 1997 veces la tecla S?

XV-307. (Tercer Nivel)
Hallar todos los enteros n tales que n + 19 y n + 97 son ambos potencias de 3.
24 de Abril

XV-108. (Primer Nivel)
Matías ha dibujado un cuadrado ABCD con tinta negra y debe colorear con rojo
todos los puntos P del interior del cuadrado tales que el área del cuadrilátero
BCPA es igual al triple del área del cuadrilátero APCD. Describir cuál es la
parte roja del dibujo y justificar.

XV-208. (Segundo Nivel)
Si la mediana y la altura correspondientes a un mismo vértice de un triángulo
dividen al ángulo en tres ángulos iguales, hallar los ángulos del triángulo.

XV-308. (Tercer Nivel)
Sea ABCD un rectángulo inscrito en una circunferencia. Sea P un punto en el
arco
de la circunferencia. La paralela a AB que pasa por P intersecta a las
prolongaciones de DA y CB en P1 y P2 respectivamente. La paralela a BC que
pasa por P intersecta a AB y CD en P3 y P4 respectivamente. Demostrar que P3
es el punto de intersección de las alturas del triángulo P1P2P4.

XV-109. (Primer Nivel)
Se considera un polígono regular de 10 lados. Hay que elegir tres vértices de
este polígono de modo tal que el triángulo que determinan sea escaleno y
ningún lado del triángulo sea al mismo tiempo lado del polígono de 10 lados.
¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir los tres vértices?

XV-209. (Segundo Nivel)
En cada casilla de un tablero cuadrado de 11x11 casillas se ha escrito un
número mayor o igual que -1 y menor o igual que 1 (no necesariamente entero)
de modo tal que la suma de los cuatro números ubicados en cada cuadrado de
2x2 sea siempre igual a 0. Hallar el máximo valor posible de la suma de los
121 números escritos en el tablero.

XV-309. (Tercer Nivel)
Una hormiga camina por las líneas de un
tablero de n + m - 1 casillas, como el de
la figura, con n casillas de ancho y m
casillas de alto (m 2, n 2). ¿De
cuántas diferentes maneras puede ir
desde A hasta B, si su camino no puede
pasar dos veces por un mismo punto?
Primer Nivel
En el círculo de centro O y radio 10cm, AC es
un diámetro, OD es perpendicular a AC y
AOB=120o. Hallar el área de la figura
sombreada.
Segundo Nivel
Sea ABCD un cuadrado. Se consideran el punto E en el interior del lado
AD y el punto F en la prolongación del lado AB, de modo que ECF=90o. Si
el cuadrado ABCD tiene área 256 y el triángulo ECF tiene área 200,
calcular la longitud del segmento BF.
Tercer Nivel
Funcionando simultáneamente, tres máquinas, P, Q y R, hacen un trabajo
en x horas. Para realizar sola el mismo trabajo, P necesita 6 horas
más; en cambio, Q necesita sólo 1 hora más, mientras que R necesita el
doble de tiempo que las tres máquinas en simultáneo.
Hallar x.
Primer Nivel
Con un rompecabezas de 15 piezas cuadradas se armó un cuadrado de
13x13 como muestra la figura:
Cada número indica la longitud del lado de la pieza correspondiente.
Juan perdió una pieza, y con el rompecabezas formado por las 14 piezas
restantes pudo armar otro cuadrado. Dar el tamaño de la pieza que se
perdió y mostrar como se arma el cuadrado con las 14 piezas restantes.
Segundo Nivel
En cada jugada del juego Pares y Nones, el jugador que acierta
recupera lo que apostó y recive, además, una cantidad igual a la
apostada. Juan apostó cinco veces 1 peso, cinco veces 5 pesos, cinco
veces 25 pesos, cinco veces 125 pesos y cinco veces 625 pesos. Despues
de las 25 jugadas tenía 2823 pesos más que antes de empezar a jugar.
Decidir en cuantas jugadas acertó.
Tercer Nivel
Sea ABC un triángulo rectángulo en B, con AB<BC. En la bisectriz del
ángulo B consideramos el punto P tal que AP es perpendicular a dicha
bisectriz. Sea M el punto medio de la hipotenusa AC. La recta PM corta
al cateto AB en E. Si EM=15, calcular la longitud del cateto BC.
