Ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas distintas

SEGUNDO TRIMESTRE – MATEMÉTICAS
Colegio- Claret
ECUACIONES 1º Y PLANTEAMIENTOS
Ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas distintas que expresan lo
mismo. Resolver una ecuación de primer grado es hallar su única solución. Siendo la
solución o la raíz, el valor para el cual se cumple o verifica la igualdad. Para su
resolución hay que tener en cuenta los siguientes pasos:
 Quitar los denominadores si los hay. Reduciendo a común denominador.
 Quitar paréntesis. Recuerda la propiedad distributiva del producto respecto a la
suma.¡Ojo! cuando el factor es negativo
 Agrupar términos semejantes en cada miembro.
 Reducir términos semejantes (sumar o restar).
 Despejar la incógnita. Para ello tiene que estar en término + de lo contrario
cambiaríamos de signo a toda la igualdad
1.- Resuelve y comprueba si se verifica la igualdad
a) 2 (5x –4) – 3 = 9
b) 5 (x –1) = 2x + 1
c) 6 (2 –x) = 3 (x –8)
d) 3 (7x + 2) + 2 = 4x –9
e) 3 (x + 2) –8x = 7x + 2
f) 2 (2x –1) = 5 (3 –2x) –3
g) 1 – (x + 1) = 2 (1 –x) –6
h) 3x –4 (1 –2x) = 8 – (4x –3)
i) 5(3x –2) –8x = 8x – (4x + 1)
j) 6x – (1 –4x)-2x = 16 –2 (3x +5)
k) 13 –5x + 3 (2x –4) = 23 –3 (x –2)
l) 3x –1 + 3 (x –1) = 8 –( 7x + 6) –5x
2.- Halla el valor de x en cada caso
a)
3x  3

4
d)
1

5x  9
2
2x  3

7x  9
3
x3
3


4
4x  3
6
x
b)

3x 1
5
 17
3
3 x
6
2x 1
e)