Primer Nivel (Educable)
Juan, Pablo y Diego juegan al ping-pong. Después de cada set, sale el
perdedor y entra el que no jugó ese set.
Juan jugó 50 sets y Pablo jugó 101 sets. Decidir si con esta
información se sabe cuantos sets jugó Diego.
Segundo Nivel
Sean r y s dos rectas y t una recta que corta a r en C y a S en D,
formando un ángulo de 17o. Sea E en el segmento CD. La perpendicular a
r y s que pasa por E, corta a r en A y a s en B. Si DE=2.BC, hallar la
medida del ángulo BCE.
Tercer Nivel
Si x, e, y son números reales que satisfacen 3x + 4y = 1/3, demostrar
que x2+y2 > 1/400
Primer Nivel
Consideramos los números naturales desde 10 hasta 1996 inclusive.
¿Cuántos de ellos verifican que si le suprimimos la última cifra de la
derecha, el número que queda divide al número original?
Aclaración: Decimos que el número A divide al número B si B es
múltiplo de A. Por ejemplo, 3 divide a 36; 100 divide a 1000.
Segundo Nivel
Utilizando números enteros mayores o iguales que cero, determinar 4
conjuntos de 4 números cada uno, tales que todo número entero n, 0 n
255, se pueda expresar como la suma de 4 números, uno de cada
conjunto.
Tercer Nivel
En el cuadrilátero convexo ABCD (en ese orden), CAB=40 , CAD=30 ,
DBA=75 , DBC=25 . Hallar BDC.
Primer Nivel
En un papel cuadriculado (cada cuadradito tiene lado 1) se marcan
puntos A, B y C de la cuadrícula, de modo que AB=3, AC=
y BC=
Hallar la altura del triángulo ABC correspondiente al vértice A.
.
Segundo Nivel
Hallar 12 números reales mayores que cero (no necesariamente
distintos) tales que cada uno de ellos sea igual a la suma de los
cuadrados de los restantes 11. ¿Es posible hallar otros 12 números con
la misma propiedad?
Tercer Nivel
Los números a, b, c, d, e son enteros fijos y distintos tales que la
ecuación
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=1996
admite una solución entera r. Demostrar que 5r = a + b + c + d + e +
499.
Primer Nivel
Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3
números de 2 cifras cada uno. Se suman entre si los 3 números de 2
cifras que se formaron.
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener mediante este
procedimiento?
Segundo Nivel
Hallar el mayor número natural de 6 cifras, todas distintas de cero,
que es múltiplo del número que resulta al borrarle la primera cifra de
la izquierda.
Tercer Nivel
En el triángulo ABC, B=60 , C=55 y M es el punto medio del lado BC.
Sea P en el lado AC tal que el cuadrilátero ABMP y el triángulo PMC
tienen igual perímetro.
Hallar la medida del ángulo MPC
Primer Nivel
Sea ABCD un paralelogramo tal que el lado BC mide 13, la altura
correspondiente a la base AB mide 12 y el ángulo ABC es agudo. Sea E
un punto en la prolongación del lado BC tal que DEC=90o. Sabiendo que
CE=5, calcular el área del cuadrilátero ABED.
Segundo Nivel
En el trapecio ABCD, de lados no paralelos AB y CD, sea M el punto
medio de CD. Se traza por M la perpendicular a la recta AB, que
intersecta a dicha recta en R.
Sabiendo que el segmento AB mide 21 y el segmento MR mide 37, hallar
el área del trapecio ABCD.
Tercer Nivel
Si n es un número natural, d(n) es la cantidad de divisores positivos
de n. Por ejemplo, d(12)=6, pues los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6
y 12.
Hallar todos los números naturales n 200 tales que n/d(n)=8.
PRIMER NIVEL
1. Hacer la lista de todos los enteros positivos de tres o más dígitos tales que cada par de
dígitos consecutivos sea un número de dos dígitos que es cuadrado perfecto. Por
ejemplo, 164 es un número de la lista, porque 16=42 y 64=82, pero 1645 no está en la
lista porque 45 no es un cuadrado perfecto y 381 no está en la lista porque 38 no es un
cuadrado perfecto.
2. En los vértices de un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8
inclusive, sin repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la
diferencia de los números azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor).
Distribuir los números azules para que la cantidad de números rojos distintos sea la
menor posible.
3. Dado un triángulo equilátero ABC, sean P y Q exteriores al triángulo tales que BQ
corta al lado
AC, CP corta al lado AB, AP=AQ=AB y
. Calcular
.
SEGUNDO NIVEL
1. Consideramos el conjunto de los 17 primeros enteros positivos, {1,2,3,...,17}. Hay
que elegir dos números de este conjunto tales que la multiplicación de esos dos números
sea igual a la suma de los restantes 15 números.
2. Un rectángulo se dividió en 9 rectángulos más pequeños mediante paralelas a su
lados. En 5 de esos rectángulos pequeños se indica el perímetro. Calcular el perímetro
del rectángulo inicial.
3. En un triángulo acutángulo ABC sea D en el lado BC tal que AD BC y E en el
lado AC tal que BE AC. Si
, AB = 15 y AE = 9, calcular la medida de AD.
TERCER NIVEL
1. Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos para
representar los números:
. Estos símbolos corresponden en algún orden a
los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben
en base 5:
.
representan un número
El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de
menor a mayor:
,
y
.
Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos.
2. En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21
milímetros de ancho y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el
ancho aumenta 2 milímetros y el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas
veces hay que apretar la tecla “+” para que el área del rectángulo de la pantalla sea
25 veces el área del rectángulo inicial.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB=16 y AC=18. Una paralela a AB corta
lado AC en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63. Calcular
la longitud del segmento PQ.
PRIMER NIVEL
1. Distribuir en los círculos los números de tres dígitos 111, 112, 121, 122, 211, 212,
221, 222, sin repeticiones, de modo que los números escritos en círculos que están
unidos entre si por un segmento no tengan más de una coincidencia (es decir, pueden
tener exactamente una coincidencia o no tener coincidencias).
2. Hallar todos los números enteros positivos de cuatro cifras que son múltiplos de 11 y
tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.
3. Se considera una circunferencia de centro O y se traza un diámetro AD.
El punto C de la circunferencia es tal que
. Se traza por O la recta
perpendicular a la cuerda AC que corta a la circunferencia en el punto B. Sea F el punto
de intersección de AC y BD. Calcular la medida del ángulo
.
SEGUNDO NIVEL
1. Escribir en cada vértice un número entero del 1 al 12 inclusive, sin repeticiones, de
modo que en cada uno de los 5 cuadrados la suma de los cuatro números de sus vértices
sea la misma.
2. Para recorrer el camino entre A y B el tren de pasajeros tarda 7 horas y el tren de
carga tarda 5 horas. A las 8:00 hs sale un tren de pasajeros de A hacia B y un tren de
carga de B hacia A. A las 9:45 hs la suma de las distancias recorridas por los dos trenes
hasta ese momento es igual a 357 kilómetros. Calcular la longitud del camino que
separa a los trenes entre si a las 9:45 hs.
3. La figura muestra un tablero de 46 dividido en casillas de 11 en el que se dibujó un
rectángulo de 34 (siguiendo líneas de la cuadrícula) y se trazó una diagonal. Calcular
el área sombreada.
TERCER NIVEL
1. Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las
maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos:
10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24.
Calcular cuánto pesa cada uno de los cinco objetos.
2. Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un
múltiplo de 5.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB=120 y AC=72.
Se considera el punto P de AB tal que 3BP=AB y el punto Q de BC tal que PQ es
perpendicular a AB.
Calcular el área del cuadrilátero APQC.
Primer nivel
1. Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones, de
modo que la suma de los tres números de cada una de las 4 líneas sea la misma. Ya se
escribieron el 6 y el 9. Ubicar los demás números.
2. En la tienda El Ofertón, el precio de cada artículo es una cantidad entera de pesos con
99 centavos (el precio más bajo es $0,99). Doña Rosa realizó una compra por un total de
$125,74. ¿Cuántos artículos compró? Dar todas las posibilidades.
3. Se trazan 5 rectas horizontales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior, y 6 rectas
verticales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior. Estas 11 rectas determinan 30
puntos. Sea A el punto de la quinta fila, primera columna (es decir, el de la esquina
inferior izquierda), B el punto de la primera fila, sexta columna (o sea, el de la esquina
superior derecha) y C el punto de la segunda fila, quinta columna. Calcular el área del
triángulo ABC.
NO VALE MEDIR.
Segundo Nivel
1. El número de dos cifras x7 multiplicado por el número de dos cifras y9 es igual al
número de cuatro cifras zz33. Dar los posibles valores de los dígitos x, y, z.