2
c)
2x  7
4
5x  2
3

5
x  11
 4
2
 x  13
7
3.- Resuelve las siguientes ecuaciones.a)
x
x

2
x

4
c) 2 x 
x
8

2
x
6
b)
8


3

x2
2
3x
3
e)
7
1
d)
2
1
x
12
1º ESO – 06-07
5x
12

3
8
f ) 3x 
2x  5
4

2


5x
2
1
x

3

3
5
12
x2

4

3x
5
1
12
x
g)
5x
6

2x
 x5
3
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Traducción de proposiciones verbales en ecuaciones
1.- Traducir a una ecuación, llamando n a la incógnita que represente el número, las
proposiciones que siguen: (no es necesario hallar el valor de la incógnita)
a) ¿Un número menos 4 es igual a 8?
b) ¿La mitad de un número es igual a 10?
c) ¿Diez veces un número es igual a 20?
d) ¿Un número aumentado en 12 es igual a 17?
e) ¿El doble de un número sumado con 8 es 16?
f) ¿El triple de un número menos 15 es 27?
g) ¿La suma de un número con su doble es 18?
h) ¿Un número sumado con 4 es igual a cinco veces dicho número?
i) ¿Dos veces la suma de un cierto número más 5 es 24?
2.- Encontrar la proposición de la columna I que corresponde a la ecuación de la
columna II
Columna I
Columna II
1. El producto de 8 por un números es 40
a ) n  8  40
2. Un número aumentado en 8 es 40
b) 8   n  8   40
3. Un número menos ocho es igual a 40
4. Ocho veces un número menos ocho es igual a 40
c ) 8 n  40
n
 40
8
e ) 8 n  8  40
d)
5. Ocho veces la suma de un número con 8 es 40
6. Un octavo de un número es 40
f ) n  8  40
3.- Determinar la incógnita por la letra más apropiada y obtener una ecuación de cada
problema: (no es necesario hallar el valor de la incógnita)
a) Un hombre trabajó durante 5 horas y ganó 208,75€. ¿Cuánto gana por hora?
b) ¿Cuál es la edad de Julio hoy, si hace diez años tenía 23?
c) Después de ganar 12 kg, el peso de Antonio es de 72 kg. ¿Cuál era su peso
anterior?
4.- Por comprobación, determinar que valor es una raíz de las ecuaciones siguientes:
a ) 3 x  4 x  42
para x  4, 6 y 8
b ) 3 n  14  47
para n  9, 10 y 11
c ) 6 y  48  2 y
para y  8, 10 y 12
5.- Por comprobación, demostrar que x puede tomar cualquier valor de los indicados en
la identidad 2  x  3   2 x  6
a ) x  10
b) x   2 
c) x 
9
d ) x    1
2
e) x  2
f)x
1
4
6.- Traducir a una ecuación, llamando x al número, las proposiciones siguientes:
a) Un número disminuido en 8 es igual a 13.
b) Los dos tercios de un número es igual a 10.
c) Tres veces la suma de un número y 6 es 33
d) Un número aumentado en 20 es igual a tres veces dicho número.
e) Un número aumentado en 5 es igual a dos veces el mismo número disminuido
en 4.
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2
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7.- Traducir al lenguaje algebraico las siguientes proposiciones:
a) El triplo de un número
b) La mitad d un número
c) Sumar 9 a un número
d) Dividir un número por 6
e) La diferencia entre un número y 12
f) Tres veces un número menos 10
g) La suma de dos números impares consecutivos
h) Cociente del cuádruplo de un número por 3
i) El triplo de un número menos 18
j) Añadiendo 7 a un número
8.- Traducir al lenguaje algebraico las siguientes proposiciones:
a) Restando un número de su triplo
b) Un número aumentado en su tercera parte
c) El doble de un número más 13
d) Cuatro veces un número más su mitad
e) Dos números cuya suma es 13
f) Dos números cuya diferencia es 5
g) Representar el número 27 en forma polinómica
h) Representar en forma polinómica un número cualquiera de dos cifras
i) Una persona tiene hoy x años. ¿Cuántos tenía hace seis años?
9.- Llamar x al ancho de un mantel rectangular. Dibuja y expresa el largo en cada caso
a) El largo es doble del ancho
b) El largo es triple del ancho
c) El largo es igual al ancho más su mitad
d) El largo es igual al doble del ancho más su tercera parte
e) El largo es igual al ancho más su quinta parte del ancho más 30 cm
10.- Expresar algebraicamente las áreas de las siguientes figuras
x-5
a
x-5
x+3
x-5
a+1
11.- Despejar la variable dada según cada caso:
a) VT  D  V
b) S  C  P  C
c) A 
1
bh  b
d ) BH  A  B
2
e) RP  I  P
f )D 
M
g ) S  2  rh  r
V
V
i) s 
1
at  a
2
2
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m) D 
h) V 
1
Bh  B
3
M
ñ) S   r  r
 M
2
V
3
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Planteamientos
Planteamiento de un problema: Hay que tener presente:
 Lectura del problema varias veces: buscar en el diccionario las palabras que no
entiendas, especialmente si corresponden a conceptos matemáticos: rombo,
prisma…Para verificar la comprensión pon un ejemplo con valores más
sencillos.
 Sacar las ideas o datos fundamentales, no hace falta sacarlas al pie de la letra.
Recoger
 los datos de una forma más elaborada, dibujos, tabla, un esquema, figura
geométrica…
 Establecer claramente el significado de la incógnita, expresando la unidad de
medida.
 Buscar las relaciones aritméticas entre ellas, comprobar que están expresadas
en las mismas unidades de medidas, y establecer la ecuación o igualdad
 Resolución de la ecuación hasta llegar a la solución única