2. Un atleta se entrena en una pista de 3 kilómetros. Hace el primer kilómetro
caminando, el segundo corriendo y el tercero en bicicleta. Si hubiera hecho los 3 km en
bicicleta hubiese tardado 10 minutos menos de los que tardó.
Nuestro atleta corre al doble de la velocidad que camina, y anda en bicicleta al triple de
la velocidad que camina. Calcular cuánto tarda en correr un kilómetro.
3. Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA, tal que AB=AC, AD=BD y
. Calcular la medida del ángulo
.
Tercer Nivel
1. Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más
pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1.
Hallar los posibles valores del lado del cuadrado inicial.
2. En cada casilla de un tablero de 100100 hay escrito un número. En la primera fila
están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enteros desde 1 hasta
100, en la segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los
múltiplos de 2, desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en forma creciente
de izquierda a derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así siguiendo, en la fila k
están los múltiplos de k desde k hasta 100k. Consideramos la diagonal del tablero que
une la esquina inferior izquierda con la esquina superior derecha. Determinar cual es el
mayor de todos los números escritos en las casillas de esta diagonal.
3. Sea ABCD un rectángulo de lados ABCD10 y BCDA15. Designamos M al punto
medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC5. Se traza por P la perpendicular a
DM que corta a DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.
Primer nivel
1
39
33
40
36
Hallar los 5 númreos que se deben escribir en cada una de las 5 casillas vacías para
obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen
la misma suma.
2
En la ruta que une A con B hay dos estaciones de servicio, "El Cruce" y "El Descanso",
separadas entre sí por 3km. La distancia desde "El Cruce" hasta A es igual a 3/4 de la
distancia dedse "El Cruce" hasta B. La distancia dedse "El descanso" hasta A es igual a
4/5 de la distancia desde "El Descanso" hasta b. Calcular cuántos kilómetros tiene la
ruta desde A hasta B.
3
Sea D un punto interior del triángulo ABC tal que BDC = 123º, ABD = 15º y ACD =
21º. Calcular la medida del ángulo BAC.
NO VALE MEDIR.
Segundo Nivel
1
Una avioneta recorrió 400 kilómetros. Los primeros 100 los hizo a 150 km/h, los
siguientes 100 los hizo a 300 km/h, los terceros 10 los hizo a 450km/h, y los últimos
100 a 600 km/h. Calcular la velocidad promedio de la avioneta en su recorrido de
400km.
2
Hallar el menor múltiplo de 84 formado exclusivamente por dígitos 6 y 7.
3
Dado un triángulo equilátero ABC, consideramos tres rectas: la perpendicular a AB
trazada por A, la perpendicular a BC trazada por B y la perpendicular a CA trazada por
C. Estas tres rectas determinan un nuevo triángulo equilátero de lado 6. Calcular el lado
del triángulo ABC.
Tercer Nivel
1
Un vendedor ambulante vende cada lata de gaseosa a 0,94 pesos, pero no tiene monedas
para dar vuelto. Determinar el menor número de latas que debe comprar un cliente para
que cada una le cueste menos de 1 peso, si el cliente sólo dispones de monedas de 1
peso.
2
Dos ciclistas viajan a velocidades constantes por dos caminos que se cruzan. Cuando A
llega al cruce, a B le faltan todavía 3200 metros para llegar al cruce .Cuatro minutos
más tarde, la distancia de A al cruce es la misma que la distancia de B al cruce, y 12
minutos más tarde, nuevamnete la distancia de A al cruce es la misma que la distancia
de B al cruce. Calcular las velocidades de cada uno de los ciclistas.
3
Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 16 y BC = 20. Sea E el punto medio del lado
AB y F el punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA.
Calcular la medida del segmento FD.
primer nivel
1
En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de la seis casillas vacías un número (no necesariamente entero) de
modo que una vez completo el tablero con los 10 números, se verifique que el número
escrito en cada casilla sea igual a la suma de los dos números escritos en las dos casillas
sobre las que está apoyada.
2
Hallar todos los números de cuatro cifras 1a7b que son múltiplos de 15. (a y b son
dígitos no necesariamente distintos.)
3
En una circunferencia de centro O están marcados los puntos A, B y C, siguiendo el
sentido horario, tales que AOB < BOC y AOC = 76°. Se marcan en la circunferencia M,
N y P tales que OM es la bisectriz de AOB, ON es la bisectriz de BOC y OP es la
bisectriz de MON . Si BOP = 5°, hallar la medida del ángulo BOC .
segundo nivel
1
Carlos escribe la lista de todos los números naturales menores que 10000 que tienen
exactamente dos dígitos 1 consecutivos. (Por ejemplo, 113, 5112, 1181 están en la lista
de Carlos, pero 1312, 2111 no están en la lista de Carlos.) Hallar cuántos números tiene
la lista de Carlos.
2
El triángulo ABC tiene A = 67° y B= 79°. Sean P en el lado AB, Q en el lado BC y R en
el lado CA tales que los ángulos APR = BPQ, BQP = CQR y CRQ = ARP . Hallar las
medidas de los ángulos del triángulo PQR. NO VALE MEDIR.
3
Hallar el menor número natural que satisface las siguientes tres condiciones
simultáneamente: tiene resto 24 en la división por 57; tiene resto 73 en la división por
106 y tiene resto 126 en la división por 159.
tercer nivel
1
En la siguiente configuración de nueve círculos hay seis maneras de elegir cuatro
círculos de modo que los centros de los cuatro círculos sean los vértices de un cuadrado.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, uno en cada círculo, de modo que para
cada uno de los seis cuadrados mencionados, la suma de los cuatro números escritos en
los cuatro círculos correspondientes a sus vértices sea siempre la misma.
2
De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares y su área es
igual a 98. Hallar la altura del trapecio.
3
Hallar todos los cuadrados perfectos menores que 100000 que son iguales a un cubo
perfecto multiplicado por 3/2.
ACLARACION: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al
cuadrado los números naturales y los cubos perfectos son los números que se obtienen
al elevar al cubo los números naturales.
primer nivel
1
Las sillas de la aerosilla del Cerro Omperá están numeradas en forma consecutiva 1, 2,
3, etc. Las distancias entre dos sillas consecutivas son todas iguales. Durante una
tormenta, la aerosilla se detuvo, y en ese momento la silla 22 se encontraba a la misma
altura que la 59, y la silla 93 se encontraba a la misma altura que la 142. Determinar el
número de sillas que tiene la aerosilla.
2
En un tablero como el de la figura, colocar en cada casilla un número entero entre 1 y
16, sin repetir, de manera que la suma de los números escritos en dos casillas vecinas
sea siempre un cuadrado perf ecto.
ACLARACIONES: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
Cuadrados perfectos son los números que son iguales al cuadrado de un número entero.
3
Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC y ABC = 1440. Se consideran el punto K
en AB, el punto L en BC y el punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC, KM es
paralelo a BC y KL = KM. La recta LM intersecta a la prolongación del lado AB en P.
Hallar la medida del ángulo BPL. NO VALE MEDIR.
segundo nivel
1
En el pizarrón está escrito un número de tres cifras, todas distintas. Ana intercambia la
primera cifra con la última. La suma del número escrito en el pizarrón más el número de
Ana es igual a 92 veces la suma de los dígitos del número escrito en el pizarrón.
Determinar todos los posibles valores del número escrito en el pizarrón.
2
Se embaldosa un pasillo de 2 x 7 utilizando siete baldosas grises de 2 x l cada una.
Determinar de cuántas maneras puede quedar embaldosado el pasillo.
3
Sean A, B, C tres vértices consecutivos de un hexágono regular de lado 10, y M el punto
medio del lado BC. Determinar la longitud del segmento AM. NO VALE MEDIR.
tercer nivel
1
Determinar todos los números naturales n tales que n y n + 475 son ambos cuadrados
perfectos.
2
Sea ABCD un rombo de lado 61 tal que sus diagonales AC y BD verifican que AC = 98
+ BD. Hallar el área del rombo.
3
Sea n un número natural. Se tiene un rectángulo de 3 x n, cuadriculado en cuadraditos
de l x l.
Denominamos puntos de la cuadrícula a los puntos donde se cortan dos líneas del
cuadriculado, o una línea del cuadriculado con un lado del rectángulo, o dos lados del
rectángulo.
Si se cuentan todos los cuadrados de todos los tamaños posibles que tienen sus cuatro
vértices en puntos de la cuadrícula, se obtienen 950 cuadrados. Hallar el valor de n.