 Interpretar el resultado y redactar la respuesta a la/s pregunta/s del problema
1.- ¿Cuál es el número que sumando sus 3 / 4 más su 1 / 5 parte y quitando de la suma
la mitad del número que se busca da 36?
Sol: 80
2.- Dos personas tienen juntas 2.500 €; una de ellas tiene 700 € más que la otra. ¿Cuánto
tiene cada una?
Sol: 900y1600
3.- ¿Cuál es el número que dividido sucesivamente por 3 por 7 y sumados sus cocientes
da 20?
Sol: 42
4.- Hallar el número cuya mitad, más su cuarta parte, más una unidad sea igual a dicho
número.
5.- Hallar un número tal que sumando su mitad, tercera y cuarta parte más 45 dé por
suma 448. Sol: 372
6.- Añadiendo 7 unidades al doble de un número más los 3/2 del mismo, da por
resultado el séxtuplo de dicho número menos 23. ¿Cuál es ese número?
Sol: 12
7.- La suma de cuatro números impares consecutivos es 512. ¿Cuáles son dichos
números? Sol: 125,127...
8.- Hállese un número tal que si se le quitan 30 unidades queda el triple que si de dicho
número se quitan 100. Sol: 135
9.- Si a 100 se le añade cierto número y a 20 se le añade ese mismo número, la segunda
suma es la tercera parte de la primera. ¿Cuál es ese número?
Sol: 20
10.- La suma de tres números consecutivos es igual a la unidad aumentada en el doble
del mayor. Calcúlalos.
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4
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11.- Hallar cuatro números pares consecutivos cuya suma sea 1028.
12.- Hallar tres números consecutivos tales que restando el doble del mayor del triple de
la suma de los otros dos, resulte 527.
13.- Dividir 77 en dos partes, de modo que la suma de los cocientes de una parte por 8 y
de la otra por 5 sea 13
Sol: 32 y 45
16.- Dividir 60 en dos partes, de modo que 1/5 de la 1ª más 1/3 de la 2ª sume 14.
Sol: 45y15
17.- Se reparten 200 € entre tres personas de forma que la 2ª recibe 10 € más que la 1ª, y
la 3ª tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto ha recibido cada una?
Sol: 45,55y100
18.- Se desea distribuir una suma de 1300 € entre tres personas, de modo que la 1ª
reciba 48 € más que la 2ª, y ésta 20 € más que la 3ª ¿Cuánto tocará a cada una?
Sol: 404,424y472
19.- La suma de las edades de tres niños es de 37 años. El mayor tiene 7años más que el
mediano, y éste 3 años más que el menor. ¿Cuál es la edad de cada uno? Sol: 8,11y18
20.- Repartir 105 €, entre cinco personas, de manera que a cada una corresponda 5 €
más que a la anterior.
21.- Repartir 2.041 €, entre tres personas, de manera que la 3ª tenga 100 € menos que la
segunda, y ésta 200 € menos que la primera.
22.- Repartir 100 € entre tres personas de manera que la 1ª reciba 7 € más que la 2ª, y
ésta 9 € más que la tercera.
23.- Un padre tiene 34 años y su hijo 12 ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será
el doble de la del hijo? Sol: 10
24.- Un padre tiene 49 años y su hijo 11. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad del padre
será el triple de la edad del hijo?
Sol: 8
25.- ¿Cuál es la edad de un niño, sabiendo que si del doble de su edad se resta el
cuádruplo de la que tenía hace 3 años se tiene la edad actual?
Sol: 4
26.- El perímetro de un rectángulo es de 160 m.; la base es tres veces mayor que la
altura. Calcula su área. (S = b.a).
27.- La base de un rectángulo es doble que su altura ¿Cuáles son sus dimensiones si el
perímetro mide 30 cm?
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5
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28.- En un triángulo, el ángulo B mide doble que el C y el ángulo A mide el triple que C
¿Cuánto mide cada ángulo? (Recuerda que la suma de los ángulos de un triángulo es
180º).
29.- Calcula el valor de los ángulos interiores de un triángulo si el ángulo B es triple del
A y C tiene 40º más que B.
30.- Calcula las dimensiones de los lados de un triángulo, sabiendo que el lado a mide 5
m menos que el doble del c, que el lado b mide 5 m más que el c y que se puede cercar
con 100 m de tela metálica.
31.- El área de un rectángulo es de 109,35 m 2. Halla la medida de su perímetro,
sabiendo que la altura mide los 3/5 de la base.
32.- El área de un triángulo es 20 m 2. Calcula la altura, sabiendo que la base mide 8 m.
33.- El perímetro de un rectángulo es 18 cm. Calcula las dimensiones de ese rectángulo,
sabiendo que su longitud es el doble de su anchura.
34.- En un triángulo el ángulo A mide 31º más que el B, y el ángulo C mide 5º menos
que el duplo de A. ¿Cuánto mide cada uno?
35.- El perímetro de un rectángulo mide 22 m. Calcula sus dimensiones y su área,
sabiendo que mide 5 m más de largo que de ancho.
36.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 35 cm. Si los lados iguales miden cada
uno el doble del lado desigual, ¿cuánto mide cada lado?
37.- El perímetro de un rectángulo es 234 m. Calcula su superficie, sabiendo que la
longitud y la anchura son dos números consecutivos.
REPASO
1.- Realiza las siguientes operaciones con monomios:
a ) 3 x  12 x  6 x 
5
5
d ) 2 x   5 x
3

h ) 12 x  4 x 
8
l)  2 x
3
3

4
b) 7 x  3x  x  2 x 
5

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3
e)  4 x    x
3
i)
32 x
4
4 x
m) 3x  
2

2
3

c) 5x  4 x  8x  x 
3
f )  5x 3x 
4
j )  24 x    6 x
5
n)  2 x
2
6

3

g) x 2x 
3
3


ñ) 5 x
k)
 35 x
7x
3

6

3
7

o)  2 x
2

2

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2.- Dado
P (x)  x  5 x  2 x  3x  2
4
3
2
Q  x   2 x  4 x  5 x  3
3
2
R  x   3x
S  x   4 x
2
Calcula:
a) D  x   P  x   Q  x 
b) A  x   P  x   Q  x 
d ) B  x  S  xQ  x
e) C  x  
g) M
 x  3 P  x  2 Q  x
S x
R x
c) F  x   R  x   P  x 
f ) T  x    S  x  
3
h) N  x   S  x   R  x 
3.- De la actividad anterior, hallar el valor numérico de D(x), F(x) y B(x), para los siguientes
valores: x    3  x    2  x    1  x  0 x  1 x  2
4.- Efectúa, recuerda que antes de operar debes simplificar las fracciones posibles
 1 10
a)  
 4 16
  9
 6
 1 
 
  15
 8
5
 4
c) 

 12 30
f)
h)
  5 10


  12 15
 6

 3
30  1
 10
  7
b) 
 2  


 15
  35 45  2
5
 18
e) 

 24 20
5
 3 
   1  
8
 4 
1
1 2 1 1
 2     
4
8 3 4 2
2
 2 2
g ) 1    1    2
5
 3 5
9  2
 6


  2
2  15 30  4
9  3
3
  7
i)   1   


9
  28 18  8
1
2 1


j) 2  1      1
3 6


k)
2
5

5  3
3
 

2  9 30  4
1
5.- Una cuadrilla de obreros canalizan 80 m de tubería en 4 días. ¿Cuántos días tardarán,
trabajando al mismo ritmo, en canalizar 120 m?
6.- De una fuente manan 4150 litros de agua en 4 h. ¿Cuántos litros de agua manarán en 2 días?
7.- Por el gasto de 90 € en una compra realizada en un supermercado, nos han descontado el 5%
de un bono.¿Cuánto dinero han descontado?
8.- El 60% del alumnado de una clase han aprobado el examen de Lengua. Si han aprobado 15
estudiantes, ¿cuántos estudiantes hay en la clase?
9.- En un paquete de 250 g de café, hay 60 g de café torrefacto. Calcula el tanto por ciento que
hay de café en la mezcla
10.- Un comerciante paga el metro de tela a 8 €. Si quiere ganar el 20% del precio de costo, ¿a
qué precio debe vender la tela?
11.- Alberto pagó 350 € en el 2005 en telefonía móvil. Si en el año 2006 pagó 378 €, ¿qué tanto
por ciento ha aumentado en el gasto de teléfono?
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7
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12.- Un rectángulo tiene de altura 3/5 de la longitud de la base. Si ésta mide 25 cm, ¿cuál es el
área del rectángulo?
13.- Una grúa está elevando 5/7 de los 224 kg que puede elevar como máximo. ¿Cuántos kg está
elevando?
14.- Si he leído los 6/7 de las 252 páginas de un libro, y después leo los 2/3 de las páginas que
me quedan, ¿cuántas páginas me faltan para acabar el libro?
15.- A María le cobran por un libro 18,46 € al que le han aplicado un 4% de IVA. Determina el
valor del libro sin IVA
16.- En una determinada localidad viven 850.000 personas. Si 467.250 son mujeres, contesta:
 ¿Qué tanto por ciento de hombres viven en esta localidad?
 ¿Y de mujeres?
 Si un 18 % del total de la población son jubilados, ¿cuántos jubilados viven en la
localidad?
17.- La madre de Marcos paga 77,04 € en un restaurante. Si el 7 % corresponde al IVA, ¿cuál
era el precio del almuerzo sin IVA?
18.- En unos grandes almacenes aplican un descuento del 15%. Si el precio de unos pantalones
es de 34,4 € con el descuento, ¿cuál era su precio original?
19.- Debemos abonar un recibo de 540 € dentro de 30 días. Si lo pagamos ahora, nos descuentan
un 8 %, si lo pagamos después del plazo, grava o aumenta un 12%.
 ¿Cuánto pagaremos si lo abonamos ahora?
 ¿Y si lo hacemos después de los 30 días?
20.- Un automóvil recorre 410 km en 5 h. Si mantiene la misma velocidad, contesta:
 ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 656 km?
 ¿Qué distancia recorrerá en 3 h?
21.- Una fábrica textil consume 1560 litros de combustible en 30 días. ¿Cuántos litros
consumirá en 72 días?
22.- Saca factor común en:
a )  6  8  32    4   18
b ) 12    14   63    7   6
c )  3    18   9  4    36   2
d ) 45  120  60
e )  24  48  72  96
f )  36  60  72  48
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